2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）1.1 集合的含义与表示-(必修第一册)

2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）1.1集合的含义与表示-(必修第一册)集合的含义与表示1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合A={1，2，a}，就意味a③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

Eg：菱形脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)4常用数集

自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗或N+；整数集，记作有理数集，记作Q；实数集，记作R. 5集合的分类有限集，无限集，空集∅.Eg：奇数集xx=2n+1,n∈Z属于无限集，x∈R6集合的表示方法①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

A={x|x2−x−2=0}———方程x2−x−2=0的解，即A={−1，2}；

B={x|x2−x−2<0}———不等式xD={y|y=x2−x−2}———函数y=x2−x−2的值域，即D={y|y>−9【典题1】下列说法正确的是()

A.某个村子里的高个子组成一个集合；

B.所有小的正数组成的集合；

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；

【典题2】设集合A={2,1−a,a2−a+2}，若4∈A，则a=【典题3】用列举法表示集合A={6x−2【典题4】若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}巩固练习1(★)下列各组对象能构成集合的是()A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，42(★)以实数x,−x,|x|,xA．0 B．1 C．2 D．33(★)下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是1；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)a∈N,b∈N，则a+b不小于2..其中正确的命题的个数是 ( )A．１个 B．2个 C．3个 D．4个4(★★)设集合M={x|x=3k,k∈Z}，P={x|x=3k+1,k∈Z}，Q={x|x=3k−1,k∈Z}，若a∈M,b∈P,c∈Q，则a+b−c∈()

A.MB.PC.QD.M∪P5(★★)已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+y|y|A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M6(★★)点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、第三象限内的点集D．不在第二、第四象限内的点集7(★★)已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a28(★★)若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k9(★★)用列举法表示集合{m|m−2310(★★)集合A=x∈Z∣y=11(★★)用列举法表示下列集合(1)11以内偶数的集合；(2)方程(x+1)(x(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．12(★★★)已知集合A1)若A是空集，求a的取值范围；2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.集合的含义与表示1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合A={1，2，a}，就意味a③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

Eg：菱形脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)4常用数集

自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗或N+；整数集，记作有理数集，记作Q；实数集，记作R. 5集合的分类有限集，无限集，空集∅.Eg：奇数集xx=2n+1,n∈Z属于无限集，x∈R6集合的表示方法①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

A={x|x2−x−2=0}———方程x2−x−2=0的解，即A={−1，2}；

B={x|x2−x−2<0}———不等式xD={y|y=x2−x−2}———函数y=x2−x−2的值域，即D={y|y>−9【典题1】下列说法正确的是()

A.某个村子里的高个子组成一个集合；

B.所有小的正数组成的集合；

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；

D.1,0.5,12【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A,B的对象不具备确定性；D中的0.5,12,14集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.【典题2】设集合A={2,1−a,a2−a+2}，若4∈A，则【解析】∵4∈A∴1−a=4i若1−a=4，则a(ii)若a2−a+2=4a=2时，此时1−aa=−1时，此时1−a=2，则A=综上a=−3或2．【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当a=−1时，1−a=2，此时A={2,2,4}不符合集合的故求出集合后最好做下检查.【典题3】用列举法表示集合A={6x−2【解析】根据x∈N，且6x=0时，6x−2=−3；x=1时，x=4时，6x−2=3；x=5时，∴A={－3,－6,6,3,2,1}．【点拨】①看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x−2”②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.【典题4】若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}【解析】∵集合A={x|ax∴a=0或a≠0△=4−4a≤0，解得a=0∴a的取值范围是{a|a=0或【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.巩固练习1(★)下列各组对象能构成集合的是()A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【解析】选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．2(★)以实数x,−x,|x|,xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】当x>0时，x=|x|=当x=0时，x=|x|=当x<0时，−x=|x|=故由以实数x,−x,|x|,x故选：C．3(★)下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是1；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)a∈N,b∈N，则a+b不小于2..其中正确的命题的个数是 ( )A．１个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】(1)集合N中最小的数是0，(2)对，(3)不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3}，(4)因为0∈N，所以a+b可能小于24(★★)设集合M={x|x=3k,k∈Z}，P={x|x=3k+1,k∈Z}，Q={x|x=3k−1,k∈Z}，若a∈M,b∈P,c∈Q，则a+b−c∈()

A.MB.PC.QD.M∪P【答案】A5(★★)已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+yA．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M【答案】A【解析】根据题意，分4种情况讨论；①、x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x|x|②、x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x|x|③、x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x|x|④、x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x|x|则M={4,−4,0}；分析选项可得A符合．6(★★)点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、第三象限内的点集D．不在第二、第四象限内的点集【答案】D【解析】xy≥0指x和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选D7(★★)已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a【答案】−1【解析】根据题意，由{a,ba,1}={a2又由ba的意义，则a≠0，必有b则{a,0,1}={a则有a2=1，即集合{a,0,1}中，a≠1，则a故答案为：−18(★★)若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx当k=0时，4x+4=0，即当k≠0时，△=16−4•k•4=0，解得k=1．综上，k=0或19(★★)用列举法表示集合{m|m−23【答案】{2,5,8}．【解析】根据题意，∵m∈N∴m−2≤8,又因m−23∈N，∴(m−2)∈∴m−2=0或3或6，∴m=2或5或8，∴集合{m|m故答案为：{2,5,8}．10(★★)集合A=x∈Z∣y=【答案】12【解析】由题意，集合x∈Z∣y=12x+3∈由此可得x=−15，−9，−7，−6，−5，−4，−2，−1，0，1，3，9；此时y的值分别为：−1,−2,−3,−4,−6,−12,12,6,4,3,3,1，符合条件的x共有12个，11(★★)用列举法表示下列集合(1)11以内偶数的集合；(2)方程(x+1)(x(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．【解析】(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(x+1)(x2−4)=0故方程(x+1)(x2−4)=0(3)解方程组&y=2x&y=x+1得&x=1因此一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点为(1,2)，故所求的集合为{(1,2)}．12(★★★)已知集合