2026届新高考数学热点冲刺复习同构在高考数学中的应用之圆锥曲线

2026届新高考数学热点冲刺复习

同构在高考数学中的应用之圆锥曲线

从近年来高考数学不难发现，同构思想在圆锥曲线问题中的渗透已是一种非常普遍的现象。利用同构时，一定要注意到问题中众多变量结构的相似性，注重整体代换的思想，做到触类旁通，使复杂的思维过程和运算过程简单可行。

同构在圆锥曲线中的应用主要包括：定点问题，定值问题，参数问题,其它问题；题目中通常会出现直线与圆锥曲线（包括圆）相交或相切这样的已知条件，一般情况下，我们要设出同构点的坐标及同构直线的参数（如斜率，向量的数量等），利用韦达定理，求出点的坐标或表示出点的坐标关系。一、定点问题：根据已知中的斜率同构、直线位置同构、参数同构等条件，利用同构关系

求出或表示出直线方程（或圆锥曲线方程），探究直线（或圆锥曲线）恒过定点。

xyABCOMDNP

山东东营

徐新华

xyABOP

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徐新华

xyABOP

山东东营

徐新华

xyABOP

山东东营

徐新华

xyABOPQ

∴PQ//y轴。

N

xyABOMPN

即直线AB必过原点。

证明：设直线OA,OB的方程分别为y=k1x,y=k2x,由题意得整理得yxoABP二、定值问题：据据已知中的斜率同构、直线位置同构等条件，利用同构关系得到两个斜率（或其它多个参数）的代数式，探究代数式为定值。由题意得

同理得

xyAMOBQN解：直线OQ与直线MN的斜率之积等于-5；理由如下：设直线MN的方程为x=my+2,由题意，显然m≠0,点M（x1,y1），N（x2,y2），

整理得（8m2+9）y2+32my-40=0.设点P（x,y）为线段AM的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PM|,

即直线OQ与直线MN的斜率之积为定值，值为-5。山东东营

徐新华xyABOPQ10.已知双曲线C：

，P(2,1),M(6,-3),过M作直线l分别与C交于A,B两点，设直线PA,PB的斜率分别k1,k2,求证：k1k2为定值。.证明：设直线PA的方程为y-1=k1(x-2),

设直线l的方程为Ax+By+C=0,

将M(6,-3)的坐标代入得：6A-3B+C=0,∴C=3B-6A,∴直线l的方程为Ax+By+3B-6A=0;

则Ax1+By1+3B-6A=0,Ax2+By2+3B-6A=0,∴Ax1+B[k1(x1-2)+1]+3B-6A=0,∴(A+Bk1)x1-2Bk1+4B-6A=0,

C

xyABOPQR

三、参数问题：用向量关系表示定比分点时，可利用点的坐标表示向量得到关于参数及坐标的关系式，也可利用参数得到定比分点的坐标，利用两个定比分点同构或参数同构求出参数的关系式。

即⊿PQR的重心G的纵坐标的取值范围为

xyABOMP

得化简得同理得求+的值。

xyABOPQT

xyABOPC解：设点A（x1,y1），B（x2,y2），P（x0,y0）.

四、其它问题：求直线方程，面积的最值等问题。山东东营

徐新华

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徐新华15.已知点A为双曲线C：x2-y2=4的右顶点，圆M:（x+2）2+（y+2）2=r2(r>0)与直线l:x=-2交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与C交于E,F两点，当点A到直线EF的距离最大时，求r的值。解：由题意,不妨设P（-2，-2+r），Q（-2，-2-r），点E（x1,y1），F（x2,y2），由题意,直线AP的斜率存在，设AP方程为y=k(x-2)

整理得（r2-4r-12)x2-4(r-2)2x+4r2-16r+80=0,

山东东营

徐新华16.已知点F1,F2,分别为

椭圆E：

的左右焦点，

点A,B是椭圆E上的两个不同点，且都位于x轴上方，若AF2//BF1,求四边形AF2F1B的面积的最大值。.

同理可得

xyABOF2F1D

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徐新华17.已知点A为

椭圆E：

的左顶点，过点（1，0）的

直线l交椭圆E于P,Q点，记⊿APQ的外接圆为圆N,求圆N面积的最大值。解：设直线AP的方程为x=m1y-3,由题意，显然m1≠0,设直线AQ的方程为x=m2y-3,由题意，显然m2≠0,