湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】因为全称量词命题的否定方法为：改量词，否结论，所以“，”的否定是，.故选：B.2.已知全集，集合满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，所以ABC错，D正确.故选：D.3.已知函数，则（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.4.计算：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.5.若为奇函数，则实数（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】因为为奇函数，所以，即，解得，此时，其定义域为，且，即为奇函数，所以满足题意.故选：B.6.已知函数，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，由得：，所以的定义域为：，由得，所以，故的定义域为：.故选：A7.若，且，则的最小值为（）A.1 B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，所以，令，，则，，所以，当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.已知是定义在上的奇函数，当，且时，都有，若，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为当，且时，都有，所以，令，则在上单调递增，又是定义在上的奇函数，的定义域为，且，所以是偶函数，，所以在上单调递减，对于，显然不满足不等式，因为，所以，则，当时，得，即，所以，则；当时，，即，所以，则；综上，或，即.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则函数的大致图象可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】当时，，在上单调递增，且，所以图象关于原点对称，故B正确；当时，，在上单调递增，且，所以图象关于轴对称，故A正确；当时，，在上单调递增，故D错误；当时，，在上单调递增，，且，所以图象关于原点对称，与C不符合，当时，，在上单调递增，，且，所以图象关于轴对称，故C正确.故选：ABC10.若，且，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】对于A，因为，，所以，，所以，而，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，，所以，由选项A知，所以，故B正确；对于C，取，满足，且，但，故C错误；对于D，取，满足，且，但，故D错误.故选：AB.11.对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（）A.的图象关于直线对称 B.，C.在上单调递增 D.在上单调递减【答案】BD【解析】对于A，因为，所以，，即，而，所以的图象不可能关于直线对称，故A错误；对于B，因为为不大于的最大整数，所以，当时，，则；当或时，，因为的图象开口向上，对称轴为，所以当或时，，故；综上，，，故B正确；对于C，因为，所以，，即，所以在上不可能单调递增，故C错误；对于D，取，且，当时，；当时，；综上，，又由二次函数的性质可知在上单调递减，则，所以，即，所以在上单调递减，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数的图象过点，则_________．【答案】【解析】由题意得，则，则，代入点得，解得，则.故答案为：.13.若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】因为在上单调递增，所以在上单调递增，则，因为存在，使得成立，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.14.已知函数，且，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】令，则的定义域为，又，所以是奇函数，因为在上单调递增，所以在上单调递增，因为，则，所以可化为，则，故，所以，解得，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.解：（1）当时，集合，解，得，所以，所以.（2）因为“”是“”的充分条件，所以是的子集，又，，所以，解得，由（1）知，所以，所以或，解得或，综上或，即实数的取值范围.16.已知函数.（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域；（2）若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围.解：（1）因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得，而的图象是由的图象保留轴上方的图象，再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得，所以的大致图象如图，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为.（2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以有两个零点，即与的图象有两个交点，结合图象可知，，解得，即实数的取值范围为.17.某公司研发了一款洗地机，该洗地机集扫地、吸地、洗地三种功能于一体，投入市场后深受广大消费者的喜爱.已知该公司生产该款洗地机全年所需的固定成本为600万元，每生产万台洗地机，需另投入变动成本万元，且，每台洗地机的批发价为400元，假设该洗地机每年的销量等于当年的产量.（1）写出该洗地机的年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本）（2）该洗地机的年产量为多少万台时，年利润最大？最大年利润是多少万元？解：（1）因为每台洗地机的批发价为400元，所以万台洗地机的销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，，所以（2）当时，，所以在上单调递增，所以；当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以，因为，所以当年产量为万台时，年利润最大，最大年利润为万元.18.已知函数.（1）若，判断在上的单调性，并用定义证明；（2）若，且，求的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围.解：（1）在上单调递增，证明如下：任取且，则，因为，则，所以，即，故在上单调递增.（2）当时，由（1）知在上单调递增，因为，且，，所以，由于在上单调递增，故，即，解得或.（3）对任意，总有，使得，则在上的值域是在上值域的子集，因为，所以在上单调递增，故当时，所以的值域为，当时，在上单调递增，所以的值域为，由，可得，解得，故；当时，，满足题意；当时，由在时，，由对勾函数性质可知，只需且，解得，故，综上，，即的取值范围.19.给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”．（1）判断是否为区间上的“函数”；（2）若是区间上的“函数”，求的取值范围；（3）若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”．解：（1）给定区间，若对任意的，恒有函数，即；若对任意的，恒有函数，即.函数，.则在上单调递减.又，，则在的值域为.由，可知对任意的，不恒成立；又，可知对任意的，也不恒成立.所以不是区间上的“函数”.（2）令，由，则，则，则函数在上单调递增，又，即在上的值域为.因为是区间上的“函数”，所以，或，若，则，解得；若，则，或，解得或.综上所述，的取值范围为.（3）由在上单调递减，设任意，，则，所以，即，故在上也单调递减.设任意区间，，由.则.若，则,故是区间上