湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则，故选：C2.已知复数（为虚数单位），则（）A.8 B.9 C.10 D.100【答案】C【解析】，所以，故选：C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】对于A，若，则或，A错误；对于B，若，则或，相交或异面，B错误；对于C，因为，所以又因为，所以，C正确；对于D，若，则或两平面相交，D错误；故选：C.5.某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（）A.21 B.35 C.70 D.126【答案】A【解析】因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的盏灯排成一排，进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯），所以共有（种）不同的关灯方式．故选：A．6.已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由题可知，，则，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为1，故选：B．7.已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意，设，若为奇函数，则，则函数为偶函数..又当时，，则函数在上为减函数，故在上为增函数.则，且，则有；故选D.8.已知为坐标原点，，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】设，点的轨迹方程为0.又由，点的轨迹方程为：为圆上一点到直线上一点的距离，.故选：B.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）A.的展开式的第4项的系数是280B.对于随机变量，若，则C.已知随机变量，若，则D.一组数据的第60百分位数为14.5【答案】ABD【解析】对于A，的展开式的第4项为，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因，，由可知，由正态曲线对称性，，故，故C错误；对于D，由，这组数据的第60百分位数为，故D正确.故选：ABD.10.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（）A.椭圆的离心率为B.若，则C.直线的斜率与直线的斜率之积等于D.符合条件的点有且仅有2个【答案】AC【解析】A选项，，，因为即，解得，所以离心率，故A正确；B选项，若，连接，在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以，所以，又由，解得，所以，故B错误；C选项，设，，则，，，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以，从而，所以，故C正确；D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误.故选：AC.11.已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（）A.点的轨迹关于轴对称B.点的轨迹关于原点对称C.若且，则恒成立D.若且，则恒成立【答案】BC【解析】因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点的轨迹方程为：.如上作出函数的图象，由图易得A错误；对于B，由，可得，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确；对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是______．【答案】【解析】设为甲，乙两厂生产的产品，表示取得次品，，，，，所以.所以任取1件产品概率为.故答案为：13.已知函数的部分图象如图所示.若在中，，则面积的最大值为__________.【答案】【解析】由图象可得，解得，所以，由，由图，即，由，得.故，在中，，，即，设角的对边为，由，则，，当且仅当时等号成立.，所以面积最大值为.故答案为：.14.祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，由曲线，，共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V，则______．【答案】【解析】令，分别代入和中，解得：，．记点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别为R，r．则，，此圆环的面积，恒为定值．根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为，高为6的圆柱的体积相等，所以．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，E是边BC的中点，且，求解：（1）因为，由正弦定理得，整理可得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由（1）可知：，若，则，因，则，可得，中，由余弦定理得，即，解得，在中，由勾股定理得．16.如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，（1）求证：EF⊥平面PBC；（2）若，，二面角的正弦值为，求BC．解：（1）因为平面ABC，平面。所以，因为是的直径，知，因为，且平面，所以平面，由分别是的中点，所以，所以平面．（2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，，且，所以，，易知平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则则，即，∴，取，得，，则，因为二面角的正弦值为，则其余弦值为，所以，化简得，又因为，所以，解得：，即，所以，即.17.已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1（1）求的方程；（2）若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程．解：（1）因为动点到直线的距离比它到定点所以动点到直线的距离等于它到定点则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故Γ的方程为；（2）设直线的方程为，，，联立，消去x并整理得，此时，由韦达定理得，，又因，所以，则，代入，得，解之得当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合当时，直线l的方程．故直线l的方程为．18.已知函数，其中.（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，令函数，证明：.解：（1），.切线方程为：，即.（2）由题意得函数的定义域为，，，①当时，在上单调递减；②当时，时，在上单调递减.时，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减.当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，，.令，则构建函数.当时，函数单调递增.当时，函数单调递增.在内有唯一零点.当函数单调递减.当函数单调递增.当时，函数取最小值...构造函数.令.当时，函数单调递增.当时，函数单调递增..19.我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：，后项与前项的差值：，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；（2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应“一阶等差数