江苏省淮安市九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为－0.92，0.46，0.79，0.85，则（）A.甲组数据变量间的线性相关程度最强 B.乙组数据变量间的线性相关程度最强C.丙组数据变量间的线性相关程度最强 D.丁组数据变量间的线性相关程度最强【答案】A【解析】设变量间的线性相关系数为，当越接近1时，相关程度越强，因为，所以甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱．故选：A.2.已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（）A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝【答案】D【解析】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.故选：D3.完全展开后的项数是（）A.7 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为.故选：C4.在三棱锥中，，，，且，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示，连接，因为，，则，，所以.故选：D.5.若随机变量，则（）A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.9.6【答案】D【解析】因为，所以，，所以，故选：D.6.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻情况有：所有排列为：,甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，故选：C7.将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（）4A.12 B.24 C.36 D.48【答案】A【解析】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，

排在位置，有种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有（种）.故选：A8.为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（）百元代金券.A.12 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】若摸到一红球一白球的概率，若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，设可获得百元代金券为变量分布列如下，ababP，手气最好者获得百元代金券即，，又a，b均为正整数，所以当时，有，即舍去；当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券；当时，有，即舍去；当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券；当时，有，即舍去；当时，有，即舍去；当时，有，即舍去；当时，有，即舍去；当时，可得舍去；综上，运气最好者获得至多16百元代金券.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（）月份编号12345下载量万次54.543.52.5A.与负相关 B.C.第7个月的下载量估计为1.8万次 D.残差绝对值的最大值为0.2【答案】ABD【解析】对于A，由，则回归直线斜向下，故A正确；对于B，由，，即样本中心为，则，解得，故B正确；对于C，将代入回归方程，解得，故C错误；对于D，由题意可得下表：则最大值为，故D正确.故选：ABD.10.甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由题意知，，，，故A正确；，，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD.11.设，则（）A.B.C.D.若表示正数的整数部分，则【答案】ACD【解析】对于A，令，可得，故A正确；对于B，令，可得，故B错误；对于C，令，可得，所以，所以，所以，故C正确；对于D，所以，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答）【答案】30【解析】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.故答案为：30.13.某班有40名学生,一次考试后数学成绩,若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______．【答案】10【解析】由题意得数学成绩，所以由，可得，所以，所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为.故答案为：10.14.甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________．【答案】;【解析】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以；若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为所以．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项，并指出是第几项；解：（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，∴，即，由，解得；（2）展开式的通项为，令，解得，∴，∴常数项为60，为第5项.16.如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点．（1）求直线与直线AF的夹角的余弦值；（2）求点F到平面的距离．解：（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)，所以，，，，所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为．（2）易知，，，设平面的法向量为，则，取x=2，可得，所以平面的一个法向量为，且，所以，点F到平面的距离为．17.预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）：发病没发病合计接种疫苗71825没接种疫苗19625合计262450（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？（2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值.（3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）根据列联表可得，所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关.（2）由于.所以，，,由列联表中的数据可得，，所以.（3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为，则由题意可知，且，，，，，所以随机变量的分布列为0123所以随机变量的数学期望为.18.如图，在四棱锥中，平面PAD，．（1）证明：平面ABCD；（2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．（ⅰ）求PF；（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．解：（1）因为平面PAD，平面PAD，所以．又，平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD．（2）以A原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．（ⅰ），，，，，，设，则．设平面AEF的法向量为，则即，取，得，，所以是平面AEF的一个法向量，因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，所以，得，所以．（ⅱ）设，则．因为为平面AEGF的一个法向量，所以，所以，即，得，所以，．，，，，，，因为M在平面PBC上，所以，所以．设平面MAD的法向量，则即，取得，所以是平面MAD的一个法向量，设EG与平面MAD所成角为，则因为，所以即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．19.从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．（1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列；（2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点；数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点；数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传