2026版大一轮高考数学-第三章　进阶篇　不等式证明方法　进阶1　指对放缩

进阶篇不等式证明方法进阶1指对放缩切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.题型一指对切线放缩常见的指对切线放缩例1证明不等式：ex－ln(x＋2)>0.证明要证ex－ln(x＋2)>0，即证ex>ln(x＋2)，又ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立，令t＝x＋2，则ln(x＋2)＝lnt≤t－1＝x＋1，即ln(x＋2)≤x＋1，当且仅当x＝－1时等号成立，故ex≥x＋1≥ln(x＋2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x＋2)，结论得证.思维升华指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.跟踪训练1当x>0时，证明：ex2－xlnx<xex＋1e证明要证当x>0时，ex2－xlnx<xex＋1只需证ex－lnx<ex＋1e下证－lnx≤1即证ln1x≤令t＝1x，即证lnt≤1显然成立，且等号成立的条件是t＝e，即x＝1e又ex≤ex，当且仅当x＝1时等号成立，由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.题型二指对增强放缩1.与ex相关的增强放缩(1)ex≥x＋1ex≥1＋x＋x22(x≥0)ex＝1＋x1！＋x22！＋x33！＋(2)ex≥exex≥ex＋(x－1)2(x≥0).(3)通过变换得到的其他不等式把ex≥x＋1中的x换成lnx，可得lnx≤x－1.把ex≥x＋1中的x换成x－1，可得ex≥ex.把ex≥x＋1中的x换成－x，可得e－x≥－x＋1，取倒数后可得ex≤11-x(x<1把ex≥x＋1中的x换成x＋lnx，可得ex＋lnx＝xex≥x＋lnx＋1(朗博同构).2.与lnx相关的增强放缩(1)lnx≤x－1ln(x＋1)≤xlnx≥1－1xln(x＋1)＝x－x22＋x33-x44＋…＋(－1)nxn＋1(2)lnx≤xe(3)飘带不等式：2(x-1)x＋1≤lnx≤(4)通过变换得到的其他不等式把lnx≤x－1中的x换成ex，可得ex≥x＋1.把lnx≤x－1中的x换成xe，可得lnx≤把lnx≤x－1中的x换成x＋1，可得ln(x＋1)≤x.把ln(x＋1)≤x中的x换成1n，可得ln(n＋1)－lnn<把ln(x＋1)≤x中的x换成－1n＋1，可得ln(n＋1)－ln例2证明：ex＋1x≥2－lnx＋x2＋(e－2)x证明由题意知x>0，因为ex≥ex＋(x－1)2，所以要证ex＋1x≥2－lnx＋x2＋(e－2)x成立只需证ex＋(x－1)2＋1x≥2－lnx＋x2＋(e－2)x即证ln1x≤1x－令t＝1x，即证lnt≤t－1，结论得证.思维升华在利用ex≥x＋1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，此时选用增强版的曲线放缩.跟踪训练2证明：对任意x>0，不等式ex＋x2－(e＋1)x＋ex>2成立证明因为ex≥ex，所以只需证ex＋x2－(e＋1)x＋ex>2成立即证x2－x＋ex>2成立即证x2－2x＋1＋x＋ex－1>2成立即证(x－1)2＋x＋ex由基本不等式得x＋ex≥2e，当且仅当x＝e而2e>3，(x－1)2≥0，故原不等式成立，结论得证.课时精练[分值：34分]1.(17分)已知函数f(x)＝ex.(1)讨论函数g(x)＝f(ax)－x－a的单调性；(8分)(2)证明：f(x)＋lnx＋3x>4x.(9(1)解g(x)＝f(ax)－x－a＝eax－x－a，g'(x)＝aeax－1，①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R上单调递减.②若a>0，当x<－1alna时，g'(x)<0，g(x)当x>－1alna时，g'(x)>0，g(x)单调递增综上，当a≤0时，g(x)在R上单调递减；当a>0时，g(x)在-∞，-1aln(2)证明要证f(x)＋lnx＋3x>只需证x(lnx＋ex)－4x＋3>0，x>0，由(1)可知，当a＝1时，ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，等号成立的充要条件为x＝0.当x＋1>0时，上式两边取以e为底的对数，可得ln(x＋1)≤x(x>－1)，用x－1代替x可得lnx≤x－1(x>0)，又可得ln1x≤1x－1(x>0所以lnx≥1－1x(x>0)等号成立的充要条件为x＝1.所以x(lnx＋ex)－4x＋3>x1-1x＋x＋＝x2＋2x＋2－4x＝(x＋1)2－4x＋1≥(2x)2－4x＋1＝(2x－1)2≥0，从而不等式f(x)＋lnx＋3x>4x2.(17分)已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(8分)(2)若x>0，证明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.(9分)(1)解由条件得f'(x)＝ex－1－2ax，令h(x)＝ex－1－2ax，则h'(x)＝ex－2a.①当2a≤1，即a≤12时，在[0，＋∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，∴当a≤12②当2a>1，即a>12时，令h'(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)<h(0)＝0，即f'(x)<f'(0)＝0，∴f(x)在(0，ln2a)上单调递减，∴f(x)<f(0)＝0，不符合题意.综上，实数a的取值范围为-∞(2)证明由(1)得，当a＝12，且x>0ex>1＋x＋x即ex－1>x＋x要证不等式(ex－1)ln(x＋1)