2026版大一轮高考数学-第三章　进阶篇　不等式证明方法　进阶4　极值点偏移(二)

进阶4极值点偏移(二)题型一换元构造辅助函数例1已知函数f(x)＝x2lnx，若方程f(x)＝m有两个不相等的实根x1，x2，求证：x12＋证明(换元法)令a＝x12，b＝x22，则f(x1)＝即x12lnx1＝x22ln所以x12lnx1所以alna＝blnb，设函数g(x)＝xlnx，则g(a)＝g(b)，g'(x)＝lnx＋1，所以g'(x)>0⇔x>1g'(x)<0⇔0<x<1所以g(x)在0，1e上单调递减，在求证x12＋x22>2e不妨设a<b，则0<a<1e<b则2e－a>令h(x)＝g(x)－g2e-x，由h'(x)＝g'(x)＋g'2＝lnx＋1＋ln2e-x＋1＝ln＝ln-x-1所以h(x)在0，1e上单调递减，h(x)>h1所以g(a)>g2e-a，即g(b又g(x)在1e，所以b>2e－a，即a＋b>故x12＋x思维升华在证明过程中出现的形式不符合和型结构时，通过换元构造新函数然后再进行证明.跟踪训练1已知函数f(x)＝x－lnx，若两个不相等的正实数x1，x2满足f(x1)＝f(x2)，求证：f'(x1)＋f'(x2)<0.证明f(x1)＝f(x2)即x1－lnx1＝x2－lnx2，令a＝1x1，b＝1x2，则1a＋lna记函数g(x)＝1x＋lnx，则g(a)＝g(b)g'(x)＝1所以g'(x)>0⇔x>1，g'(x)<0⇔0<x<1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝1，则a，b为g(x)＝k的两个不相等的实数根，其中k>1，不妨设a<b，则0<a<1<b，则2－a>1，令h(x)＝g(x)－g(2－x)，0<x<1，则h'(x)＝g'(x)＋g'(2－x)＝x-1x2＋所以h(x)在(0，1)上单调递减，h(x)>h(1)＝0，所以g(a)>g(2－a)，故g(b)>g(2－a)，又g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以b>2－a，即a＋b>2，故1x1所以f'(x1)＋f'(x2)＝1－1x1＋1－1题型二比值代换例2已知函数f(x)＝xe－x(x∈R).如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：(1)x1＋x2>2；(2)x1x2<1.证明方法一(1)f'(x)＝(1－x)e－x，易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝1又f(0)＝0，当x→＋∞时，f(x)→0，不妨设x1<x2，则必有0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)，得x1e-x1＝即e即x2－x1＝lnx令t＝x2x1(t则x2－x1＝lnt，①又t＝x2x1，即x2＝tx由①②得x1＝lntt-1，要证x1＋x2>2，即证lntt即证lnt>2(t-1)t＋1由飘带不等式知该式成立.所以x1＋x2>2.(2)由(1)知x1x2＝t则x要证x1x2<1，即证x1x令m＝t>1，即证2mln即证lnm<12m-1m由飘带不等式知该式成立，故x1x2<1.方法二(齐次消元)f'(x)＝(1－x)e－x，易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝1又f(0)＝0，当x→＋∞时，f(x)→0，不妨设x1<x2，则必有0<x1<1<x2，由f(x1)＝f(x2)，得x1e-x1＝即e所以x2－x1＝lnx2x1＝lnx2－ln即lnx2-ln(1)x1＋x2＝(x1＋x2)·ln＝x2＋x＝x2x1令t＝x2x1(t则由飘带不等式知lnt>2(即t＋1t-1·lnt>2，即x1＋(2)要证x1x2<1，即证x1xx1x＝x1x2x2-令m＝x2x1(m由飘带不等式知lnm<1即mm2-1·lnm即x1x2<1，故x1x思维升华比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝x1x2或跟踪训练2设x1，x2为两个不相等的正数，且x2lnx1－x1lnx2＝x1－x2，证明：1x1证明不妨设0<x1<x2，x2＝tx1，则t＝x2x由x2lnx1－x1lnx2＝x1－x2得tx1lnx1－x1ln(tx1)＝x1－tx1，即lnx1＝lntt-1要证1x1＋只需证ex1x2>x1＋x2，即证etx12>x1(1＋t即证etx1>1＋t，即证x1>1即证lnx1>ln1即证lntt-1－1>ln(1＋t)－lnt即证lntt-1>ln(1＋t)－ln即证lntt易知ln1＋1lnt>1－1则lntt-1>故1x1＋课时精练[分值：34分]1.(17分)已知函数f(x)＝ax2－(lnx)2(a∈R).若f(x)有两个极值点x1，x2.求证：x1x2>e.证明因为函数f(x)＝ax2－(lnx)2，可得f'(x)＝2ax－2ln若f(x)有两个极值点x1，x2，则函数f'(x)有两个零点x1，x2，所以2ax12＝lnx12，2a令t1＝x12，t则等价于关于t的方程2at＝lnt有两个不相等的实数根t1，t2，只需证明t1t2>e2，不妨令t1>t2，由2at1＝lnt1，2at2＝lnt2得2a＝ln要证t1t2>e2，只需证明lnt1＋lnt2>2，即证lnt1＋lnt2＝2a(t1＋t2)＝(t1＋t2)·lnt1即证lnt1－lnt2>2(即证lnt1t令m＝t1t2，只需证明lnm>2(m-1)m＋1由飘带不等式知，lnm>2(m-1)m＋1(则t1t2>e2成立，故x1x2>e得证.2.(17分)(2025·昆明模拟)设a，b为函数f(x)＝xex－m(m<0)的两个零点.(1)求实数m的取值范围；(6分)(2)证明：ea＋eb>2e.(11分(1)解f(x)的定义域为R，f'(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，f'(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，又当x→－∞时，f(x)→－m>0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故要使f(x)有两个零点，则需f(x)min＝f(－1)＝－e－1－m<0，故m>－1又m<0，可得－1e<m<0故满足题意的实数m的取值范围为-1(2)证明令x1＝ea，x2＝eb，即a＝lnx1，b＝lnx2，要证ea＋eb>2即证x1＋x2>2只需证x2>2e－x1由(1)可设a<－1<b<0，所以0<x1<1e<x2<1因为f(a)＝f(b)＝0，所以x1lnx1＝x2lnx2，设g(x)＝xlnx，因为g'(x)＝lnx＋1，所以g(x)在0，1e上单调递减，在令h(x)＝g2e-x－