2026版大一轮高考数学-第十章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝n∑i=1xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝n∑i=1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(5.均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(√)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(√)2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示()A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局二次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次答案D解析因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.3.已知随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)等于()X124P0.4a0.3A.1 B.2.2C.11 D.15答案D解析依题意，0.4＋a＋0.3＝1，解得a＝0.3，则E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，所以E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.2＋4＝15.4.甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.

答案乙解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)，∴乙技术较好.1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.2.(1)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(2)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).题型一分布列的性质例1(1)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A.[1，2) B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)答案C解析由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m4k2-1(k＝1，2，3，4，5)，则P(X≥4)A.235 B.C.2225 D.答案A解析P(X＝k)＝m＝m2∵5∑k=1P(X＝k)＝∴m2×＝m2×1-1则m＝115∴P(X≥4)＝1110×1思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确.跟踪训练1已知随机变量ξ的分布列如表：ξ－202Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝2)的值是()A.23 B.C.14 D.答案A解析因为a，b，c成等差数列，所以b＝a＋根据随机变量分布列的性质得a＋b＋c＝1，所以3(a＋c)2＝1，即a所以P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝－2)＝23题型二离散型随机变量的分布列及数字特征命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征例2(多选)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列说法正确的是()X－213P2a0.25aA.a＝0.25B.E(X)＝1C.D(X)＝4.5D.P(0.5<X<3.5)＝0.5答案ACD解析由题意2a＋0.25＋a＝1，得a＝0.25，所以E(X)＝－2×0.5＋1×0.25＋3×0.25＝0，D(X)＝(－2－0)2×0.5＋(1－0)2×0.25＋(3－0)2×0.25＝4.5，P(0.5<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝0.25＋0.25＝0.5.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围.典例(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时()X012P1-1pA.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减答案D解析由分布列可得E(X)＝0×1-p2＋1×12＋2×p则D(X)＝1-p212＋p2＋12因为0<p<1，所以D(X)先增后减.(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为X0a2P1b1下列结论正确的是()A.b＝1B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为5C.D(X)min＝1D.当D(X)最小时，E(X)＝1答案ABC解析由题意12＋b＋16＝1，∴b＝13，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C53×123×122＝516，故选项B正确；随机变量X的均值E(X)＝0×12＋a×13＋2×16＝13(a＋1)，可知方差D(X)＝0-13(a＋1)2×12＋a-13(a＋1)2×13＋2-13(a＋1)2×16＝19×命题点2均值与方差的性质应用例3(多选)已知随机变量X的分布列为X－1012Pabc0.25且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是()A.D(bX＋1)＝116D(XB.P(|X|＝1)＝0.5C.若E(aX)＝0.08，则a＝0.1D.a－c可能等于0.1答案ABD解析依题意，a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5.D14X＋1＝116P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，B正确；E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，则E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，C错误；当a＝0.3，c＝0.2时，a－c＝0.1，D正确.思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).跟踪训练2(多选)已知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是()X－2－112P1mn2A.m＋n＝2B.P(X<2)＝7C.若m＝19，Y＝3X＋2，则E(Y)＝D.D(X2)＝2答案ABD解析因为19＋m＋n＋29＝1，所以m＋n＝23P(X<2)＝1－P(X≥2)＝1－29＝7因为m＝19，所以n＝59，所以E(X)＝－2×19＋(－1)×19＋1×59＋2×29＝23，所以E(Y)＝E(3X＋2)＝3E(P(X2＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝m＋n＝23，P(X2＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝1则X2的分布列为X214P21所以E(X2)＝1×23＋4×13＝2，则D(X2)＝23×(1－2)2＋13×(4－2)2＝2题型三均值与方差中的决策问题例4数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p(0<p<1).(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A，B，C，D四个选项中任选一个选项，策略二：在A，B，C，D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的数学期望；(2)若有一个多选题，小明发现A正确，B，C，D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：除选A外再从B，C，D中任选一个，策略二：除选A外再从B，C，D中任选两个，在p＝14的条件下，判断小明选择哪个策略更好解(1)设小明分别采用策略一和策略二的得分分别为X1，X2，X1的可能取值为0，2，3，P(X1＝0)＝p×24＋(1－p)×1P(X1＝2)＝(1－p)×34P(X1＝3)＝p×24∴E(X1)＝0×1＋p4＋2×3-3p4X2的可能取值为0，4，6，P(X2＝0)＝p×56＋(1－p)×3P(X2＝4)＝(1－p)×36P(X2＝6)＝p×16∴E(X2)＝0×3＋2p6＋4×1-p2＋6×∴小明分别采取策略一和策略二的得分的数学期望分别为32和2－p(2)设小明选择策略一和策略二的得分分别为Y1，Y2，Y1的可能取值为0，4，6，P(Y1＝0)＝14×23＋P(Y1＝4)＝34×2P(Y1＝6)＝14×1∴E(Y1)＝0×512＋4×12＋6×Y2的可能取值为0，6，P(Y2＝0)＝14＋3P(Y2＝6)＝34×1∴E(Y2)＝0×34＋6×1∵E(Y1)>E(Y2)，∴小明选择策略一更好.思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.跟踪训练3(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.解(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是()A.8 B.10C.12 D.14答案C解析选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.2.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a，i＝1，2，3，则a等于(A.3 B.7C.2 D.5答案A解析根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a，i＝1，2，3，则有12a＋23.已知随机变量X的分布列为X－101P1mn若P(X≤0)＝12，且2X＋Y＝1，则D(Y)等于(A.2918 B.C.299 D.答案C解析由P(X≤0)＝12得m＝12－13＝16，n＝1－P(则E(X)＝－1×13＋0×16＋1×D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×56＋0×1由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝2994.已知随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝asinπ4n-2(n＝1，2)，其中a是常数，则E1aA.23 B.C.2 D.8答案C解析由P(X＝n)＝asinπ4n-2(n＝1，得P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝12a由P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，得a＝23于是E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＝2a＝43所以E1aX＝32E5.一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤2)等于()A.914 B.C.3756 D.答案D解析依题意知，ξ＝k表示前k个球为白球，第k＋1个球恰为红球，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则P(ξ＝k)＝A5kA31A8k＋1，k＝0，所以P(ξ＝0)＝A5P(ξ＝1)＝A5P(ξ＝2)＝A5所以P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝46566.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元100200300规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最大()A.FDE B.FEDC.DEF D.EDF答案C解析按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138；按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132；按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196；按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2＋300×0.5×0.8×0.7＋600×0.5×0.8×0.3＝176.综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知离散型随机变量X的分布列为X0125Pa2a＋0.2a＋0.22a则下列说法正确的是()A.a＝0.1 B.D(X)＝1.84C.E(X)＝2 D.E(2X＋6)＝9答案AC解析由分布列的性质知6a＋0.4＝1，解得a＝0.1，故A正确；故E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.3＋5×0.2＝2，D(X)＝0.1×22＋0.4×12＋0.3×02＋0.2×32＝2.6，故B错误，C正确；由离散型随机变量期望的性质可得，E(2X＋6)＝2E(X)＋6＝10，故D错误.8.已知随机变量X的分布列为X－101Pp1p2p2下列结论正确的是()A.若p1＝2p2，则p1＝1B.若p1＝p2，则P(|X|＝1)＝2C.若E(X)＝13，则p2＝D.p12－p2(p1p2≠0)的最小值为答案BC解析对于A，由题意得p1＋2p2＝1，若p1＝2p2，则p1＝12，A对于B，若p1＝p2，则p1＝p2＝13，P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝13＋对于C，若E(X)＝13，则－p1＋p2＝13，又p1＋2p2＝1，所以p2＝49对于D，由p1＋2p2＝1，得0<p2<12p12－p2＝(1－2p2)2－p2＝4p22－5p2＋1因为0<p2<12，所以p12－p2不存在最小值，三、填空题(每小题5分，共10分)9.随机变量ξ的分布列如表所示：ξ234Paba根据随机变量ξ的分布列，计算出E(ξ)＝，若D(ξ)＝12，则b的数值应是.答案31解析依题意，a＋b＋a＝2a＋b＝1，E(ξ)＝2a＋3b＋4a＝6a＋3b＝3(2a＋b)＝3，D(ξ)＝(2－3)2a＋(3－3)2b＋(4－3)2a＝2a＝12解得a＝14，代入2a＋b＝1得b＝110.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为.

答案3解析由题意可知P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y的均值为3.四、解答题(共28分)11.(13分)(2025·重庆模拟)甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.(1)求比赛只进行了三局就结束的概率；(5分)(2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.(8分)解(1)比赛只进行三局，则都是甲赢或都是乙赢，所以概率为0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.18＋0.08＝0.26.(2)设比赛进行的局数为X，则X所有可能的取值为3，4，5.当X＝3时，则前三局都是甲赢，P(X＝3)＝0.5×0.6＝0.3，当X＝4时，则可能的情况是甲乙甲乙乙胜甲乙乙乙甲胜甲甲乙甲甲胜甲乙甲甲P(X＝4)＝0.5×0.4×0.5＋0.5×0.4×0.5＋0.5×0.6×0.5＝0.35，P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.3－0.35＝0.35，故E(X)＝3×0.3＋4×0.35＋5×0.35＝4.05.12.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；(3分)②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(5分)(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.(7分)解(1)设员工所获得的奖励金额为X，①P(X＝1000)＝C3∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12②X所有可能的取值为400，1000，P(X＝400)＝C3∴X的分布列为X4001000P11∴员工所获得的奖励金额的均值为E(X)＝400×12＋1000×12(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800，800，800，200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，∴可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2.