2026版大一轮高考数学-第一章　§1.5　基本不等式的综合应用

§1.5基本不等式的综合应用课标要求1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.题型一与基本不等式有关的恒(能)成立问题例1(1)若不等式1a＋2b≥ma＋A.2 B.3 C.4 D.9答案D解析由题意a＋2ba＋2a＋4b又5＋2ba＋2ab≥5＋22ba故实数m的最大值为9.(2)若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4<m2－3m有解，则实数A.{m|－1<m<4}B.{m|m<－4或m>1}C.{m|－4<m<1}D.{m|m<－1或m>4}答案D解析∵不等式x＋y4<m2－3m∴x＋y4min<m2－3m，∵x>0，y>0，∴x＋y4＝x＋y41x＋4当且仅当4xy＝y4x，即x＝∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，∴m<－1或m>4，∴实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}.思维升华∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.跟踪训练1(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析因为x>－1，x＋1>0，所以x＋ax＋1＝x＋1＋ax＋1－1≥2(x＋当且仅当x＋1＝ax＋1，即x＝a所以x＋ax＋1有最小值2a因为不等式x＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2a－1解得a≥4，所以a的最小值为4.(2)已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，4＋62) B.(6＋42，＋∞)C.(－∞，7＋43) D.(8＋43，＋∞)答案C解析因为(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，所以xy＝2x＋y，即1x＋2所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)1x＋2y＝7＋2yx＋6xy≥当且仅当2即x＝综上所述，3x＋2y的最小值为7＋43.因为不等式3x＋2y>m恒成立，所以实数m的取值范围是(－∞，7＋43).题型二基本不等式的实际应用例2随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60km/h，最高限速120km/h)匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).解(1)设匀速行驶速度为vkm/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·500v＝v＋2500v－20(60≤v≤120易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，所以f(v)min＝f(60)＝2453>75－5即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不能在不充电的情况下到达B地.(2)设匀速行驶速度为vkm/h，总时间为th，行驶时间与充电时间分别为t1h，t2h.若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，即75＋15t2－f(v)≥5，解得t2≥v15＋500所以t＝t1＋t2≥500v＋v15＋5003v－6＝v15＋当且仅当v15＝20003v所以该汽车到达B地的最少用时为223h思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.跟踪训练2某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8a-x10(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为A.12 B.14 C.22 D.60答案B解析由题意可得8a-x10x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化简可得a≤180因为180x＋x20＋8≥2180x当且仅当180x＝x20，即所以a≤14，即a的最大值为14.题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题例3(1)设a>0，b>0，若ln3是ln3a与ln9b的等差中项，则2a＋1b的最小值为A.6 B.8 C.9 D.12答案B解析∵ln3是ln3a与ln9b的等差中项，∴2ln3＝ln3a＋ln9b，即ln3＝ln(3a·9b)＝ln3a＋2b＝(a＋2b)ln3，∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)＝4当且仅当ab＝4ba，即a＝12(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为()A.25 B.225 C.4答案D解析方法一设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝|-显然当λ<0时，有最大值，此时－2λ因为(－λ)＋-1λ≥2(-λ)·-1所以2(-λ)＋-1λ≤22方法二直线l恒过定点(1，－1)，故原点到直线l距离的最大值为2.思维升华基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.跟踪训练3已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sinB的取值范围是.

答案0解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以cosB＝a2因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，所以cosB＝3(a2＋又y＝cosx在区间(0，π)上单调递减，所以0<B≤π3，所以0<sinB≤3柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈(3)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad3.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bnanbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.4.二维形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).典例(1)实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋3y的最小值是()A.－5 B.－6 C.3 D.4答案A解析∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，∴x24＋∴x24＋y23(16即－5≤2x＋3y≤5，当且仅当33x＝8y，即当x＝当x＝∴z＝2x＋3y的最小值是－5.(2)设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为.

答案45解析∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，∴－45≤x－2y≤45， (*)当且仅当b＝ka，即x＝455,或x＝-455∴当x＝455，y＝－855时，a·b权方和不等式1.二维形式：已知x，y，a，b均为正数，则有ax＋by≥(a＋b)2x＋y2.一般形式：设ai，bi均为正数(i＝1，2，…，n)，实数m>0，则nΣi＝1aim＋1bim≥典例(1)若x>0，y>0，12x＋y＋3x＋y＝2，则答案132＋2解析12x＋y＋3x因为x>0，y>0，则6x＋5y≥132＋23当且仅当12即x＝33-44，y＝(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则x2y＋2答案1解析x2y＋当且仅当xy即x＝y＝z＝13时取等号课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，则a＋b的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.5答案C解析方法一因为ab－a＝1，所以b＝1a＋1，所以a＋b＝a＋1a＋1≥2a·1a＋1＝3，当且仅当a＝1时，等号成立，所以a＋方法二因为b>1，所以b－1>0.因为ab－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2a(b-1)当且仅当a＝b－1，即a＝1，b＝2时，等号成立，故a＋b的最小值为3.2.已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MFA.13 B.12 C.9 D.4答案C解析因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF1当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.3.已知实数x，y>0，1x＋4y＝2，且x＋y≥m恒成立，则实数mA.-∞，92 B.(－C.92，＋∞ D.[9答案A解析由1x＋4y＝2，可得又因为x，y>0，则x＋y＝(x＋y)·12x＋2y＝12＋2当且仅当y2x＝2xy，即y所以(x＋y)min＝92由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝92即实数m的取值范围为-∞4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>答案A解析当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<2x因为2xx2＋3＝2x＋3x≤22x·所以当x∈(0，2]时，2xx2故a<335.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(modm).已知正整数t满足t≡11(mod6)，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，则2Sn＋6A.12 B.14 C.16 D.18答案C解析由题意可知an＝6n－1，n∈N*，则数列{an}是等差数列，所以Sn＝n[5＋(6n-1)]2＝可得2Sn＋6n＝6n2＋4n＋当且仅当n＝1时，2Sn＋6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABCA.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，则S＝6(6-a)(6-b)(6-4)＝12(6-a)(6-当且仅当a＝b＝4时取等号，所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若mxym-1≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为(A.12 B.98 C.3 D答案ABC解析由x>0，y>0，得xy>0，mxym-1≤x＋2即mm-1≤又2x＋1y＝2x＋1y(2x＋y)＝5当且仅当x＝y＝13故mm-1≤9，即mm-1－9＝即(解得m<1或m≥988.若a>1，b>1，且ab＝e2，则()A.2e≤a＋b<e2＋1B.0<lna·lnb≤1C.22－1≤lna＋logab<2D.alnb的最大值为e答案ABD解析由a>1，b＝e2a>1，得1<a<e因为函数f(a)＝a＋b＝a＋e2a在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故因为ab＝e2，所以有lna＋lnb＝2，于是0<lna·lnb≤lna＋lnb22＝1，当且仅当a＝lna＋logab＝lna＋lnblna＝lna＋2-lnalna＝ln设t＝lna∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋2t－1在(0，2)上单调递减，在[2，2)所以φ(t)＝t＋2t－1∈[22－1，＋∞)，故C设λ＝alnb，所以lnλ＝lnalnb＝lnb·lna≤1，所以λ≤e，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2024·南京模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.答案1解析∵正实数x，y满足x＋y＝2，∴xy≤(x＋y)24＝2又1xy≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为110.已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则a2＋b2答案22解析函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0，则有Δ＝4-4ab＝0,a>0,即所以a2＋b2a-b＝(又a>b，所以a－b>0，则(a－b)＋2a-b≥22a当且仅当a－b＝2，且ab＝1，即a＝6＋22，b即a2＋b2四、解答题(共28分)11.(13分)已知函数f(x)＝x＋9x-1(x>1(1)求f(x)的最小值；(6分)(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.(7分)解(1)f(x)＝x＋9x-1＝x－1＋9x因为x>1，所以x－1>0，所以x－1＋9x-1＋1≥2(x-1)·当且仅当x－1＝9x-1，即x＝所以f(x)的最小值为7.(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，因为a2＋6a≤f(x)恒成立，所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，所以a的取值范围是[－7，1].12.(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝2x2＋60(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(7分)(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大