北师大版八年级数学下册试题 2.4 一元一次不等式 （含解析）

2.4一元一次不等式【题型1一元一次不等式的定义】1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（）A．4>1 B．x<y C．3x−3<2 D．12.请写出一个一元一次不等式______．3.若a−3xa−2−1>5是关于x4.若(m+1)xm2−3>0是关于x的一元一次不等式，则【题型2一元一次不等式的解集】1.当x取何值时，代数式x+36的值不小于2x−54与2.如果关于x的不等式6x>a+5和2x>4的解集相同，则a的值为．3.（1）解方程：x−x−2（2）阅读下面解不等式x−13解：2x−2−x+2>3x−12……第一步2x−x−3x>−12……第二步−2x>−12……第三步x>6……第四步①第一步去分母的依据是；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；直接写出原不等式的正确解集是；③请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议．4.不等式x+22≥2x+m3+1【题型3在数轴上表示不等式的解集】1.解不等式并把解集在数轴上表示出来．(1)2x3−3x−12.把不等式3x−1≤2x+3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（

）A． B．C． D．3.若关于x的不等式3x−a≤−1的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值是．4.若不等式4x−1<−2x+的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是

(

)

A.1 B.3 C.5 D.7【题型4一元一次不等式的整数解】1.已知关于x的不等式x−m≥0的负整数解只有−1,−2,则m的取值范围是（

）．A．−3<m<−2 B．−3<m≤−2 C．−3≤m≤−2 D．−3≤m<−22.关于x的不等式x−a>1有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（

）A．−4<a<−3 B．−4≤a<−3 C．−5≤a<−4 D．−5<a≤−43.若关于x的不等式2x−a>0的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则a的取值范围是（

）.A．a≥−2 B．a<0 C．−2≤a<0 D．4.已知方程组4m+3n=33m−2n=15的解满足2km+3n<3，则k的非负整数值为【题型5解含参数的一元一次不等式】1.若关于x的不等式ax−b>0的解集为x<13，则关于x的不等式(a+b)x>b−a的解集是（A．x<−12 B．x<12 C．2.已知关于x的方程5(x−a)=−2a的根大于关于x的方程3(x−a)=2(x+a)的根，则a应是（）A．不为0的数 B．正数 C．负数 D．大于-1的数3.已知关于x的不等式(2a−b)x≥a−2b的解集是x≥52，则关于x的不等式ax+b<0的解集是4.若关于x的不等式ax+a>−bx+b的解集为x<12，则关于x的不等式ax+a>−bx+3b的解集是【题型6解含绝对值的一元一次不等式】1.不等式x−1<1的解集是（

A．x>2 B．x<0 C．0<x<2 D．x<0或x>22.不等式|x|<1的解集是．3.已知不等式12x−2−5−1>12a4.阅读下列材料：我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即x=x−0，也就是说，x表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为x1−x例1．解方程x=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程x=2的解为例2．解不等式x−1>2．在数轴上找出x−1=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为−1或3，所以方程x−1=2的解为x=−1或x=3，因此不等式

例3．解方程x−1+x+2=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和−2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和−2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或−2的左边．若x对应的点在1的右边，可得x=2；若x对应的点在−2的左边，可得x=−3，因此方程x−1+x+2

参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程x+3=4(2)解不等式：x−3≤5(3)解不等式：x−3+【题型7由一元一次方程解的取值范围求参数取值范围】1.若方程2mx+3−1=m6−x−3x的解是负数，则A．m<−1 B．m<−3 C．m>−13 2.若关于x的不等式ax−2>0的解集为x<−2，则关于y3.若关于x的方程5x−2a=8的解是非正数，则a的取值范围是（

）A．a>−4 B．a<−4 C．a≥−4 D．a≤−44.已知关于x的方程x−23+m=2，若该方程的解是不等式2x−1<1+3x2【题型8由二元一次方程组解的关系求参数取值范围】1.若关于x，y的方程组x+5y=6m−35x+y=−3的解满足x+y<3，则mA．1 B．3 C．4 D．62.若方程组3x+y=k+1x+3y=3的解为x=ay=b且a+b>0，则A．k>4 B．k>−4 C．k<4 D．k<−43.已知关于x，y的方程组x−2y=3k2x+y=k+4，满足x+3y≥0，则kA．0 B．1 C．2 D．34.m,n为实数,若关于x的方程组x−my=2n2x+3y=5无解,则关于aA．a>−13 B．a>−3 C．a<−1【题型9一元一次不等式解的最值】1.若关于x的不等式3x<a的正整数解是1，2，3，则整数a的最小值是．2.若实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，则a可取的最小正整数为（

）A．3 B．4 C．5 D．63.已知实数x，y满足2x−3y=4，并且x≥−1，y≤2，则x−y的最大值是．4.若质数p、q满足：3q−p−4=0，p+q<111，则pq的最大值为．【题型10一元一次不等式中的新定义问题】1.规定：min{m,n}表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），例如：min{4，5}=4．若min2x−4A．x<7 B．x>9 C．x<9 D．x>72.对于任意实数a，b，定义一种运算“⊙”，其运算规则是：当a≥b时，a⊙b=a+b；当a<b时，a⊙b=2a+b．例如：3⊙−4=3+−4=−1，−2⊙1=2×−2+1=−3．有下列结论：①−6⊙−16=−136；②若3.定义一种法则“*”：x∗y=x+yx>yx−yx≤y，如：3∗4=−1．若32A．m>12 B．m≤12 C．m>27 D．m≤274.我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．(1)若关于x的不等式A:3x−1>0，不等式B:3x+a2>1(2)若关于x的不等式C:x+1>mn，不等式D:x−3>m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；(3)若关于x的不等式P:2a−bx+3a−4b<0，不等式Q:14x−12>参考答案【题型1一元一次不等式的定义】1.C【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．【详解】解：A、不等式4>1不含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；B、不等式x<y含有2个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；C、不等式3x−3<2是一元一次不等式，故本选项符合题意；D、不等式1x故选：C．2.x−1>0(答案不唯一)

【解析】解：一元一次不等式有：x−1>0．

故答案为：x−1>0(答案不唯一)．

根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．

本题考查不等式的定义；写出的不等式只需符合条件．3.x<−3【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出a=1，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键．【详解】解：∵a−3xa−2−1>5∴a−2=1，且a−3≠0，解得∴题中的不等式为−2x−1>5，解得x<−3，故答案为：x<−3．4.1

【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．

利用一元一次不等式的定义得出m2=1且m+1≠0，由此解答即可．

【解答】

解：∵m+1xm2−3>0是关于x的一元一次不等式，

∴m2=1，

解得：m=±1【题型2一元一次不等式的解集】1.x≤【分析】根据题意建立不等式x+36【详解】解：由题意得：x+36去分母得：2x+3去括号得：2x+6≥6x−15+4，移项得：2x−6x≥−15+4−6，合并得：−4x≥−17，系数化为1得：x≤17∴当x≤174时，代数式x+36的值不小于2x−52.7【分析】解6x>a+5得x>a+56，解2x>4得x>2，由不等式6x>a+5和2x>4的解集相同，可得【详解】解：6x>a+5，解得x>a+52x>4，解得x>2，∵不等式6x>a+5和2x>4的解集相同，∴a+56=2，解得故答案为：7．3.解：（1）x−去分母，得：15x−3x−2去括号，得：15x−3x+6=10x−25+15，移项，合并，得：2x=−16，系数化1，得：x=−8；（2）①去分母的依据是：不等式的性质；故答案为：不等式的性质；②第一步出现错误，错误的原因是去分母时，没有添括号，导致符号出错，2x−2−x−2>3x−122x−x−3x>−12+4−2x>−8x<4；故答案为：一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，x<4；（3）去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化．4.1【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得x≤−2m，然后根据已知易得−2m=8，从而可得m=−4，最后把m的值代入式子中进行计算，即可解答．【详解】解：x+223x+23x+6≥4x+2m+6，3x−4x≥2m+6−6，−x≥2m，x≤−2m，∵不等式的解集为x≤8，∴−2m=8，解得：m=−4，∴2m故答案为：116【题型3在数轴上表示不等式的解集】1.（1）解：去分母得：4x−33x−1去括号得：4x−9x+3<6，移项得：4x−9x<6−3，合并得：−5x<3，系数化为1得：x>−3故不等式的解集为：x>−3在数轴上表示为：

（2）解：去括号得：x−2x+2≥1，移项得：x−2x≥1−2，合并得：−x≥−1，系数化为1得：x≤1，故不等式的解集为：x≤1；在数轴上表示为：

2.A【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集为x≤4，从而可求解．本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【详解】解：3x−1≤2x+3，3x−2x≤3+1，x≤4．在数轴上表示为：．故选：A．3.−2【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解题的关键．由题图得不等式的解集为x≤−1，解不等式得x≤a−13，因而【详解】解：3x−a≤−1，移项，得：3x≤a−1，解得：x≤a−1由题图得不等式的解集为x≤−1，∴a−1解得：a=−2，故答案为：−2．4.C

【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为a，求出4x−1<−2x+a，的解集为x<a+16

，根据解集在数轴上表示可得【解答】

解：设被墨迹污染的数字为a，

解不等式4x−1<−2x+a，得

x<a+16

，

由题图可知该不等式的解集为x<1，

所以

a+16【题型4一元一次不等式的整数解】1.B【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键．【详解】∵x−m≥0，∴x≥m，∵不等式x−m≥0的负整数解只有−1,−2,∴符合题意的m取值范围如图所示，∴−3＜故选B．2.C【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．【详解】解：∵x−a>1，∴x>a+1，∵关于x的不等式x−a>1有且只有三个负整数解，∴x的负整数解有：−1,−2,−3，∴−4≤a+1<−3，解得：−5≤a<−4，故选：C．3.C【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：x>a2，然后根据题意可得：【详解】2x−a>0，2x>a，x>a∵不等式2x−a>0的解集中存在负数解，但不存在负整数解，∴−1≤a∴−2≤a<0，故选：C．4.0，1【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，先解二元一次方程组，得到m=3n=−3，再把m=3n=−3代入不等式，求出k<2,即可得到【详解】解：4m+3n=3①×2＋②×3得，17m=51，解得m=3，把m=3代入①得，12+3n=3，解得n=−3，∴m=3n=−3把m=3n=−3代入2km+3n<3得到6k−9<3解得k<2，∴k的非负整数值为0，1故答案为：0，1【题型5解含参数的一元一次不等式】1.A【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及a<0，b<0的结论，设b=m，【详解】解：由ax−b>0得：ax>b，∵不等式ax−b>0的解集是x<1∴ba设b=m,a=3m(m<0),则b−a=−2m,a+b=4m<0,∴(a+b)x>b−a的解集是x<b−a即x<−1故选：A．2.C【分析】分别用a表示出两方程的根，根据题意可得到关于a的不等式，可求出a所满足的条件，可得出答案．【详解】解方程5（x-a）=-2a可得x=35解方程3（x-a）=2（x+a）可得x=5a，∵方程5（x-a）=-2a的根大于关于x的方程3（x-a）=2（x+a）的根，∴35故选C．3.x>−8【分析】对不等式(2a−b)x⩾a−2b可得x⩾a−2b2a−b，其解集是x⩾52，故有a−2b2a−b【详解】解：不等式(2a−b)x⩾a−2b系数化1得，x⩾a−2b2a−b，且∵该不等式的解集为是x⩾5∴a−2b2a−b∴b=8a，∵2a−b＞0，∴2a−8a＞0，解得a<0，将b=8a代入不等式ax+b<0得，ax+8a<0，移项得，ax<−8a，又∵a<0，∴x>−8，故答案为：x>−8．4.x<2【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．由ax+a>−bx+b，可得a+bx>b−a，由不等式ax+a>−bx+b的解集为x<12，则x<b−aa+b，即a+b<0且b−aa+b=【详解】解：ax+a>−bx+b，∴a+bx>b−a∵不等式ax+a>−bx+b的解集为x<1∴x<b−aa+b，即a+b<0且解得，b=3a<0，∵ax+a>−bx+3b，∴ax+a>−3ax+9a，解得，x<2，故答案为：x<2．【题型6解含绝对值的一元一次不等式】1.C【分析】根据绝对值性质分x−1>0、x−1<0，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．【详解】解：①当x−1≥0，即x≥1时，原式可化为：x−1<1，解得：x<2，∴1≤x<2；②当x−1<0，即x<1时，原式可化为：1−x<1，解得：x>0，∴0<x<1，综上，该不等式的解集是0<x<2，故选：C．2.−1<x<1【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“|x|<1”可理解为数x在数轴上对应的点到原点的距离小于1，不等式|x|<1的解集是−1<x<1．故答案为：−1<x<1．3.−5【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据x<1【详解】∵1x−2x−21−a∴1−a>0，即∴x−2∴x−2<−∴x<−∵不等式的解是x<1∴x>∴−91−a+2=经检验，a=−5是方程的解．故答案为：−5．4.（1）解：∵在数轴上到−3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或−7，∴方程x+3=4的解为x=1或x=−7故答案为：x=1或x=−7．（2）在数轴上找出x−3=5∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为−2或8，∴方程x−3=5的解为x=−2或x=8∴不等式x−3≤5的解集为−2≤x≤8（3）在数轴上找出x−3+由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和−4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值，∵在数轴上3和−4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或−4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在−4的左边，可得x=−5，∴方程x−3+x+4=9的解是x=4∴不等式x−3+x+4≥9的解集为x≥4【题型7由一元一次方程解的取值范围求参数取值范围】1.A【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解一元一次方程，然后根据已知方程的解是负数，可得13m+3<0，从而可得【详解】解：2mx+32mx+6m−1=6m−mx−3x，2mx+mx+3x=6m−6m+1，3mx+3x=1，3m+3x=1x=1∵方程的解是负数，∴1∴3m+3<0，∴3m<−3，∴m<−1，故选：A．2.y=2

【解析】解：∵不等式ax−2>0，即ax>2的解集为x<−2，

∴a=−1，

代入方程得：−y+2=0，

解得：y=2．

故答案为：y=2．

3.D【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建一元一次不等式，最后解不等式即可．【详解】∵5x−2a=8，∴x=8+2a∵关于x的方程5x−2a=8的解是非正数，∴x=8+2a解得a≤−4，故选：D．4.2【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值．【详解】解：2x−1<4x−2<1+3x4x−3x<1+2x<3，∴不等式2x−1<1+3x∵关于x的方程x−23+m=2的解是∴2−2∴m=2，故答案为：2．【题型8由二元一次方程组解的关系求参数取值范围】1.D【分析】两式相加可得x+y=m−1，代入已知不等式求出m的范围，再确定m的所有非负整数解即可求出结果．【详解】解：x+5y=6m−3①+②，得6x+6y=6m−6∴x+y=m−1∵x+y<3∴m−1<3∴m<4∴m的非负整数为3，2，1，0，∴m的所有非负整数之和为3+2+1+0=6故选D．2.B【分析】此题考查了二元一次方程组和不等式的综合运用能力，关键是能应用简单方法，计算准确将x=ay=b代入原方程组，用含k的代数式表示出a+b【详解】解：将x=ay=b3a+b=k+1①①+②4∵a+b>0，∴k+44解得，k>−4，故选：B．3.C【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式；由题意把方程组中两方程相关得x+3y=−2k+4；由题意得不等式，解不等式即可．【详解】解：x−2y=3k②−①得：而x+3y≥0，即−2k+4≥0，解得：k≤2；则k的最大值是2．故选：C．4.C【分析】本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式性质．熟练运算是解出本题的关键．【详解】解:∵x−my=2,整理得：x=2+my,∴把x=2+my代入n2mn2+3∵该方程组无解,∴mn∴mn∴m=−3∴关于a的不等式ma>1n2∴a<−1故选:C．【题型9一元一次不等式解的最值】1.10【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：不等式的解集是：x<a∵不等式的正整数解恰是1，2，3，∴3<a∴a的取值范围是9<a≤12．∴整数a的最小值是10．故答案为：10．2.C【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，根据实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，可得a的取值范围，从而可以求得a可取的最小正整数，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【详解】解：由不等式2x−a−2<0，得x<a+2∵实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，∴a+22>3，得∴a可取的最小正整数为5，故选：C．3.3【分析】本题考查了一次方程和一元一次不等式的解法的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算；运用一次方程和一元一次不等式的解法进行求解即可．【详解】解：∵2x−3y=2x−2y−y=2=4即2x−y∴x−y=y+4∵y≤2，∴x−y=y+4即x−y的最大值是3故答案为：34.1007【分析】此题主要考查了质数的定义以及不等式的解法等知识，根据已知分别得出q，p的取值范围，进而结合质数的定