湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三收官考试数学试卷（解析）

望城一中2025届高三年级收官考试数学试卷望城一中高三数学组2025.5.22本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项:亲爱的同学们：当你们翻开这份试卷，会发现题目里藏着的不是艰涩的挑战，而是三年时光凝成的熟悉与从容.它像一场温暖的复盘，让你们在提笔时能微笑回望：原来那些曾让你皱眉的公式定理，早已悄悄长成了前行的阶梯.高三是一场与自己的对话，数学符号是这段对话里最理性的注脚.你们在草稿纸上写下的每一笔，不仅是计算，更是对坚持的注解；在错题旁订正的每一个红字，不仅是修正，更是向未来的宣言.不必为“最后一套试卷”赋予沉重的意义，它更像一盏温柔的灯，照亮你们已走过的路——那里有深夜台灯下的倔强，有豁然开朗时的雀跃，也有偶尔迷茫时依然向前的脚印.高考从来不是终点，而是你们用知识、毅力和热爱为自己铺就的起点.愿你们带着数学教会你们的逻辑与冷静、勇气与耐心，走向更广阔的天地.最后，请记住：人生没有标准答案，但你们为青春写下的每一步，都算数.轻松作答吧，少年们！——永远相信你们的老师一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解.【详解】,,,故选：B.2.若复数满足，则的虚部为（）A. B.1 C. D.i【答案】B【解析】【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案.【详解】因为，所以，所以的虚部为1.故选：B3.已知夹角为，且，则等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的运算律即可求解.【详解】故选：A4.已知角α的终边经过点(-4,-3)，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角α的终边经过点(-4,-3)，利用三角函数的定义得到，再利用诱导公式及二倍角公式，商数关系，转化为求解.【详解】因为角α的终边经过点(-4,-3)，所以所以，，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及诱导公式，二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.若椭圆:的上顶点与右顶点的连线垂直于下顶点与右焦点连线，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆上下顶点的坐标、焦点坐标求得直线的斜率，利用斜率乘积为列方程，结合求得离心率的值.【详解】椭圆上顶点坐标为，右顶点的坐标为，故直线的斜率为.椭圆下顶点坐标为，右焦点的坐标为，故直线的斜率为.由于，故，即，由于，所以，即，解得.故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，考查两直线两直线垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性的性质，代入求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，则.故选：D7.已知直线与平面，则能使的充分条件是（）A.， B.，，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A错误；对于B，若，，，则只需平面内互相垂直即可，无法得到，B错误；对于C，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C错误；对于D，，存在直线，满足，又，，，，D正确.故选：D.8.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则().A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A：由，得，故A正确；对于B：由，得，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线，，所以在正态分布曲线上，的峰值较高，正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误.故选：AC.10.函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】ABC【解析】【分析】画出在的图像，即可根据图像得出.【详解】画出在的图像如下：则可得当或时，与的交点个数为0；当或时，与的交点个数为1；当时，与的交点个数为2.故选：ABC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.为奇函数 B.在其定义域上有增有减C.的图象与直线相切 D.有唯一的零点【答案】ACD【解析】【分析】由奇函数的定义可判断A选项；对求导，判断的正负，可判断B选项；求的点，代入求切线方程可判断C选项；根据单调性和奇偶性可判断D选项.【详解】解：函数定义域为，且，所以为奇函数，故A正确；，所以为单调递增函数，故B不正确；当时，，此时，当时，，此时切线方程为：，即，故C正确；由B选项可知，为单调递增函数，所以最多只有一个零点，又，所以有唯一的零点，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若二项式展开式中的常数项为160，则______．【答案】2【解析】【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出.【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，所以当时的项为常数项，解得.故答案为：2.13.已知圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为________．【答案】【解析】【分析】作圆台的轴截面，结合条件求圆台的高和母线长，再结合侧面积公式求结论.【详解】记圆台的轴截面为等腰梯形，作圆台的轴截面如下：过点作，垂足，过点作，垂足为，因为圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，所以，，，所以，，，所以圆台的高为，母线长为2．故圆台的侧面积．故答案为：.14.若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】先化简函数式得，再结合三角函数的图象与性质，利用整体代换计算即可.【详解】由三角恒等变换可得，时，有，若要满足题意则需：.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.（1）求的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式；（2），利用错位相减法求和，得到答案.小问1详解】由题意知，解得或，当时，，，故，；当时，，，故，，所以或；【小问2详解】因为，所以.因为，所以，两式相减得，故.16.工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业．下表是某地各年新增企业数量的有关数据：年份/年20172018201920202021年份代码（x）12345新增企业数量（y）817292442（1）请根据上表所给数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量；（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”企业个数，求随机变量X的分布列与期望．参考公式：经验回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为．【答案】（1），69家（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）求出，，根据最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即可求得答案，将代入回归直线方程，即可预测2025年此地新增企业的数量；（2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出其对应的概率计算求得X的分布列，进而求得期望.【小问1详解】，，，，所以，，所以．2025年，即当时，由经验回归方程可得，所以估计2025年此地新增企业的数量为69家；【小问2详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，因为，，，．所以的分布列为0123所以．17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．（1）求证：QN平面PAD；（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．【答案】（1）证明见解析（2）l平面PBD，证明见解析【解析】【分析】（1）推导出QNAD，由此能证明QN平面PAD；（2）连接BD，则MNBD，从而MN平面ABCD，由线面平行的性质得MNl，从而BDl，由此能证明l平面PBD．【小问1详解】证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．∴QNBC，BCAD，∴QNAD，∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD，∴QN平面PAD；【小问2详解】直线l与平面PBD平行，证明如下：∵M，N分别为PD，PB的中点，∴MNBD，∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN平面ABCD，∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，∴由线面平行的性质得MNl，∵MNBD，∴BDl，∵，且BD⊂平面PBD，平面PBD，∴l平面PBD．18.已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.【小问1详解】由题可得，因为在点处的切线平行于轴，所以，即，解得，经检验符合题意．【小问2详解】因为，令，得或．当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，因为，当且仅当时，，所以在区间上单调递增．当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．19.已知圆经过点，，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于两点，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求值.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）先设圆心坐标，再根据两点间距离计算求参，即可得出圆的方程；（2）（ⅰ）根据圆心到直线的距离小于半径得出范围；（ⅱ）根据平行四边形结合已知得出菱形，再应用点到直线距离为1得出参数.【小问1详解】根据圆心在直线上，设圆心.因为圆经过，所以，