数学（四）-2025年中考考前20天终极冲刺攻略（解析版）

第第页01图形的相似01图形的相似考点考情分析比例有关的概念和性质选择题和填空题常考查比例的基本性质、平行线分线段成比例定理的简单应用、黄金分割的概念等；解答题可能与三角形、四边形、相似图形等知识综合考查。相似三角形的性质与判定选择题和填空题通常直接考查相似三角形的基本概念、判定条件或简单的性质应用；解答题可能与三角形、四边形等几何图形结合；与函数(如一次函数、二次函数)结合；在一些实际问题中，利用相似的性质来求解未知量。位似常出现在选择题、填空题中，也可能在解答题中与其他知识点结合考查，整体难度中等或偏下考查分值：分值在3-19分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题、填空和解答题均有。命题趋势：相似三角形的基本性质与判定:仍是重点内容。位似图形:考查位似中心的确定、位似比的计算，以及在平面直角坐标系中根据位似变换求点的坐标。相似与其他知识的综合:与函数(如一次函数、二次函数)结合，通过函数图象上的点构造相似三角形，解决函数中的几何问题，与圆结合，利用圆中的圆周角、弦切角等关系构造相似三角形，求解与圆相关的线段长度、角度问题:在实际问题中构建相似三角形模型，如测量物体高度、河宽等问题。知识点1：比例有关的概念和性质线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=c【高分技巧】1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：比例的性质：1）基本性质：ab=2）变形：ab=3）合、分比性质：a4）等比性质：如果ab=c5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB【注意】1）AC=5−12AB≈0.648AB2）一条线段的黄金分割点有两个.【扩展】作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：①经过点B作BD⊥AB，使BD=12②连接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.6）平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．知识点2：相似三角形的性质与判定相似多边形的的概念：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的性质：1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2)相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.知识点3：位似位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.常见的位似图形：画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.位似图形的性质：1)位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；2）位似图形的对应边互相平行或者共线.3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.画位似图形的步骤：1）确定位似中心,找原图形的关键点.2）确定位似比.3）以位似中心为端点向各关键点作射线.4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.真题1（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D．真题2（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，

A．165 B．167 C．2【答案】A【分析】先证得四边形DEFC是平行四边形，得到DE=FC，再利用平行线截线段成比例列式求出FC即可．【详解】∵DE∥BC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE=FC，∵EF∥∴FCBF∵BF=8，∴FC=16∴DE=16故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．真题3（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−1【答案】5−1或【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键．先证明四边形ABPN是矩形，根据黄金分割的定义可得BCAB【详解】解：∵四边形MNPQ是正方形，∴∠N=∠P=90°，又∵AB∥∴∠BAN+∠N=180°，∴∠BAN=90°，∴四边形ABPN是矩形，∴AB=NP=2cm又∵BCAB∴BC=5故答案为：5−1或−1+真题4（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF=．【答案】3【分析】先根据平行线分线段成比例证AF=EF，进而得DE=CD=AC=2CF=2，AD=4，再证明△CAB≌△DEA，得BC=AD=4，从而即可得解．【详解】解：∵CD=CA，过点D作DE∥CB，CD=CA，DE=DC，∴FAFE=CA∴AF=EF，∴DE=CD=AC=2CF=2，∴AD=AC+CD=4，∵DE∥CB，∴∠CFA=∠E∵∠CAB=∠CFA，∴∠CAB=∵CD=CA，DE=CD，∴CA=DE，∴△CAB≌△DEA，∴BC=AD=4，∴BF=BC−CF=3，故答案为：3，【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽【答案】见解析【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出∠B=∠C=90°，AB=CB=9，进而得出ABEC【详解】解：∵BE=3，EC=6，∴BC=9，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，∵ABEC=∴又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽真题6（2024·四川·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1=∠ABC．(1)求证：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；②若BC=13，AD=5，求EF的长．【答案】(1)见解析(2)①BC=BD，理由见解析；②EF=【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由余角的性质可得∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°，根据∠1=∠ABC，可得∠2=∠3；（2）①设∠2=∠3=x，可求∠BFE=90°−x=∠DFC，可求∠BCD=∠BDC=45°+x，根据等腰三角形的判定可得BC=BD；②由勾股定理可求AB=12，由“AAS”可证△ADB≌△EBC，可得BE=AD=5，通过证明△EFB∽△ADB，可得EFAD【详解】（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°=∠A，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90°，∵∠1=∠ABC，∴∠2=∠3；（2）解：①BC=BD，理由如下：设∠2=∠3=x，∴∠BFE=90°−x=∠DFC，∵∠4=45°，∴∠CDB=180°−45°−(90°−x)=45°+x，∵∠BCD=∠4+∠2=45°+x，∴∠BCD=∠BDC，∴BC=BD；②∵BC=BD=13，AD=5，∴AB=B∵BC=BD，∠A=∠CEB，∠2=∠3，∴△ADB≌△EBCAAS∴BE=AD=5，∵∠A=∠CEB，∠3=∠3，∴△EFB∽△ADB，∴EFAD∴EF5∴EF=25真题7（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点(1)求证：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度数．【答案】(1)见详解(2)45°【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB=∠E，等量代换可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．（2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α，由相似三角形的性质可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根据圆内接四边形的性质可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值，进一步即可得出答案．【详解】（1）证明：∵CD∴∠CAD=∠DAB，∵DE=AD，∴∠DAB=∠E，∴∠CAD=∠E，又∵∠C=∠C∴△CAD∽△CEA，（2）连接BD，如下图：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°真题8（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD=∠C，则AB（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=13−1【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得出ABBC（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，解直角三角形得出CF=AC×sin60°=2×32=3，AF=AC×cos60°=2×12=1，证明△BDG∽△BCF，得出DGCF=（3）连接BD，证明△BED∽△GEB，得出DEBE=BEEG，求出DE=2，证明△ABE为直角三角形，得出∠AEB=90°，根据勾股定理求出BG=B【详解】解：（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC∴AB（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：则∠AFC=∠AGD=90°，∴DF∥∵∠BAC=60°，∴CF=AC×sin60°=2×3∵D为BC的中点，∴BD=CD=1∵DF∥∴△BDG∽△BCF，∴DGCF∴DG=1∴BG=B∴BF=2BG=13∴AB=AF+BF=1+13∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠AED=∠CAD，∴∠AED=∠CDA，∴∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°，∴∠BED=∠ADB，∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BAD，∴BEBD即BE2解得：BE=13（3）连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD=AB=BC=5∵∠ABC=2∠EBF，∴∠ABD=∠CBD=∠EBF，∴∠EBF−∠DBF=∠CBD−∠DBF，即∠DBE=∠CBF，∵AD∥∴∠CBF=∠G，∴∠DBE=∠G，∵∠DEB=∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴DEBE∵DG=6，∴EG=DE+6，∴DE4解得：DE=2，负值舍去，∴EG=2+6=8，∴AE=AD−DE=3，∵AE∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，∴∠BEG=180°−90°=90°，∴在Rt△BEGBG=B∴BF=BG−FG=45∵AD∥∴△DFG∽△CFB，∴FGBF即FG4解得：FG=24【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．预测1（2025·浙江·二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点DA．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理进行解答即可．【详解】解：∵l1∴DE∴EF=2DE=4，故选：C．预测2（2025·浙江·模拟预测）若4b−aa=2，则A．14 B．4 C．34 【答案】D【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行变形求解即可，掌握等式的性质是解题的关键．【详解】解：∵4b−aa∴4b−a=2a，∴4b=3a，∴ab故选：D．预测3（2025·甘肃·一模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为30cm．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的13时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（A．10cm B．30cm C．90cm【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为xcm，根据题意得到30x=【详解】解∶设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为xcm根据题意得30x解得x=90，∴设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为90cm，故选：C．预测4（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为20cm，宽为8cm的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为10cmA．100cm2 B．80cm2 C．【答案】D【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解．【详解】解：设缩小后的宽是xcm∵缩小前后的两个矩形相似，∴20:10=8:x，∴x=4，∴放大后的宽是4cm放大后的矩形的面积=10×4=40cm故选：D．预测5（2025·青海海东·一模）【探究与证明】【问题情境】宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：【操作发现】第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．【问题解决】(1)图③中AB=______（保留根号）；(2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；(3)如图④，请证明矩形BCDE和矩形MNDE是黄金矩形．【答案】(1)5(2)四边形BADQ是菱形，理由见解析(3)见解析【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义．（1）根据四边形MNCB是正方形得NC=MN=2，由折叠的性质得，AC=12NC=（2）四边形BADQ是菱形，由折叠的性质可知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，证明四边形BADQ为平行四边形，由AB=AD，即可证明；（3）根据黄金矩形的定义证明即可得．【详解】（1）解：由题知四边形BCNM为正方形，且MN=2，∴BC=NC=2，∠NCB=90°，又∵矩形MNAF与矩形FACB相等，∴NA=CA=1，∴AB=A（2）解：四边形BADQ是菱形，理由如下：由折叠的性质可知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，又∵四边形ACBF为矩形，∴BQ∥AD，则∠BQA=∠DAQ，∴∠BAQ=∠BQA，∴AB=BQ，AD=BQ，∴四边形BADQ为平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形BADQ为菱形；（3）证明：∵FA=BC=2，AC=1，AB=AD=5∴CD=AD−AC=5则CDBC故四边形BCDE为黄金矩形，∵MN=2，NA=1，AD=5∴ND=NA+AD=1+5∴MNND故四边形MNDE为黄金矩形．押题1如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（A．12 B．1 C．43【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC【详解】解∶∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=1∵点E为OC的中点，∴CE=1∵EF∥∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CE∴EF=1，故选：B．押题1如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A(−3,1)的对应点为A'A．(−4,8) B．(8,−4) C．(−8,4) D．(4,−8)【答案】A【分析】本题考查了位似变换，根据点A、A'的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．【详解】解：∵△ABC与△A'B'C∴△A'B'C∴点B(−2,4)的对应点B'的坐标为−2×2,4×2，即−4,8故选：A．押题2如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（

）A．2 B．3 C．52 D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD，AB=6，∴AB=AD=CD=6，∵正方形CEFG，CE=2，∴CE=GF=CG=2，∴DG=CD−CG=4，由题意得AD∥∴△ADH∽△FGH，∴ADGF=DH解得DH=3，故选：B．押题3如图，双曲线y=12xx>0经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEBA．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【答案】A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作AF⊥BD，垂足为F，设Aa,12a，证明△AFE∽△ODE，有AFOD=AEOE=EFDE，根据E为AO的中点，可得AF=OD，EF=DE，进而有【详解】如图，过点A作AF⊥BD，垂足为F，设Aa,12a∵BD⊥y轴，AF⊥BD，∴AF∥y轴，DF=a，∴△AFE∽△ODE，∴AFOD∵E为AO的中点，∴AE=OE，∴AFOD∴AF=OD，EF=DE∴EF=DE=12DF=∵OD=y∴yB∴xB∴BD=x∴BE=BD−DE=3∴S△ABE故选：A．押题4《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12

【答案】6【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角∴BD∥∴△ABD∽△AQP，∴BD∵AB=40cm，∴PQ=AQ×BD故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．押题5如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、(1)求证：△ABC∽(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)25【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）连接OC，根据题意得∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°（2）先由勾股定理确定AD=3，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：∵CD是⊙O的切线，点C在以AB为直径的⊙O上，∴∠OCD=∠OCA+∴∠ACD=∵OC=OB，∴∠OBC=∴∠ACD=∵AD⊥l，∴∠ADC=90°∴∠ADC=∴△ABC∽（2）∵AC=5，CD=4，∴AD=5由（1）得△ABC∽∴ABAC=AC∴AB=25∴⊙O的半径为253押题6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，【答案】(1)y=−(2)存在，2,16(3)存在，9【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB的解析式为y=−43x+163，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得S△PAB=S△PNB+S（3）由已知条件可得△OBC∽△PDC，进而可得S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB，过点B,P分别作x轴的垂线，垂足分别F,E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G，可得△DPG∽△OBF，设【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y=ax得16a+4b=0a+b=4解得a=−4所以抛物线的解析式为y=−4（2）设直线AB的解析式为y=kx+tk≠0将A（4，0），B（1，4）代入y=kx+t，得4k+t=0k+t=4解得k=−4所以直线AB的解析式为y=−4过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．所以S===3因为A（4，0），B（1，4），所以S△OAB因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，所以2×32PN=8设Pm,−43所以PN=−即−4解得m1=2，所以点P的坐标为2,16（3）∵PD∴△OBC∽△PDC∴记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．则如图，过点B,P分别作x轴的垂线，垂足分别F,E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G∵B1,4，∴F∴OF=1∵PD∴△DPG∽△OBF∴PD设P∵直线AB的解析式为y=−4设Dn,−4PG=−=DG=m−n∴整理得4n=∴S1S=2=2=2=−=−∴m=52时，S【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．押题7问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于点G，探究∠GCF与

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若DGCG=1【答案】(1)45°(2)∠GCF=(3)BE【分析】（1）延长BC过点F作FH⊥BC，证明△ABE≌△BHF即可得出结论．（2）在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，证明△ANE≌△ECF，通过边和角的关系即可证明．（3）过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m，由（2）知，∠GCF=32a−90°=90°【详解】（1）延长BC过点F作FH⊥BC，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEH，在△EBA和△FHE中∠ABE=∠EHF∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴BC=EH，∴BE=CH=FH，∴∠GCF=∠FCH=45°．

故答案为：45°．（2）解：在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°，∠ABC=∠AEF，∴∠EAN=∠FEC．∵AE=EF，∴△ANE≌△ECF．∴∠ANE=∠ECF．∵AB=BC,∴BN=BE∵∠EBN=α，∴∠BNE=90°−1∴∠GCF=∠ECF−∠BCD=∠ANE−∠BCD=90°+

（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m，∵∴DG=m,CG=2m．在Rt△ADP∵∠ADC=∠ABC=120°,∴∠ADP=60°，∴PD=3∵α=120°，由（2）知，∠GCF=3∵∠AGP=∠FGC,∴△APG∽△FCG．∴AP∴3∴CF=6在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，作BO⊥NE于点O．由（2）知，△ANE≌△ECF，∴NE=CF，∵AB=BC，∴BN=BE，OE=EF=1∵∠ABC=120°，∴∠BNE=∠BEN=30°，∵cos30°=∴BE=6∴CE=∴BE

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．02锐角三角函数02锐角三角函数考点考情分析正弦﹑余弦和正切根据直角三角形的边的关系来确定正弦、余弦、正切的值。特殊角的三角函数的有关计算整体难度不大，属于中等及以下难度。对于单纯考查特殊角三角函数值记忆的题目，只要学生牢记特殊角的三角函数值，就能轻松得分解直角三角形选择题常考查解直角三角形的基本概念和简单应用；填空题可能涉及根据已知条件直接计算直角三角形的边或角的度数，也可能在实际问题情境中，让学生利用解直角三角形的知识求出相关的长度或角度并填空；解答题:通常结合实际问题，如测量物体高度、距离、坡度等问题，要求学生通过构建直角三角形模型，运用解直角三角形的知识进行求解。考查分值：分值在5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题、填空和解答题均有。命题趋势：基础的三角函数定义、特殊角的三角函数值以及简单的解直角三角形应用，难度依然保持较低主要考查学生对基础知识的掌握和简单运用能力。在与其他知识综合考查的题目中，难度会有所上升，属于中等偏上难度。这类题目需要学生具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及对知识的综合运用能力。学生需要能够从复杂的情境中抽象出直角三角形模型，并灵活运用三角函数知识，结合其他数学知识和方法进行求解。知识点：锐角三角函数1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定义表达式图形正弦sinsin余弦coscos正切tanA=tan3.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：tanA=sinA2)互余两角的三角函数关系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°23323135.锐角三角函数的性质性质前提：0°＜∠A＜90°sinA随∠A的增大而增大cosA随∠A的增大而减小tanA随∠A的增大而增大解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B2）三边之间的关系：a2+3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°4）边角之间的关系：sinA=∠A所对的边斜边=ac，sinB=∠B所对的边斜边cosA=∠A所邻的边斜边=tanA=∠A所对的边邻边=解直角三角形常见类型及方法：已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c,a)①②③∠B=90°－∠A两直角边(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一边和一锐角斜边和一锐角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角边和一锐角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角边和一锐角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③真题1（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（（结果精确到1m．参考数据：sinA．41m B．42m C．48m【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长BA交MN于点C，根据题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m，然后在Rt△CNB中，利用锐角三角函数的定义求出CN的长，从而求出MC的长，再在【详解】如图，延长BA交MN于点C．由题意得BC⊥MN,BC=119m在Rt△CNB中，∠CNB=45°∴CN=BC∴MC=MN+NC=193m在Rt△AMC中，∠AMC=22°∴AC=MC⋅tan∴AB=BC−AC=119−77.2≈42(m故选B．真题2（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（

）A．253米 B．25米 C．252米【答案】A【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．设DC=x米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义表示出BC，再由AC−BC=AB=50列出关于x的方程，求出方程的解得到【详解】解：设DC=x米，在Rt△ACD中，∠A=30°tanA=DCAC整理得：AC=3在Rt△BCD中，∠DBC=60°tan∠DBC=DCBC整理得：BC=3∵AB=50米，∴AC−BC=50，即3x−解得：x=253侧这栋楼的高度为253故选：A．真题3（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cos∠ABF的值是【答案】24【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证BF=DF，再利用Rt△ABF【详解】解：∵折叠，∴∠DBC=∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF，∴AF=AD−DF=8−BF，在Rt△ABF中，A∴6解得BF=25∴cos故答案为：2425真题4（2024·西藏·中考真题）计算：−13【答案】0【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：−1=−1+2×=−1+2=0．真题5（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，【答案】(1)8(2)8【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．（1）先求出BE=8cm，再在Rt（2）过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，先解直角三角形可得EG的长，从而可得DP,BQ的长，再判断出Rt△BMQ是等腰直角三角形，从而可得QM,PN的长，最后根据DN=DP+PN【详解】（1）解：∵AB=24cm∴BE=8cm由题意可知，BG⊥DE，在Rt△BEG中，∠ABG=12°∴BG=BE⋅cos答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cos（2）解：如图，过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形，∴∠PBG=90°,DP=BG=8cos在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8∴EG=BE⋅sin∵DE=28cm∴BP=DG=DE−EG=28−8∴BQ=BP−PQ=20−8∵∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°，∴∠MBQ=45°，∴Rt△BMQ∴QM=BQ=20−8∴DN=DP+PN=DP+QM=8答：线段DN的长度为8cos真题6（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA=37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E实验图示解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,【答案】ED的长为8.2【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解OD,OB,OC，再求解OE，从而可得答案；【详解】解：∵BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm∴OD=BDOB=OD∴OB=OC=22.73，∵∠COA=37°，CE⊥OA，∴OE=OC⋅cos∴DE=OE−OD=18.2−10=8.2；∴ED的长为8.2cm真题7（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan(1)求AB的长；(2)求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m【答案】(1)6(2)2.7【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）解Rt△ABC（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=33，解Rt△BCD求得BD=53，由题意得，BC+AB=BE+BD，故【详解】（1）解：由题意得，∠BCA=90°，∵AC=3m，∠CAB=60°∴在Rt△ABC中，由cos得：3AB∴AB=6m答：AB=6m（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=在Rt△BCD中，sin∴sin37°=∴BD=53由题意得，BC+AB=BE+BD，∴BE=BC+AB−BD=33∴CE=BC−BE=33答：物体上升的高度约为2.7m真题8（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73(1)求PQ的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．【答案】(1)6.1(2)66.7【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：（1）先由矩形的性质得到∠Q=∠P=90°，再解Rt△ABQ得到AQ=27310m（2）解Rt△BCE得到BE=3.2m，解Rt△ABQ得到BQ=2.7【详解】（1）解：∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°，在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4∴AQ=AB⋅sin∠ABQ=27∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴∠CBE=30°，∴BC=CE∴AD=8∵∠PAD=180°−30°−90°=60°，∴AP=AD⋅cos∴PQ=AP+AQ=35

（2）解：在Rt△BCE中，BE=在Rt△ABQ中，BQ=AB⋅∵该充电站有20个停车位，∴QM=QB+20BE=66.7m∵四边形ABCD是矩形，∴PN=QM=66.7m预测1（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A=30°，OD=20cm．CD的长为（

A．23 B．43 C．26【答案】D【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，解直角三角形得OA=203，AD=2OD=40，AB=403，AC=60，再根据【详解】解：如图，连接BC，∵OD⊥AB，∠A=30°，∴OA=OD÷tan30°=203∵AB是⊙O的直径，∴AB=403，且∠ACB=90°∴AC=AB⋅cos∴DC=AC−AD=60−40=20cm故选：D．预测2（2025·陕西西安·模拟预测）计算：−20240【答案】3【分析】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂，求一个数的算术平方根等知识点，掌握运算法则是解题的关键．分别计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算算术平方根，再进行加减计算．【详解】解：−2024=1−2×=1−=3预测3（2025·陕西咸阳·二模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，DE交BC的延长线于点E，且∠E=∠BAC．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若tan∠DBC=12，BC=2【答案】(1)详见解析(2)5【分析】本题考查了切线的判定及解直角三角形的应用相关知识，掌握“连半径，证垂直”这一判定方法及正确运用正切或勾股定理求线段长是解题的关键．（1）由△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，可推出∠BCD=90°，即∠BDC+∠DBC=90°．由同弧所对应的圆周角相等可知∠BDC=∠BAC及已知条件∠E=∠BAC，所以可得到∠BDC=∠E，因此∠E+∠DBC=90°，即∠BDE=90°，可证得DE是⊙O的切线．（2）先在△BCD中运用tan∠DBC=12，BC=2，求出DC的长，进而由勾股定理求出BD的长，再在△BCD中，根据tan∠DBC=1【详解】（1）证明：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°∵BC∴∠BDC=∠BAC∵∠E=∠BAC，∴∠BDC=∠E，∴∠E+∠DBC=90°，∴∠BDE=90°，即BD⊥DE∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠BCD=90°，tan∠DBC=∴CD即CD2∴CD=1，∴BD=B∵∠BDE=90°，tan∠DBC=∴DE即DE5∴DE=52，即DE预测4（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点A出发，沿着坡度i（即tanA）为1:2.4的坡道AB向上走了130m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150(1)当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度；(2)求点A，D间的水平距离AE的长．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，【答案】(1)50(2)320【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，（1）过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交DE于H，设BF=x，根据坡度的概念用x表示出AF，根据勾股定理求出BF；（2）根据余弦的定义求出CH，进而求出AE；掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．【详解】（1）解：如图，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交DE于H，设BF=x，∵坡道AB的坡度为1:2.4，AB=130，∴AF=2.4x，在Rt△ABF中，A∴1302解得：x=50或x=−50（负值不符合题意，舍去），∴BF=50m答：他沿垂直方向上升的高度为50m（2）如图，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥AE于G，延长BC交DE于H，由（1）可知：AF=2.4x=2.4×50=120，由题意知：BC∥AE，∵BF⊥AE，CG⊥AE，∴BF∥CG∥∴四边形BFGC和四边形CGEH都是平行四边形，∴四边形BFGC和四边形CGEH都是矩形，∴FG=BC=80，GE=CH，∠CHD=90°=∠CHE，在Rt△DCH中，CD=150，∠DCH=36.8°∴CH=CD⋅cos∴AE=AF+FG+GE≈120+80+120=320m答：点A，D间的水平距离AE长约为320m预测5（2025·重庆·一模）如图，A是某动物园入口，B、C、D是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口A一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区C汇合．如图是路线平面示意图，已知展区C在起点A的东北方向，小明从起点A出发沿正北方向走了900米到展区B，在展区B参观10分钟，再沿北偏东75°的方向走一段路即可到达展区C，小华从起点A出发向正东方向走到展区D，在展区D参观14分钟，再沿北偏东30°方向走一段路即可到达展区C．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，(1)求AC的长度；（结果精确到1米）(2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区C？（结果精确到0.1）【答案】(1)1737米(2)小华先到【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB=∠BMC=90°，故有△ABM为等腰直角三角形，∠CBM=60°，从而求出AM=BM=4502，又CM=BM（2）过点C作CN⊥AD延长线于点N，求出CB=9002，在Rt△ANC中，∠DAC=45°，AC=4502+4506，则AN=NC=450+4503，在Rt△CDN中，∠CDN=60【详解】（1）解：过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB=∠BMC=90°，由题意得：∠BAM=45°，AB=900米，∴∠ABM=∠BAM=45°，∴△ABM为等腰直角三角形，∠CBM=60°，∴AM2+B∴AM=BM=4502∴CM=BMtan∴AC=4502答：AC的长度约为1737米；（2）解：如图，过点C作CN⊥AD延长线于点N，在Rt△BMC中，∠MBC=60°，BM=450∴CB=9002在Rt△ANC中，∠DAC=45°，AC=450∴AN=NC=450+4503在Rt△CDN中，∠CDN=60，NC=450+450∴ND=450+1503（米），CD=900+300∴AD=3003∴小明所花时间：900+900290+10=20+10∵33.4<34.1，∴小华先到达展区C．预测6（2025·江苏镇江·一模）【阅读理解】小明用了如下的方法计算出tan15°如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则BD=AD，∠ADC=30°．设AC=k，则AD=BD=2k，DC=tan【拓展应用】如图2，矩形ABCD为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点M处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点C的仰角α为18.4°，由于某个原因，BM的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点N处测得顶点D的仰角为73.6°，同时测得AN的长度为5米．(1)请模仿小明的方法，求出tan2α(2)求出建筑物的高度．参考数据：sin18.4°≈825，cos【答案】(1)3(2)1207【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于添加辅助线．（1）作ME=DC，连接DE，作DE的垂直平分线交MN于点F，连接DF，则四边形DCME是平行四边形，由线段垂直平分线的性质以及三角形的外角定理得到∠DFA=∠FDE+∠FED=2α，由tan∠DEA=tanα=ADAE=13，设AD=k，则AE=3k，设FD=FE=x，在（2）设AD=3t,AF=4t，作DF的垂直平分线交MN于点G，连接DG，则导角可得∠DGA=2∠DFA=4α°=73.6°=∠N，设DG=GF=y，在Rt△ADG中由勾股定理得到3t2+4t−y2=y【详解】（1）解：如图，作ME=DC，连接DE，作DE的垂直平分线交MN于点F，连接DF，由题意得：DC∥ME，∴四边形DCME是平行四边形，∴DE∥CM，∴∠DEF=∠M=α，∵DE的垂直平分线交MN于点F，∴FD=FE，∴∠FED=∠FDE=α，∴∠DFA=∠FDE+∠FED=2α，由题意得：AD⊥AB，∵tan∠DEA=∴设AD=k，则AE=3k，设FD=FE=x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：A∴k2解得：x=5∴tan∠DFA=（2）解：∵tan∠DFA=∴设AD=3t,AF=4t，作DF的垂直平分线交MN于点G，连接DG，则DG=FG，∴∠GDF=∠GFD=2α，∴∠DGA=2∠DFA=4α=4×18.4°=73.6°=∠N，设DG=GF=y，在Rt△ADG中，A∴3t2解得：y=25∵tan∠AGD=∴tan∠N=∴AD=120答：建筑物的高度为1207预测7（2025·河北邯郸·一模）如图，监控摄像头M固定在墙壁BC上的支架AB上，在墙上的固定点为点B，已知BC=2.8m，BM=0.6m，(1)求点M到地面l的距离；(2)该摄像头的可监控视角∠PMQ=40°（点P，Q在地面l上），MN平分∠PMQ，且MN⊥BM．①求∠MPC的度数；②求监控摄像头在地面上最远可视点P到点C的距离．（结果均精确到0.1m，参考数据：tan40°取0.84，3取【答案】(1)3.1(2)①40°②4.2【分析】（1）过点M作MG⊥PC于点G，过点B作BH⊥MG于点H，得出四边形BCGH为矩形，HG=BC=2.8m，再得出∠MBH=30°，再根据含30度直角三角形的性质得出MH=0.3（2）①根据角平分线的定义得出∠PMN=20°，即可得出∠PMB=∠PMN+∠NMB=110°，再根据四边形内角和定理求解即可．②通过解直角三角形得出PG，GC，然后相加即可得出答案．【详解】（1）解：如图1，过点M作MG⊥PC于点G，过点B作BH⊥MG于点H，由题意得：∠HGC=∠BCG=∠BHG=90°，∴四边形BCGH为矩形，HG=BC=2.8m∵∠ABC=120°，∴∠MBH=∠ABC−∠HBC=120°−90°=30°∴MH=1∴MG=MH+HG=0.3+2.8=3.1m（2）解：①如图2，∵MN为∠PMQ的平分线，∠PMQ=40°，∴∠PMN=∠NMQ=1∵NM⊥AB，∴∠NMB=90°．∴∠PMB=∠PMN+∠NMB=110°．∴∠MPC=360°−∠MBC−∠BCP−∠PMB=360°−120°−90°−110°=40°．②如图1，在Rt△PMGPG=MG∵GC=HB=MBcos∴PC=PG+GC=3.69+0.51≈4.2m∴摄像头的最远可视点P与点C间的距离约为4.2m【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定以及性质，角平分线的有关计算，四边形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．预测8（2025·河北邯郸·一模）情境嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架OA垂直于水平面，射灯AB发出垂直于AB的光线，OA和AB的夹角α=130°，AB=12cm操作嘉嘉进行了两步实验操作：①如图1，光线投射到空水槽底部CD处．②如图2，向水槽注水，光线投射到水面MN处，然后发生折射，最后投射到底部EF处．探究(1)请求出CD长（结果保留一位小数）；(2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求EF的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出EF长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，【答案】(1)15.7cm(2)淇淇看法正确，见解析【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）作CG⊥BD于G，利用矩形的性质，通过求得∠GCD=40°，然后根据锐角三角函数解直角三角形；（2）延长AM，BM交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明．【详解】（1）解：如图，作CG⊥BD于G，由题意可得四边形ABGC是矩形，∴CG=AB=12．又∵∠OAC=α−∠BAC=40°，∴∠ACO=90°−∠OAC=50°，∠GCD=40°．在Rt△CDG中，CD=CG（2）解：淇淇看法正确．理由如下：延长AM，BM交底部于C，D．由题意得MN∥CD，MC∥∴四边形MNDC是平行四边形，∴MN=CD．同理，MN=EF．∴EF=CD≈15.7cm押题1计算：−3【答案】3【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：−==3．【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．押题2如图，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)在（1）所作的图中，连接BE，若AB=8，求BE的长．【答案】(1)见详解(2)4【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于12AB为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，作直线DE，则直线（2）连接BE，由线段垂直平分线的性质可得出BE=AE，由等边对等角可得出∠EBA=∠A=45°，由三角形内角和得出∠BEA=90°，则得出△ABE为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出BE的长．【详解】（1）解：如下直线l即为所求．（2）连接BE如下图：∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EBA=∠A=45°，∴∠BEA=90°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴sinA=∴BE=AB⋅【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．押题3综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为(1)求线段CD的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,【答案】(1)54(2)59【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．（1）设CD=x，在Rt△BCD中，BC=CD⋅tan∠CDB=x⋅tan45°=x．在Rt（2）求出AC，根据AB=AC+BC即可得到答案．【详解】（1）解：设CD=x，由DE=36，得CE=CD+DE=x+36．∵EC⊥AB，垂足为C，∴∠BCE=∠ACD=90°．在Rt△BCD中，tan∴BC=CD⋅tan在Rt△BCE中，tan∴BC=CE⋅tan∴x=x+36得x=36×答：线段CD的长约为54 m（2）在Rt△ACD中，tan∴AC=CD⋅tan∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59．答：桥塔AB的高度约为59 m押题4中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m，点P到BQ的距离PQ=2.6m，AC的延长线交(1)求β的大小及tanα(2)求CP的长及sin∠APC【答案】(1)45°，1(2)2m，3【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；（1）根据题意先求解CE=PE=1m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；（2）利用勾股定理先求解CP=2m，如图，过C作CH⊥AP于H，结合tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设CH=x【详解】（1）解：由题意可得：PQ⊥AE，PQ=2.6m，AB=CD=EQ=1.6m，AE=BQ=4m，AC=BD=3m，∴CE=4−3=1m，PE=2.6−1.6=1m，∠CEP=90°，∴CE=PE，∴β=∠PCE=45°，tanα=（2）解：∵CE=PE=1m，∠CEP=90°，∴CP=12+如图，过C作CH⊥AP于H，∵tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设∴x2解得：x=3∴CH=31717∴sin∠APC=押题5综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN'为法线，AO为入射光线，【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折射角【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：(1)求BC的长；(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62【答案】(1)20(2)3.8【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；（2）利用锐角三角函数求出DN长，然后根据BD=BN−DN计算即可．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠A=45°∴∠B=45°，∴BC=AC=20cm（2）解：由题可知ON=EC=1∴NB=ON=10cm又∵∠DON=32°，∴DN=ON⋅tan∴BD=BN−DN=10−6.2=3.8cm押题6如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AD=10，cosB=35【答案】(1)证明见解析(2)90【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD．∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=∴cos在Rt△ACD中，cos∠ADC=3∴CD=AD⋅cos∠ADC=10×3∴CDAC∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD⋅FA，即(4x)2=3x(3x+10)∴FD=3x=90【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．押题7图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C（结果精确到0．01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891【答案】(1)车后盖最高点B'到地面的距离为(2)没有危险,详见解析【分析】（1）作B'E⊥AD，垂足为点E，先求出B'（2）过C'作C'F⊥B'E，垂足为点F，先求得∠AB'E=63°【详解】（1）如图，作B'E⊥AD

在Rt△AB'E中，∴sin∴B∵平行线间的距离处处相等∴B答：车后盖最高点B'到地面的距离为2.15（2）没有危险，理由如下：过C'作C'

∵∠B'∴∠A∵∠A∴∠在Rt△B∴B'∵平行线间的距离处处相等∴C'到地面的距离为2.15−0.3=1.85∵1.85>1.8∴没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．押题8中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，

【答案】9.2尺【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得BC和BD，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．【详解】解：∵∠ACB=73.4°，杆子AB垂直于地面，AB长8尺．∴tan∠ACB=ABBC∵∠ADB=26.6°，∴tan∠ADB=ABBD∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．∴春分和秋分时日影长度为2.39+162答：春分和秋分时日影长度9.2尺．03投影与视图03投影与视图考点考情分析投影选择题:这是最常见的考查形式；填空题可能会考查一些简单的投影计算；解答题:较少单独以解答题的形式考查投影，但可能会在一些综合的实际问题中有所涉及。视图选择题常考查对简单几何体或组合体三视图的判断；填空题可能会涉及根据视图的特征求几何体的相关数据；解答题较少单独以解答题形式考查视图，但可能在一些综合题中作为其中的一个步骤出现。考查分值：分值在3-6分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题、填空和解答题均有。命题趋势：投影与视图在中考中是比较重要的考点，命题会注重基础与能力的结合，突出知识的应用性和实践性。考生在复习时应扎实掌握基本概念和方法，多进行空间想象和实际问题的分析训练，以提高应对各种题型的能力。知识点1：投影投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）平行投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.图1图2【高分技巧】1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）中心投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.图3图4【高分技巧】1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.正投影的分类：1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.3）立体图形的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.投影的判断方法：1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．真题1（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：故选：C．真题2（2024·江苏徐州·中考真题）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案．本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键．【详解】解：由题干中的几何体可得其左视图为，故选：A．真题3（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（

）A．8 B．4 C．8π D．【答案】A【分析】本题考查三视图，根据题意，得