内蒙古自治区通辽市2025届高考三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区通辽市2025届高考三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，，所以.故选：C.2.某中学有高中生1000人，初中生3000人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】C【解析】分层抽样的抽取比例为，所以从高中生中抽取的人数为.故选：C．3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为．故选：B.4.已知向量,满足，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，解得．故选：A.5.已知函数是偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由是偶函数，则，，即，，则时，，时，，时，，则的最小值是.故选：A.6.已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，则，整理得，因为线段中点的横坐标为，所以线段中点的纵坐标为，则，从而可得，故选：D.7.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以在上单调递增，且．因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且．由，可得或，解得或．即的解集为.故选：B8.已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正方体的棱长为，则表面上的点到点A的最大距离为，所以以顶点A为球心，为半径的球的球面与这三个表面没有公共点．如图，若球面与表面的公共点为P，因为，则，由，可得，同理可得，则，可知P的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆与表面的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧，同理可得球面与表面的交线也都是圆心角为，半径为2的圆弧，所以交线总长为．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列复数为纯虚数是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因为，则，．为纯虚数的是，，.故选：BCD．10.已知函数(且，则下列结论正确的是（）A若，则B.若，则的值域为C.若，则在上单调递增D.若，则在上单调递增【答案】BCD【解析】对于A，当时，，则，故A错误；对于B，当时，，当且仅当，即时等号成立，则的值域为，故B正确；对于C，当时，，，，令，则，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；对于D，当时，，，，令，则，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，故D正确.故选：BCD11.在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）A.C关于直线l对称B.C上存在点，使得C.的最小值为D.若C与两条坐标箱的正半轴所围成的面积为S，则【答案】ABD【解析】设，则．由，得，即．关于l对称的点为，也满足方程，故C关于直线l对称，A正确．显然点在C上，且满足，B正确．因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，从而，C不正确．记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则，由，得，即，故点B在直线的上方或在的下方（不重合），从而．假设，则由，可得，则，则，则，这与假设矛盾，故D在直线的上方，从而，故，D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的离心率为，则_____________．【答案】3【解析】由双曲线，得，所以双曲线C的离心率为，所以，解得故答案为：.13.4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种．【答案】408【解析】若医生甲不站在医生的最左端则有种不同的站法，若医生甲站在医生的最左端，则有种不同的站法，故不同的站法共有种．故答案为：408.14.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在边BC上，且.则的取值范围是________.【答案】【解析】由题可设，因为，所以，所以由余弦定理有，，所以，再由得，设，则，所以即，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，，平面.（1）证明：；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值.（1）证明：过点作，垂足为，因为平面，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，所以，即.（2）解：由（1）知，，设平面PAB的一个法向量为，则，取，得，设平面PCD的一个法向量为，则，取，得，设平面PAB与平面PCD所成角为，则，则，即平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为.16.为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有A，B两个试题题库，学生先从这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答.若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束.已知学生甲答对A题库中的每道试题的概率均为答对B题库中的每道试题的概率均为（1）求学生甲只作答了一道试题的概率；（2）若答对A题库中的试题，可以获得20个积分，若答对B题库中的试题，可以获得10解：（1）学生甲只作答了一道试题的情况有两种：选中A题库并答错和选中B题库并答错，所以学生甲只作答了一道试题的概率为.（2）由题，，，，，所以X

的分布列为X0102030P所以X

的期望为.17.已知函数（1）若，求的极值;（2）讨论的单调性.解：（1）当时，，则，令，即，解得或（舍），当时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减，所以时，有极大值，且极大值为，无极小值.（2）函数定义域为，且，令，解得或，令，即，解得，当时，，此时恒成立，当时，此时，则函数单调递减，函数单调递增，函数单调递减；当时，，则函数单调递增，函数单调递减；当时，，则函数单调递减，函数单调递增，函数单调递减，当时，，则函数单调递增，函数单调递减，综上所述：当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为和；当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为和；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且．（1）求C的标准方程；（2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D．（i）求面积的最大值；（ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）由，整理得，则该圆是以为圆心，6为半径的圆．因为P是圆上一点，线段与C交于点Q，且，所以，即，解得．由题可知，则，故C的标准方程为；（2）（i）当点的直线斜率不存在时，重合，此时不存在，不合要求，当点的直线斜率为0时，重合，此时不存在，不合要求，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为．联立整理得，则，则线段的中点N的坐标为．设的面积为S，则．因为，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为．（ii）为定值9，理由如下：设，显然为外接圆圆心，故可设外接圆的方程为．因为在外接圆上，所以，故，故外接圆的方程为．联立，整理得，则．因为，故，解得．故，为定值．19.已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”．（1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由；（2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值；（3）若，且．证明：数列是“