一维非定常连续流动

一维非定常连续流动

一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间，和一个

坐标变量X有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于

X轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。它包括连续流（等

埔波）和间断流（激波、接触面）。下面主要介绍连续流。

在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完

全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等端的。

作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传

播及其简化分析。

一、小扰动波

1.产生

小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如

声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在

介质中的传播速度称为声速。对介质的扰动形式有很多，但总归起来

不外乎速度不匹配和压力不平衡。下面将要介绍的是由于活塞运动引

起速度不匹配所产生的波。

在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体

处于静止状态。设活塞在很短的时间内，速度增加至duQ此后，它

以匀速向右运动。这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰

动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的

形式向两边传播。这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运

动。同时，右边气体压力增加一个微量dp,左边气体减小一个微量

dp,这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。

上述两类小扰动波得传播过程在（X,/）图上的图示法如下

压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点

迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播

方向相反，质点迹线偏离波面迹线。对于运动的气体，压缩波后气体

被加速，稀疏波后气体被减速。

取1-1)

2.传播

定义向右为X轴的正方向，如果气体本身以〃（代数值）的速度

在运动，则波的传播速度为

dx

77=u±Q

dt（1-1）

定义以速度（〃+。）传播的波为“右行波"，以速度传播的波八41.

行波”。对于右行波而言，气体质点一定从右边（X轴正向）进入波

阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边（X轴负向）进入波阵

面。

2.小扰动波的简化物理分析

以一道右行小扰动波为例进行分析。把坐标系取在波阵面上，则

变成驻波，波前的气体以(/)的速度流进波面，而波后的气体以(/+小，)

的速度流出波面。

图(1-2)

由连续性方程

p(-Q)=(p+dp)(-Q+du)

略去二阶小量，得”2)

dpdu

T=~(,-3)

小扰动波是一种等焰波，满足下列关系式：p=cpY,p=p/?r和

2

a=YRTo其微分形式为：

dpIdp1dT2da

pYPy-1Ty-1a(I-4)

代入上式，可得

2

du=---da

Y-1(1-5)

对于左行波，则有

2

du------da

y-1d-6)

二、特征线方法

在可压缩流体中，有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组

非线性偏微分方程，不能再采用小扰动线化方法，否则，将造成较大

的误差。特征线法根据数学上特征线所具有的性质，运用数值解法或

者图解法，为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法。

1.基本方程

连续性方程，在等截向管中

?P?

帝+方(P")=°

(2-1)

动量方程，在忽略体积力和粘性力情况下

?u?ul?p

—+u—=---(2-2)

?t?xp?x

能量方程，忽略粘性和热传导作用，流动过程是等牖的，热力学

第二定律可写成

?s?s

—+u—=0

(2-3)

状态方程，对于多方气体来说，等场关系为

P=CpY（2-4）

有时为了便于应用，可将方程改写成统一用〃，4,S参量表〃、心

形式。

?a?ay-1?u

-—I-u-—Ia--=0(2-5)

?t?x2?x

?u?u2a?Qa2Is

—+u—+---------(2-6)

?t?xY-1?%

?s?s

--I-u~-=0

?t?x(2-7)

2.特征线及其相容关系

假定上述方程组和（X,f）平面内沿着某一曲线工。=”。（£）上各点的

〃0,。0,So的值已知，如果不能单值地决定曲线“。=%。（£）附近任意点

的〃，。，S的值，则表示“。（£）是弱间断线，它就是所求的特征线。

特征线及其相容关系为

第一族特征线

j=U+Q(2-8)

2a

du+da-ds(2.9)

y-1yR

第二族特征线

=Ua

(S2-(MO)

du-da--ds(211)

Y-1YR

第三族特征线

偌卜u。-⑵

ds=0（2-13）

从公式可以看出，气体的流速和热力学参数的扰动沿着第一•代

第二族特征线以音速传播。燧的扰动沿着第三族特征线传播，而第三

族特征线就是流体质点的运动轨迹，这就表明，对于某一个流体质点

而言，在运动过程中焙值保持不变。

在均炳条件下，?F=0,57=0,因而，在全流场的任何时刻都有

心=0。因此第三族特征线已经失去意义，第一族和第二族特征线简

化为：

第一族特征线

(2-14)

2(2-15)

du+-------da=0

Y-1

第二族特征线

(2-16)

2(2-17)

du---------da=0

Y-1

此时特征线相容关系可以直接积分

2

u+-------a=KI(2-18)

r-1

2(2-19)

式中Ki和K2称为黎曼不变量。

1和（箸）2代表。平面上的两族特征线，称为物理平面上的特征

线，见图（l-3a）；K1和K2在（“，4）平面上构成两族特征线，称为状态

平面特征线，见图（l-3b）。在（x,f）平面上，第一族特征线中的每一根，

对应于一个确定的Ki值，第二族特征线中的每一根对应于一个确定的

心值。物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系，也

就是小扰动波波阵面的运动迹线。其中，第一族特征线对应于右行波，

第二族特征线对应于左行波。不过，此时的人4均不是常数。

图（1-3）

在不同的位置x和时IF，，〃e”是不同的，可以应用节点法求

解流场中气流的速度和音速。

图（14）

根据Ki和心是否为绝对常数，可以把一维非定常均焙流动分为

三类：

第一类：Ki和心均为绝对常数（Ki。和心0）,此时〃和。均为常数。

第二类：Ki和心中有一个为绝对常数，称为简单波流动，这是流场

中只有单向传播的波。

第三类：Ki和Kz均不是绝对常数，称为双波流。在流场中既有左行

波，也有右行波。

三、简单波

假定黎曼不变量之一七在整个波区为绝对常数以0,可以得到

u=K1+-20（3.1）

r-1

Q=F—（K1—K20）

4（3-2）

由于沿着第一族特征线，K1保持不变，可知沿着第一族特征线流动参

数〃和。等均为常数。

dx

Zy="+Q=常数（3-3）

由此可以断定，第一族特征线一定是直线，沿着这一族特征线的任何

一根，流动参量保持不变，整个简单波流场只需用（”，。）平面上的一

根特征线表示。

1.简单波的产生和分类

简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的。在图（1・5）所示的一根

两端敞开的无限长管中，活塞在静止气体中向右持续加速。活塞右边

不断产生小扰动压缩波，当无穷多道压缩波通过后，波后气体压力、

音速和质点速度便增加一个有限量。对于石行简单压缩波而言，日于

小扰动压缩波连续通过时，后面压缩波的传播速度一定比前面的块，

因而波面迹线（第一族特征线）为一族收敛的直线。

图（1-5）

同时，在活塞左边，立次J工，J7外动稀疏波，波面迹线（第二族

特征线）为一族发散的直线。

图（1-5）中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程，其中

1-4是一段曲线，表示活塞的加速过程，4点以后为直线，表示活塞

作匀速运动，没有非定常波产生。

简单波大致可分为四类：右行稀疏波，右行压缩波，左行稀疏波

和左行压缩波。

2.简单波的基本关系

跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下:

对于右行波

%=(〃+Q)t+/'(U)

2(3-4)

.a-KO

y-12(3-5)

对于左行波

%=(u-a)t4-/(u)

2(3-6)

u+a-K

K-110(3-7)

/(")是速度的任意函数。

若已知简单波波前气流参数⑷和求波后参数时，由K】。或K20

为常数可得

22

,_铲一"「铲1(3-8)

整理后得到

Qy-1u-ui

—=1±F—(------)⑶力

Q12Q]

如果波前气体是静止的，3=0,则有

2=1+丫_1“(3-io)

ai.2ai

“十”号表示右行波，“-”号表示左行波。

对于波后气流的温度、压力和密度变化，利用等端关系得

二_(2；(3-11)

2y

pay-i(3-12)

一=(一)

piai

2

pay-i(3-13)

*=(二

四、中心稀疏波

在一维非定常简单波中，有一种比较特殊的情况，就是所谓“中

心稀疏波”。它的一个重要特点是流场中的速度〃和音速。等参数不

是单独地依赖于X和，，而是依赖于它们的组合参数X",这种运动通

常称为“一维自模拟运动”。

1.中心稀疏波的产生

假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度，那么，在图中，

活塞迹线1-4的长度便缩短为零，即图(1-6)。由图可见，由于活塞突

然加速，在f)图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激

波，向右传播。在活塞左边，同样由坐标原点发出一束左行稀疏波，

把它称为中心稀疏波。波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区，波

尾与活塞之间的区域属于均匀区，在该区中气流通过中心稀疏波区以

后，被等燧地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的，等音速的，

也可以是超音速的，究竟属于哪一种情况，完全由活塞的速度决定。

图(1-6)

若要求通过稀疏波以•/口，L阿坯度等于音速(〃=。)，所需活塞

的速度大小由方程(2-15)在波头和波尾之间积分来确定，即

2

du=----da〃_i、

-1

f"du=2

f\a(4-2)

J叫r-1JA

所以

2

UP=U=厂厂铲1(4-3)

当活塞速度作即时，波后气流将被加速到超音速，但是由于极

2

限速度的存在，波后气流速度最大只能被加速到〃max=(逃逸速

度)。使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏

波”。

2.中心稀疏波的基本关系式

中心稀疏波是简单波的一种特殊形式，因此，只要令简单波关系

式中的任意函数/(〃)=0,即可得到中心稀疏波的相应关系式。

对于右行波