专题31北京中考全真模拟卷01（模拟重组卷）-2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）【解析版】

2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）

专题3.1北京中考全真模拟卷01（模拟重组卷）

本套试卷精选北京市一模、二模好题重组.

注意事项：

本试卷满分100分，试题共28题，选择8道、填空8道'解答12道.答卷前，考生务必用0.5毫米

黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2022.北京朝阳•二模）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（）

A.B.

【分析】由于平行线的投影是平行或重合，根据这一特征即可作出判断.

【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A、B、D三个选项

中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面

上的投影.

故选:C.

【点睛】本题考查了平行投影，太阳光下的投影是平行投影，关键是掌握平行投影特点：平行物体的影子

仍旧平行或重合.

2.（2022•北京房山•二模）中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为

（）

A.4x105B.4x106C.40x104D.0.4x106

【答案】A

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为其中修同<10,〃为整数，且〃比原来的整数

位数少I,据此判断即可.

【详解】解：4（X）000=4x10^.

故选:A.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为610〃，其中1<|«|<10,确定。与〃的值

是解题的关键.

3.（2022•北京朝阳•二模）实数。在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数〃满足Q+b>0,则）的值可

以是（）

a111|1w

-3-2-10123

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】D

【分析】根据题意可得一2VQ<-1,从而得到|Q|>1,再由Q+b>0,可得匕>0,且⑸>汝|>1,从

而得到即可求解.

【详解】解：根据题意得：一2<QV-1,

/.|a|>1,

VG+ZJ>0,

Afc>0,且|匕|>|a|>1,

••b>-a>1,

・"的值可以是2.

故选：D

【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系.解决本题的关键是根据加

法的符号规律确定b的取俏范围.

4.12022•北京市十一学校模拟预测）将两块三角板按如图所示位置摆放，若AD||BC,点尸在40上，则

的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【分析】由题意可得/=60。，再由平行线的性质得乙。力。=乙4c8=45。，再利用三角形外角的性质即

可求出乙4CF.

【详解】解：由题意可知：

/-ACB=45°,乙FED=30°,乙EDF=Z.BAC=90°,

:•乙EFD=90°-乙FED=90°-30°=60°,

'：AD||BC,

：.£DAC=^ACB=45°,

•••/EFT）是AACFt的夕卜角，

工人EFD=Z.DAC+/-ACF,

：.z.ACF=乙EFD-乙DAC=60°-45°=15°.

故选:B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质.解答的关键是理解和

学握平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

5.（2022•北京房山•二模）口袋里有二枚除颜色外都相同的棋了一，其中两枚是白色的，一枚是黑色的，从中

随机摸出一枚记下颜色，不放回，再从剩余的两枚棋子中随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相

同的概率是（）

A.；B.|C.；D.1

3239

【答案】A

【分析】画树状图（或列表）展示所有等可能的结果，找出两枚棋子颜色相同的结果数，然后根据概率公

式求解.

【详解】解：画树状图为：

开始

共有6种等可能的结果，其中两枚棋子颜色相同的结果数为2,

所以随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率=1=：.

o3

故选：A.

【点睛】本题考查树状图或列表法求等可能事件的概率，正确画出树状图（或列表）是解题的关键.

6.（2021•北京市八一中学模拟预测）用配方法解方程/一4%-1=0,方程应变形为（)

A.a+2）2=3B.（%+2）2=5C.（%—2）2=3D.（%-2）2=5

【答案】D

【分析】常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得.

【详解】解：,••%2一4%-1=0,

：.x2-4x=l,

2

/.^-4x+4=1+4,即（％—2/=5,

故选D.

【点睛】本题考杳配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键.

7.（2022•北京门头沟•一模）围棋起源于中国.古代称之为“弈”,至今已有4000多年历史.2017年5月,

世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG。进行了围棋人机大战.截取对战机棋谱中的四个部分，由黑

白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）

【分析】中心对■称图形的概念：把一个图形绕着某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此判断即可.

【详解】解：A中图形不是中心对称图形，不符合题意;

B中图形不是中心对称图形，不符合题意：

C中图形不是中心对称图形，不符合题意；

D中图形是中心对称图形，符合题意；

故选：D.

【点睛】小题考查中心对称图形的概念，理解概念，准确找到对称中心是解答的关键.

8.（2022•北京市广渠门中学模拟预测）如图，一个边长为8cm的正方形，把它的边延长与m得到一个新的正

方形，周长增加了yicm，面积增加了y2cm2。当x在一定范围内变化时，力和%，都随x的变化而变化，则

必与x,为与x满足的函数关系分别是（)

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，一次函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

【答案】A

【分析】根据题意可得：周长增大的部分9（c〃?）=新正方形的周长■原正方形的周长：面积增大的部分

=新正方形的面积■原正方形的面积，根据等量关系列出函数解析式即可.

【详解】解：由题意得：y/=4（8+x）-4x8=4x,此函数是一次函数；

”=（8+.i）2-82=X2+16A-,此函数是二次函数，

故选：A.

【点睛】此题主要考杳了根据实际问题列出函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上

9.（2022.北京密云•二模）若代数式有意义，则实数，r的取值范围是.

【答案】x>3

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：x-3>0,

解得：x>3.

故答案为：x>3

【点睛】本题主要考查了一次根式有意义的条件，熟练掌握一次根式育意义的条件：被开方数为非负数是

解题的关键.

10.（2022•北京四中模拟预测）分解因式：mx24-2mx+m.

【答案】m{x+l）2

【分析】通过提取公因式和完全平方公式即可解出.

【详解】解:m/+2m%+m

=n（x2+2%+1）

=m（x+l）2.

故答案为：m（x+l）2.

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和完全平方公式为解题关键.

11.（2022•北京市广渠门中学模拟预测）方程W=L的解为_____________.

X+1X

【答案】X=1

【分析】先将分式方程转化为整式方程，再解方程，检验即可.

【详解】方程两边同乘工（X+1）,得2%=%+1,

解得％=1，

经检验，x=l是原方程的解，

故答案为：x=l.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

12.（2022•北京房山•二模）己知点4（一2,%）,8（-1,、?）在反比例函数y=W（kH0）的图象上，且为〈丫2,则

女的值可以是__________.（只需写出符合条件的一个的值）

【答案】一1（答案不唯一）

【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.

【详解】解：•••点4（-2,丫1）,8（—1,%）在反比例函数y=K。）的图象~L，且yi<、2，—2<—l<0,

，当xVO时，y随工的增大而增大，

・4V0,

故答案为：一1（答案不唯一）

【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键.

13.（2022•北京市广渠门中学模拟预测）容器中有A,B,C,3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞,

则变成一颗8粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗3粒

子发生碰撞则变成一颗C粒子.现有A粒子10颗，8粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，

只剩1颗粒子.给出下列结论：

①最后一颗粒子可能是A粒子；

②最后一颗粒子一定是C粒子

③最后•颗粒子•定不是8粒子;

④以上都不正确

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①③##③①

【分析】假设剩下的是人、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果.

【详解】解：3）最后剩下的可能是A粒子.

10颗A粒子两两碰撞，形成5颗3粒子；

9颗。粒子中的8个两两碰撞，形成4颗8粒子；

所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗8粒子；

这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子.

（2）最后剩下的可能是C粒子.

10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子;

所有的17颗8粒子两两碰撞，最后剩一颗8粒子；

这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子.

（3）最后剩下的不可能是8粒子.

A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况:

A与A碰撞，会产生一颗8粒子,减少两颗A粒子：（8多1个，A、。共减少两个）;

8与8碰撞,会产生一颗B粒子,减少两颗8粒子：（8少1个，A、C总数不变）;

。与C碰撞,会产生一颗8粒子,减少两颗C粒子：（B多1个,4、。共减少两个）;

A与8碰撞,会产生一颗C粒子,减少A、B各一颗粒子:(8少个，A、C总数不变）:

A与C碰撞,会产生一颗4粒子,减少A、C各一颗粒子:(B多个，A、C共减少两个）;

B与C碰撞,会产生一颗A粒子，减少8、C各一颗粒子:(8少1个，A、C总数不变）,

可以发现如下规律：

①从8粒子的角度看：每碰撞一次，8粒子的数量增多一个或减少一个.题目中共有27颗粒子，经过26

次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，

由于开始8粒子共有8颗，

所以26次碰撞之后，剩余的8粒子个数必为偶数，不可能是1个，

所以，最后剩下的不可能是8粒子.

②从人、。粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个.题目中A、C粒子之和

为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的.

所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C.

故答案为：①③.

【点睛】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，是解题的关键.

14.（2022.北京房山•二模）如图，用直尺、三角尺按“边一直角、边一直角、边一直角、边''这样四步画出一

个四边形，这个四边形是__________形，依据是_____________________.

<------

□-----------Z

②④

□___________Z

【答案】矩有三个角是直角的四边形是矩形

【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形进行解答即可.

【详解】解：根据题意，这个四边形中有三个直角，则这个四边形是矩形，

故答案为：矩，有三个角是直角的四边形是矩形.

【点睛】本题考查矩形的判定，熟知矩形的判定方法是解答的关键.

15.（2021•北京101中学三模）如图,在平行四边形ABCD中，点E在边AD上,AC,BE交于点。，若AE：

【答案】1：9#号

【分析】利用平行四边形的性质证明△AOEsaco'利用相似三弟形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【详解】•・•四边形A8CD是平行四边形,

:.AE"BC,AD=BC,

/.公AOES^COB,

••SMOE：S&COB二

VZE；ED=1；2,

:・AE：AD=\：3,

•'•AE：BC=\：3,

••SMOE：SACO8=(§)2=1：9,

故答案为：I：9.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的

关键.

16.(2022•北京房山•二模)某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A,8两种包装的营

养品，并恰好全部用完.信息如下表：

规格每包食材含量每包售价

A包装1千克45元

3包装0.25千克12元

已知生产的营养品当口全部售出.若A包装的数量不少于8包装的数量，则A为__________包时，每口所

获总售价最大，最大总售价为元.

【答案】40022800

【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x

的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.

【详解】解：设A包装的数量为了包，8包装数量为y包，总售价为W元，

根据题意，得：0+。名；500

x—y

.*..)=-4^+2000,

由J2-4X+2000得：后400,

,・.W=45x+12.v=45x+12(-4A+2000)=-3X+24000,

V-3<0,

・・・W随x的增大而减小，

:.当尸400时，W最大，最大为-3x400+24000=22800(元)，

故答案为：400,22800.

【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出

一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题.

三、解答题

17.(2022•北京房山•二模)计算：tan6(T+(3-4)°+|1-6|+内.

【答案】5V3

【分析】分别计算三角函数值、零指数将，化简绝对值和二次根式，再进行加减即可.

【详解】解：原式=75+1+75-1+375=575.

【点睛】本题考查特殊角三角函数、零指数基以及绝对值和二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握上述

基本知识是解题的关键.

18.(2022•北京房山•二模)己知2/+3y2=2,求代数式(％+y)(%-y)+(%+2y)?-4%y的值.

【答案】2

【分析】利用平方差公式和完全平方公式对所给代数式进行化简，再将2/+3必=2整体代入求解.

【详解】解：原式=x2-y2+x2+4xy+4y2-4xy=2x2+3y2,

V2x24-3y2=2,

:.原式=2x2+3y2=2.

【点睛】本题考查利用平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简求值，难度较小，掌握整体代入思想

是解题的关键.

—2x+6>4

19.(2021•北京通州•一模)解不等式组：4*+1,并将其解集在数轴上表示出来.

---X-1

3

1I1IIII1III11»

-6-5-4-3-2-10123456

【答案】-4<%W1,见解析

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集，并在数轴上表示出解集.

【详解】解“(春-2x+〉6一N②4(T),

由①得：烂1,

由②得，-4,

•••不等式组的解集为-4〈后I,

解集在数轴上表示为：

-6-5-4-3-2-10123456

【点睛】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键.

20.（2022•北京丰台•二模）已知:如图，射线AM.

AM

求作：AAAC,使得=Z-HAC=

作法：①在射线AM上任取一点0（不与点A重合）；

②以点。为圆心，OA长为半径画弧，交射线4M于A,C两点；

③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交他于点B；

④连接AB,BC.

△ABC就是所求作的三角形.

⑴使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明：

证明：连接

在0。中，OB=OC

在。。中，OC==BC

：.OB=OC=BC

•••△OC8是等边三角形

：.LACB=60°

••YC是。。的直径，

•••N4BC=°（）（填推理的依据）.

：.LBAC=30。.

【答案】（1）见解析

（2）90,直径所对的圆周角是直角

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）证明AOCB是等边三角形，求出NABC=90。即可.

（1）

解；如图，△八BC即为所作;

B

AOM

(2)

证明：连接08.

在。。中，0B=0C,

在。。中，OC=BC,

/.0B=0C=BC,

•••△0C8是等边三角形，

：,LACB=60°,

•・》C是OO的直径，

•••NA5C=9()。(直径所对的圆周角是直角)，

・・・"CB+NB4C=90。，

=30。.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角.

【点睛】本题考杳作图-兔杂作图，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.(2022•北京房山•二模)已知：如图，在四边形48CD中，48||DC,AC1BD,垂足为M,过点A^AE1AC,

交CD的延长线于点E.

(1)求证：四边形480E是平行四边形；

(2)若4C=8,sin448。=求BD的长.

5

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】(1)先证明AE〃BD,再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；

(2)先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得B。的

长.

(1)

解：9：ACLBD,ACLAE,

：.AE//HDt

又AB〃DC,

，四边形48。£是平行四边形.

⑵

解：•・•四边形ABOE是平行四边形，

：.BD=AE,NE=/ABD,

VAC=8,sin乙48。=/

・・.sin±E=sin4ABD=g=^,则CE=10,

在R3EAC中，4E=>/CE2-AC2=V102-82=6，

：,BD=6.

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性

质是解答的关键.

22.(2022•北京房山•二模)已知，在平面直角坐标系xOy中，直线上y=ax+b(aH0)经过点A(1,2),

与i轴交于点8(3,0).

(I)求该直线的解析式；

(2)过动点P(0,ri)且垂直于y轴的直线与宣线/交于点C若PC248,直接写出〃的取值范围.

【答案】(l)y=-％+3

(2加<3-2/2或n>3+2>/2

【分析】(1)直接利用待定系数法求解析式；(2)根据尸点的坐标，表示出C的坐标，表示出PC的长度，

根据PC>48列出不等式即可解出〃的取值范围.

(1)

解：将点A3,2),B(3,0)带入l:y=。％+6(0装0)得：

(Q+b=2

+b=0'

解得g7

，直线，的表达式为y=-x+3.

(2)

解：V4(1,2),B(3,0)

,AB=J(1-3)2+(2-0)2=2扬

,:PCLy轴，当y="时一%+3=n

解得％=3-n

AC(3—n,n)

：.PC=|3-n|

\'PC>AB

A|3-n|>2V2即3—〃22鱼或九-3>2V2

解得n<3-2&或九>3+2vL

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，根据题意列出不等式是解题的关键.

23.(2022.北京房山.模拟预测)某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学

校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩(百分制)，并

对数据(成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

“初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如卜.(数据分成5组:x<60,60<x<70,70<

x<80,80<x<90,90<x<100)：

初二、初三年级学生知识t赛竭频数分布直方图

808()8183838484858687888989

c.初二、初三学生知识竞赛成绩为平均数、中位数、方差如下:

平均数中位数方差

初二年级80.8m96.9

初三年级80.686153.3

根据以上信息，问答下列问题：

(1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；

(2)写出表中加的值;

(3)人同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%,B同学看到A同学的成绩后说：“很遗

憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”，请判断A同学是__________(填“初二”或“初三”)年级的学生，

你判断的理由是__________.

【答案】(1)见详解

(2)80.5

(3)初二，理由见详解

【分析】(1)根据直方图的数据，用二年级参赛总人数减去已知各成绩段人数得到70女＜80这个成绩段的

人数，据此完成直方图即可：

(2)先确定二年级比赛成绩的中位数所落在的成绩段为80夕＜9。这个区域，再结合中位数的定义即可求解：

(3)确定A的成绩高于本年级的中位数成绩，低于4所在年级的中位数成绩，即可判断.

(1)

70Sr＜80这个成绩段的人数：40-1-7-13-9=10(人)，

作图如下：

(2)

二年级比赛成绩的中位数为：牛=80.5,

即〃?的值为80.5；

(3)

初二，

理由：初二年级的中位数成绩为80.5,初三的中位数成绩86.A的成绩在本年级达到前40%,说明其成绩

高于本年级的中位数成绩，A的成绩进不了/所在年级的前50%,说明A的成绩低于6所在年级的中位数

成绩，结合初二、初三年级的中位数成绩，可知A在初二年级.

【点睛】本题考查了根据数据作直方图、求解中位数以及通过中位数做判断的相关知识，理解中位数的含

义是解答本题的关键.

24.(2022•北京东城•二模)如图，在A2BC中,28>AC^BAC=90。,在CB上截取CD=24过点。作DE1AB

于点E,连接AD,以点A为圆心、力E的长为半径作。4

(1)求证：BC是。4的切线；

(2)若AC=5,8/)=3,求DE的长.

【答案】(1)见解析

【分析】(1)过点4作力?1BC于F,根据同旁内角互补证得OE//4C,可证得乙DAC=〃DE,利用A4s可

证得△4OE三△4OF,则可证得/F=4E,根据切线的判定即可求证结论.

(2)根据角相等即可得〜利用相似三角形的性质即可求解.

(1)

过点A作4F_L8C于F,如图所示,

DE1AB,

Z.AED=90°,

•••Z.BAC=90°,

:.Z.AED+Z.BAC=180°,

ADE//AC,

•••Z.DAC=Z.ADE,

•••CD=AC,

Z.DAC=Z.ADC,

Z.ADE=乙4DC,

在AADE和△405中，

(Z-AED=乙AFD

\z-ADE=Z-ADF,

(AD=AD

・••△ADE会△力。FQL4S),

.-.AF=AE,且AE为。A的半径，

•••4F是OA的半径，

••.BC是04的切线.

(2)

•••AC=5,

:.CD=AC=5,

:5C=8。+CD=3+5=8,

•:乙DEB=Z.BAC=90°,4B=

BDE~ABCA,

DE_BD

=9

ACBC

・•.岑=也解得0E=*

oo

二DE的长为会

o

【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角

形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键.

25.(2022•北京市广渠门中学模拟预测)已知抛物线y=Q/+2ax+3a2-4(a工0)

(1)该抛物线的对称轴为：

(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求。的值；

(3)设点川(m,%)N(2,y2)该抛物线上，若为>为，求巾的取值范围•

【答案】⑴直线广-1;

(2)-1或9

(3)当a>0时,mVY或加>2；当〃<0时，-4</n<2

【分析】(1)根据题意可得抛物线的对称轴；

(2)抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为(-1,0),进而可得。的值；

(3)根据点N(2,)，2)关于直线x=-l的对称点为N，(-4,”)，进而可得〃?的取值范围.

(1)

lily=ax2+2ax+3a2-4(QH0)

则对称轴为直线％=-竽=1

2a

故答案为：直线尸-1：

(2)

y=ax2+2ax+3a2-4

=a(x+l)2+3a2-a-4

•・•抛物线顶点在x轴上，

即当x=-l时，y=0,

：.3a2-a-4=0,

解得a=-\或a=\.

J

(3)

•・•抛物线的对称轴为直线X=-1,

：.N（2,”）关于直线尸-1的对称点为N'（-4,y2）.

（/）当。>0时，若>/>”，则，〃V-4或〃?>2：

（汇）当aVO时,若〃>y2,则~4VmV2.

【点睛】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，

要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等.

26.（2022•北京四中模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目.如图，运动员通过助滑道后在点A处腾

空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处.腾空点A到地面。8的距离0A为70m,坡高

。。为60m,着陆坡8c的坡度（即tana）为3：4,以。为原点，。8所在直线为4轴，。4所在直线为y

轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知这段抛物线经过点（4,75）,（8,78）.

⑴求这段抛物线表示的二次函数表达式；

（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面8C竖直方向上的最大距离：

（3）落点P与坡顶。之间的距离为m.

【答案】（1）丫=一2/+江+70

IoZ

“（2）—4m

（3）50

【分析】（1）由待定系数法解答；

（2）由正切定义解得08=80,继而求得直线8c的解析式，设运动员到坡面8c竖直方向上的为距离d,

由"=）,一9得到二次函数，再利用配方法求最值；

（3）求直线与抛物线的交点，转化为求一元二次方程一：“+60=-白/+5%+70的解，再根据三角形中

416Z

位线的性质解得HC,PH的长，最后根据勾股定理解答.

(1)

解：设二次函数的表达式为丁=加+法+c(。，4c为常数，娟0)

将(0,70)(4,75)、(8,78)代入可得,

(c=70

16Q+46+C=75

(64a+8b+c=78

fa=--

|16

mb=i

lc=70

，二次函数的表达式为y=-^x2+lx+70；

(2)

设线段表示的V与k之间的函数表达式为Ib(A为常数，划0),

在RtABOC中，NBOC=9()。,

/.tanZCfi(?=tana=^~=-

OB4

*/OC=60,

/.08=80

将C(0,60),B(80,0)代入丁尸乙+b可得，

(b=60

180k+b=0

解得h(b=60

:.线段8c表示的)，/与x之间的函数表达式为)，尸一%+60(0SK80)

设运动员到坡面8c竖直方向上的为距离d,

则0=y一N=一々、2+1¥+70_(一条+60)=—2/+3+10=一3J-1即+号

16Z4164164

・••当x=18时，4的最大值为号.

答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离为夺m.

4

(3)

Iy=-^x+6o

(y=-玄％2++70

\10z

3i3

--x+60=--x24--x+70

4162

x2—36x—160=0

(x+4)(x-40)=0

:.x=40或％=-4(舍去)

即Px=40,

过点〃作轴，PH=40

又OB=80

1

HP=-0B

2

HP是AOBC的中位线

1

•••HC=-06=30

乙

:.PC=V302+402=50

故答案为：50.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、配方法、勾股定理、中位

线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

27.（2015•北京海淀•一模）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图①，在中，DE//BC,分别交AB、AC于。、E,且CO_LEE,CD=3,

BE=5,试求BC+QE的值.

图①图③

小明发现，过点E作"〃QC,交3c的延长线于点F,构造ABER经过推理得到。QCFE,再计算就能够

使问题得到解决(如图②).

(1)请你帮小明回答：BC+QE的值为,并写出推理和计算过程.

(2)参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：

如图③，己知M8C。和矩形ABEF,AC与。F交于点G,AC=BF=DF,求乙4G尸的度数.

【答案】(1)回，见解析

Q)60。

【分析】(1)由。石〃8cEF//DC,可证得四边形。CFE是平行四边形，即可得EF=CD=3,CF=DE,即

可得BC+DE二BF,然后利用勾股定理，求得8C+QE的值；

(2)首先连接CE,由四边形ABC。是平行四边形，四边形4a小是矩形，易证得