专题41 概率【十二大题型】（举一反三）（解析版）

专题41概率【十二大题型】

♦题型梳理

【题型1事件的分类】..........................................................................2

【题型2根据概率公式计算概率】...............................................................4

【题型3由概率求数量】........................................................................6

【题型4列举法求概率】........................................................................8

【题型5画树状图法/列表法求概率】............................................................10

【题型6几何概率】...........................................................................15

【题型7由频率估计概率】.....................................................................18

【题型8放回实验概率计算方法】..............................................................21

【题型9不放回实验概率计算方法】............................................................24

【题型10游戏公平性】.........................................................................26

【题型11概率的实际应用】.....................................................................30

【题型12概率与统计综合】.....................................................................35

【知识点概率】

1.随机事件

必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。

不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。

必然事件和不可能事件统称确定性事件。

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。

2.概率

(1)概率的性质：P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0：0VP(不确定事件)VI。

(2)一般地,如果在一次试验中.有c种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等.事件』包括其中

的m种结果，那么事件4发生的就率P(A)=生H1。

n

3.列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用列表法。

4.树状图法求概率

通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用树状图法求概率。

5.利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这

个事件发生的概率。

在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复:杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟

实验。

【题型1事件的分类】

【例1】（2023•广东中山•二模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、。和1个小灯泡，同时闭合开关4、

B或同时闭合开关C、。都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关

C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

【答案】B

【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.根据

必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定

事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可.

【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；

B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；

C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

故选：B.

【变式1-1]（2023•浙江宁波•二模）下列事件中属于不可能事件的是（）

A.投掷一枚骰子，朝上的点数为3

B.13个人中有两个人生日在同一个月份

C.从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球

D.两点之间，线段最短

【答案】C

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

根据事件发生的可能性大小逐项判断即可.

【详解】解：A.投掷一枚骰子，朝上的点数为3是随机事件，不符合题意；

B.13个人中有两个人生日在同一个月份是必然事件，不符合题意；

C.从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合题意；

D.两点之间，线段最短是必然事件，不符合题意.

故选：C.

【变式1-2]（2024•山西朔州•一模）如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事

件的是（）

A.掷得的点数和为5B.掷得的点数和为9

C.掷得的点数和大于15D.掷得的点数和小于13

【答案】D

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件卜.，可

能发生也可能不发生的事件.

根据事件发生的可能性大小判断口】可.

【详解】解：A、掷得的点数和为5是随机事件，故此选项不符合题意;

B、掷得的点数和为9是随机事件，故此选项不符合题意；

C、掷得的点数和大于15是不可能事件，故此选项不符合题意；

D、掷得的点数和小于13是必然事件，故此选项符合题意；

故选：D.

【变式1-3］（17-18七年级下•江西萍乡•期末）某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商

品可参加抽奖一次，中奖的概率为右小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（）

A.能中奖一次B.能中奖两次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

【答案】D

【分析】由于中奖概率为j说明比事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.

«5

【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.

故选D.

【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：

©P（A）=0,为不可能事件;

②P（A）=1为必然事件；

@0<P（A）<1为随机事件.

【题型2根据概率公式计算概率】

【例2】（2023•山东济宁•三模）从有理数一1,0,1,2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线y=-%+l

上的概率是（）

A-ZB-iCZD.g

【答案】D

【分析】先列出数-1，0,1，2中任取两个数作为点的坐标所有情况，再判断是否在直线上，最后再利用

概率公式的求法得出.

【详解】数一1,0,1,2中任取两个数作为点的坐标可以为（一1,0）、（一1,1）、（-1,2）、（0,一1）、

（0,1）,（0,2）、（1,-1）,（1，0）、（1，2）、（2,一1）、（2,0）、（2,1）共12种等可能的情况，

依次代入y=-x+l知（一1,2）、（0,1）、（1,0）、（2,一代在直线上,

故概率为］=1

JL/J

故选;D.

【点睛】此题主要考查一次函数与概率的结合，依次列出各坐标点是解题的关键.

【变式2-1］（2023•海南省直辖县级单位•二模）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，

黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）

A.-B.-C.-D.—

24312

【答案】B

【分析】随机事件A的概率尸（A）=事件A可能出现的结果数子所有可能出现的结果数，依此列式计算即可

求解.

【详解】解：团每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，

回当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率产/;关工二:，

72+25+34

故选：B.

【点睛】本题考查「概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.

【变式2-2］（2023•安徽合肥•二模）平行四边形4BCD的对角线相交于O,给出的四个条件①4B=8C；

②0A8C=9O。；③OA=OB；④4G3B。，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCO是正方形

的概率是（）

1I12

A.-B.-C.-D.-

3263

【答案】D

【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可.

【详解】一共有①②，①③，②③，②④；③④6种组合数，

其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，

所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是:=

63

故选D.

【点睛】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键.

【变式2-3］（2023•江苏•模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相

同.现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄

球的概率相等的方案是（）

A.增加2个白球B.减少2个黄球

C.增加1个白球、减少1个黄球D.增加4个白球、3个黄球

【答案】D

【分析】分别求出各选项摸到白球和黄球的概率，然后比较即可解答.

【详解】解：A.增加2个白球，摸到白球的概率是:摸到黄球的概率是去不符合题意；

B.减少2个黄球，摸到白球的概率是；摸到黄球的概率是J,不符合题意；

C.增加1个白球、减少1个黄球，摸到白球的概率是3摸到黄球的概率是j不符合题意；

D.增加4个白球、3个黄球，摸到白球的概率是等二点摸到黄球的概率是等=£符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查了可能性大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.

【题型3由概率求数量】

【例3】（2023•浙江宁波•模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形

的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2,4,6,…，2n（每个区域内标注1个数字,

且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件”指针所落区域标注的数字

大于8〃的概率是全则n的取值为（）

A.10B.8C.12D.4

【答案】C

【分析】用大于8的数字的个数（n-4）除以总个数=对应概率列出关于n的方程，解之可得.

【详解】瞠指针所落区域标注的数字大于8〃的概率是|,

辞

n3

解得：n=12,

故选：C.

【点睛】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式.

【变式3-1]（2023•辽宁葫芦岛•一模）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜

色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为j则随机摸出•个黄球的概率为

（）

A.-B.-C.D.—

43122

【答案】A

【分析】设黄球有X个，根据摸出一个球是蓝球的概率是%得出黄球的个数，再根据概率公式即可得出随

机摸出一个黄球的概率.

【详解】解：设袋子中黄球有X个，

根据题意，得：+=;，

5+4+X3

解得：x=3,

即袋中黄球有3个，

所以随机摸出一个黄球的概率为£=P

5+4+34

故选A.

【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求

的情况数是解决本题的关键.

【变式3・2】（2023•福建福州•一模）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会

徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰

墩墩的卡片共有〃张.从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是支则〃的值是.

【答案】10

【分析】根据概率的意义列方程求解即可.

【详解】解：由题意得，

n__1

50-5*

解得”=10，

故答案为：10.

【点睛】本题考查了概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键.

【变式3-3]（2023•山东济南•中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3

个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是:，

4

则盒子中棋子的总个数是.

【答案】12

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数.

【详解】解：3+；=12,

团盒子中棋子的总个数是12.

故答案为:12.

【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比.

【题型4列举法求概率】

【例4】（2023•广东肇庆•三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一

排A,B,C,。，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与

自己车票相符座位的坐法有（）

A.40B.45C.50D.55

【答案】B

【分析】本题主要考查了列举法.设5名同学也用A,B,C,D,石来表示，若恰有一人坐对与自己车票相

符座位的坐法，设£同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原

理可得.

【详解】解：设5名同学票用A,B,C,。，E来表示，

若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，

设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，

则有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA^9种坐法，

则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5X9=45种，

故选：B.

【变式4-1］（2023•山西太原•一模）在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电

阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是.

【答案w

【分析】先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可.

【详解】解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有3种情况，分别是SR,SS2,S1S2；其

中能够让一个灯泡发光的情况有SSi，SS?共2种，

国随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率为与

故答案为：

【点睛】本题主要考杳了列举法求解概率，正确理题意列举出所有的可能性的结果数是解题的关键.

【变式4-2]（2023•江苏苏州•一模）如图，三根同样的绳子百公、8/、CQ穿过一块木板，姐妹两人分别

站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等.

号啡

⑴姐姐从这三根绳子中a随机选一杈，恰好选中绳子8当的概率为_______________：

⑵在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端为、丛、G三

个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.

【答案】⑴]

喝

【分析】（1）由三根同样的绳子/12、BB]、CQ穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）利用列举法可得：ACA^4cAic1，ACBiG，其中符合题意的有2种（4以/1、4cBic力,然后直

接利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】（1）解：•••共有三根同样的绳子44、BB「CC]穿过〜块木板，

••・姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子8当的概率为：?

故答案为：上;

(2)解：歹U举得：ABAiG，ABBQ,ACA^B^ACA}ClfACB^,BCA^,BCA£,BCB,G；

・•.共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种，

•••这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：P=1=1-

空气质量都是优良的概率是

【答案】；/0.375

O

【分析】先求出3天中空气质量都是优良的情况数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：团由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时3天空气质量均为优良;

当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时3天空气质量均为优良;

当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时3天空气质量均为优良;

当4号到达时,停留的日子为4、5、6号,此时2天空气质量均为优良;

当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时2天空气质量均为优良;

当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时1天空气质量为优良;

当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时2天空气质量为优良;

当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时2天空气质量均为优良;

团小王该月.上旬该地区度假三天那么他在该地区度假期间空气质量都是优良的概率是：，

O

故答案为:

O

【点睛】本题考查的是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出

现m种可能，那么事件A的概率P(4)=；

【题型5画树状图法/列表法求概率】

【例5】(2023・江苏盐城•一模)把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠

表示数210.

⑴若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是二

⑵现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求

构成的数是三位数的概率.

【答案】⑴]

娱

【分析】本题考查了列表法与树状图法和运用概率公式求概率：

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，再由概率公式求解即可.

【详解】（1）解：若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是5

故答案为：

（2）解：画树状图如下：

开始

第一颗百十个

小/T\/N

第二颗百十个百十个百十个

共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，

团构成的数是三位数的概率为;.

【变式5-1]（2024・陕西西安•一模）周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然

景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，星罗棋布.小刚和小强两人准备从4楼观台国家森林公园，B.黑河

国家森林公园，C.沙河湿地公园，D.终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩.

楼观台国家森林公园黑河国家森林公园沙河湿地公园终南山鼓楼观景区

⑴小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为「

⑵i青用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率.

【答案】⑴:：

明•

【分析】（1）利用概率公式直接计算即可求解；

（2）列表求出总的结果数和两人选择的景点不同的结果数，再利用概率公式计算即可求解；

本题考查了利用树状图法或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键.

【详解】（1）解：团共有4.楼观台国家森林公园，艮黑河国家森林公园，C.河湿地公园，D.终南山鼓

楼观景区四个景区，

团小刚选择的景点是"沙河湿地公园”的概率;，

（2）解：根据题意列表如下：

ABCD

A(A,A)(8,4)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(zl,C)(B,C)(C,G(D,C)

D(A,D)(8,D)(C,D)(D,D)

由表可得，一共有16种等可能的结果，其中两人选择的景点不同的有12种结果，

团两人选择的景点不同的概率=

【变式5-2］（2023•安徽•模拟预测）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到的杂种

第一代豌豆都呈黄色.他假设纯种黄豌豆的基因是YY,纯种绿豌豆的基因是yy,则杂种第一代豌豆的基因

是Yy,其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是黄色基因，豌豆就呈黄色，故第一代的所有

豌豆均呈黄色.将杂种第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y,y与母本的两个基因Y,y再随机配对，将产

生4种可能的结果：

第一代Yy（父一）丫/母本）

I

第二代口显］近迎

丫一九去示来自父本的川因

Y-y.去示来自瞰本的通因

⑴求第二代出现黄豌豆的概率.

（2）如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为热请列举一种符合要求的配对方案，

并说明理由.

【答案】⑴第二代出现黄腕豆的概率昨至

⑵P（第三代出现黄腕豆）=5理由见解析•

【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键.

（1）根据概率的计算公式直接计算即可求解；

（2）选出符合要求的配对方案，画出树状图，根据树状图即可求解；

【详解】（1）解：第二代共有4种情况，其中出现黄腕豆的有Y父Y母，Y父丫母，Y母y父共3种情况，所以第二

代出现黄腕豆的概率P=：；

4

（2）解：共有两种方案，答出任意一种即可.

方案一；选择的两个品种分别为丫父y母和y父y母•

画出树状图如下：

开始

央人

y4。力力

结果y.y«y.y.

由树状图可得p（第二代川现黄腕红）=：=去

方案二：选择的两个品种分别为Y母父和y父y母.

画出树状图如卜.：

开始

W人

丫父y.y*夕.

结果丫"上YJ，y"％九九

由树状图可得P（第三代出现黄腕豆）=:=a

【变式5・3】（2023•云南昆明•三模）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀.春节有4部影

片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》.小亮和小丽两

名同学分别从《热辣滚烫》《飞驱人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表

示为4《飞驰人生2》表示为8,《第二十条》表示为C.假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素

影峋，且每一部电影被选到的可能性相等.记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为y.

⑴请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（无/）所有可能出现的结果总数；

⑵求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率.

【答案】⑴9种

喝

【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率.

（1）列表得出所有等可能的情况数即可；

（2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.

【详解】（1）解：方法一：由题意可列表如下，

xyABC

ACM)(B,4)cm

B(4B)(B⑻(C⑻

C(4C)(B,C)(C,C)

・••由表可知，（x,y）可能出现的结果为：（44）、（8,4）、（&力）、（48）、（4,。）、（SG、

（C,8）、（C,C）,它们出现的可能性相等,一共有9种.

答：所有可能出现的结果共有9种.

方法二，画树状图如下：

开始

(x,y)(A,A)(A,B)(A,C)(B,A)(B,B)(B,C)(C,A)(C,B)(C,C)

（x,y）可能出现的结果为：（44）、（4B）、（4G、（8,4）、（8,B）、（C,4）、（C,B）、（C,C）,它们出

现的可能性相等，一共有9种.

答：所有可能出现的结果共有9种.

（2）解.：由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种,

即（4A）、（B,8）、（C,C）.

•••尸（小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影）=：=：.

答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为%

【题型6几何概率】

【例6】（2023•河南郑州•三模）如图，在矩形中,以点6为圆心,力。长为半径画弧，以点。为圆心,

。。长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1,则该点取自阴影

部分的概率为.

【答案】4）五

44

【分析】连接根据勾股定理，得0£=6，根据阴影部分的面积为：扇形4E。的面枳减去§2,根据§2的

等于扇形OEC的面积减去&ECD，据此求解即可.

【详解】解：连接。£如下图：

团四边形力8C0是矩形，CD=CE=1,

(DDF=Vl2+l2=V2,^ADC=乙BCD=900,AB=DC=1,

回力D=BC=yf2,匕ADE=45°,

回扇形AEO的面积为：竺噤£=j

3604

配的面积为：;7TXI2-^X1X1=7-^

4242

回阴影部分的面积为：衿£+:=;.

4422

矩形力BCD的面积为BCxCD=V2,

该点取自阴影部分的概率为与=

M24

故答案为；

4

【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质.

【变式6-1]（2023•山东东营•一模）一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴

影区域上的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】c

【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解.

【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的支

故选:C.

【点睛】本题考查概率的计算.熟练掌握概率公式,是解题的关键.

【变式6-2]（2023•广东云浮•一模）"七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板〃.图①是由

该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽〃图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则S

镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（）

图①图②

A.-B.-C.-D.-

3224168

【答案】c

【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论.

【详解】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的白，

16

故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是9.

16

故选：C.

【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，己知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比,

面积比，体枳比等.

【变式6-3]（2023・四川成都•三模）如图，团43c三边的中点。，E,尸组成团。“，△OEF三边的中点M,

MP组成团MNP,将即了M与团ECD涂成阴影.假设可以随意在曲WC中取点，那么这个点取在阴影部分的

概率为.

【答案】亮

【分析】由三角形中位线定理易求得设阴影部分的面积与团CZM的面积的比值，再根据几何概率的求法即可

得出答案.

【详解】解：国D、E分别是BC、AC的中点，

团DE是的中位线，

0E/M4B,且。£=刎，

^BCDEWCBA,

2=（"）2=工，

SACBA\ABj4

（as』coE==s4cAt.

4

同理，SAFPM=*AFDE=AACBA.

416

^S^PM+S^CDE=^-S^CBA.

16

则警=.

S&CBA16

故答案是:2

lo

【点睛】本题考查了三角形中位线定理与几何概率的求法，关键是利用中位线定理求出阴影部分面积与整

个三角形面积的比值.

【题型7由频率估计概率】

【例7】（2024•河南周口•一模）斯蒂芬・库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于-NBA金州勇士

队，卜.表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录：

罚球总数4001000160020002887

命中次数348893143218022617

罚球命中率0.870.8930.8950.9010.906

根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为（精确到0.1）

【答案】0.9

【分析】本题考查利用频率估计概率.根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个

数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据.根据大量重复

试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结

果.

【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.87-0.906之间附近，

且精确到0.1,

回这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9,

故答案为：0.9.

【变式7-1］（2023•四川自贡•中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100

条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出

10C条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条,可以初步估计鱼苗数目较多的是_________鱼池（填

甲或乙）

【答案】甲

【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数

即可得到结论.

【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为工条，则

鱼的概率近似=烹=理，解得x=2000；

100X

设乙鱼池鱼的总数为），条，则

鱼的概率近似=益=詈，解得）=1000；

V2000>1000,

.••可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，

故答案为：甲.

【点睛】本题主要考查了频率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等

量关系.

【变式7-2］（2023•内蒙古呼和浩特•三模）《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔〃.如图，已知铜

线的直径为3cm,厚度为0.2cm,一枚铜钱的平均密度约为9g/cm3.为计算铜钱的质量，做如下实验：将一

滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为九次.由此可以估计，一枚铜钱的质量

约为g（用含m,n,n■的式子表示）.

［答案］81(m-n)TT

【分析】求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案.

【详解】解：团将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为九次.

团由此可以估计,中心孔的面积占整个铜钱圆面积的?

团铜钱的实际面积为万X（：）2x（1—三）=萼叨（。/），

2m4m

因铜钱的体积为驷;MX0.2=N¥（卅），

4m20m

团由此可以估计，一枚铜钱的质量约为8*、9=器产（0,

20m20m

81(m-n)7r

故答案为:

20m

【点睛】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的2是解

m

题的关键.

【变式7-3］（2023•河北秦皇岛•三模）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸

球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述

过程.如图所示为“摸到白球〃的频率折线统计图.

⑴请估计：当〃足够大时，摸到白球的频率将会接近（结果精确到0.1）,假如小至摸一次球，

小李摸到白球的概率为;

（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；

⑶在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在一需要往盒子里再放入多少个白球？

【答案】（1）0.5,0.5

⑵也算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个

⑶10个

【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用.熟练掌握用频率估计概率，已

知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键.

（1）根据用频率估计概率求解作答即可；

（2）由题意知，盒子里白颜色的球有40x0.5=20（个），则黑颜色的球有40-20=20（个）；

（3）设需要往盒子里再放入工个白球，依题意得，就=爸计算求解，然后作答即可.

【详解】（1）解：由统计图可知，当〃足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5,假如小李摸一次球，小李

摸到白球的概率为0.5,

故答案为：0.5,0.5；

（2）解.：由题意知，盒子里白颜色的球有40x0.5=20（个），

黑颜色的球有40-20=20（个）：

回估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个;

（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，

依题意得,会―

5（20+%）=3（40+幻，

解得，x=10,

经检验，％=1U是原分式方程的解，

田需要往盒子里再放入10个白球.

【题型8放回实验概率计算方法】

【例8】（2023•广东深圳•模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,

3,4,5.随机摸取•个小球然后放回，再随机摸出•个小球.两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（）

【答案】B

【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的占13种，然

后根据概率的概念计算即可.

【详解】解：根据题意画图如下：

共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种,

则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是

故选:B.

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合「两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放

回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【变式8-1］（2023•北京顺义•二模）不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1,2,3,

4.随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字

不相同的概率是.

【答案】;

4

【分析】利用列表法求解所有等可能的结果有16种，而两次记录的数字不相同的情况数有12种，再利用概

率公式从而可得结论.

【详解】解:列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(L4)(2,4)(3,4)(4,4)

一共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的情况A(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种,

二两次记录的数字不相同的概率是：=

164

故答案为：7-

4

【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握画树状图法与列表法求概率是解题

的关键.

【变式8-2](2023•河南南阳•二模)甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制

成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次(抽后放回，洗匀后第二人再抽)，

三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为()

AA•—1Bc•l—CC.-1Df.l一

36927

【答案】D

【分析】根据题意，三人各抽一次(抽后放回)，甲乙丙三人都是从3张卡片抽一张，画出树状图即可得

出答案.

【详解】设甲的生肖为A,乙的生肖为B,丙的生肖为C,梳妆图如下：

开始

甲

乙ABCApCABC

AAN小卜/IAA

内ABCABCABCABCABCABCABCABCABC

共有27种等可能情况，其中符合三个人抽到的生肖K•恰好是自己制作的K片的有1种，

所以，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率=5，

故选：D.

【点睛】本题考查了画梳妆图或列表求概率，根据题意画出梳妆图是解决本题的关键.

【变式8-3］（2023•重庆江北•二模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字一1、-2、1、2,

将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为原放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b,

则函数y=ax+匕的图像不经过第二象限的概率是.

【答案】%.25

4

【分析】画树状图得出所有的等可能的结果，根据当Q>o,bwo时，函数y=ax+b的图像不经过第二象

限，即可求解.

【详解】解：画树状图如卜.：

开始

a一1~22

/TV/TV/yv/TV

b-1-212-I-212-1-2I2-1-2i2

共有16种等可能的结果

回当Q>0,bWO时，函数y=Q%+b的图像不经过第二象限

团满足条件的结果有4种

故函数y=ax+b的图像不经过第二象限的概率是：三=；

164

故答案为：7

4

【点睛】本题考查r概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值.熟记相关结论即可.

【题型9不放回实验概率计算方法】

【例9】（2023•河南周口•模拟预测）豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏

曲剧种.如图，豫剧爱好者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝

麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙.小华将它们背面朝上放在桌面

上（邮票背面完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙

抽到第三枚《朝阳沟》的概率是（）

・

小

•・

•

•♦

BO

・4

•

・

•・

•

・

・

【答案】D

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合

事件4或B的结果数目相，然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：将三枚邮票分别记作/、8、C,根据题意列表如下：

ARC

ABACA

BABCB

CACBC

由表可知,共有6种等可能结果,其中妙妙抽到第二枚《朝阳沟》的有2种结果.

所以妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率为：=

63

故选：D.

【变式9-1］（2023•湖北武汉•模拟预测）甲、乙、因三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机

抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（）

A.C.D.

【答案】B

【分析】设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为48,C,画树状图得出所有等可能的结果数以及三

位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为4B,C,

画树状图如下：

开始

ABC

/\/\/\

BcAcAB

II--I-

cBcABA

共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有1种，

三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是:，

6

故选：B.

【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

【变式9-2]（2023•河南南阳•一模）"二十四节气〃是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中

国第五大发明〃.小文购买了“二十四节气〃主题邮票，他要将"立春""立夏""秋分”"大寒〃四张邮票中的两张送

给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放

回），再从中随机