专题49 角的平分线问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）（解析版）

专题4.9角的平分线问题专项训练（30道）

【人教版】

【题型1单角平分线型】

1.如图,已知N4O8=90。,NBOC=60。,平分NAOC.求N8。。的度数.

A

c

【解题思路】本题需先结合图形，得出NAOC的度数，再根据0。平分NAOC,得出NAOD的度数，最

后即可求出止确答案.

【解答过程】解：VZAOB=90°,N8OC=60。，

・•・ZAOC=NAOB+NBOC=150。.

平分NAOC,

.LA啊NA"=75。,

・•・ZBOD=NAOB-ZAOD=\5°.

2.如图，已知NAOB=90。，ZCOD=90°,OE为N6O。的平分线，/BOE=17。,求N4OC的度数.

【解题思路】根据角平分线的定义，由OE为N8OO的平分线，ZBOE=\r,得NBOD=2/BOE=34°,

从而解决此题.

【解答过程】解：TOE为NBOZ）的平分线，ZBOE=\1°,

・・・N8OO=2N8OE=34。.

；・NAOC=360。-NAOB-ZCOD-ZBOD=360°-90°-90°-34°=146°.

3.如图，OB,OE是NAOC内的两条射线，0。平分NAOB,ZBOE=|ZEOC,若NQOE=55。，ZAOC

=140°,求NEOC的度数.

【解题思路】设N8OE为x。，则NOO8=55。-*。，NEOC=2x。,然后根据角平分线定义列方程解决求

出NBOE,可得NEOC.

【解答过程】解：设N8OE为则/。。3=55。-工。，

由NBOE=2/EOC可得NEOC=2x。，

2

由0。平分NAO8,

得NAOB=2NOOB,

故有2x+x+2（55-X）=140,

解方程得x=30,

故/EOC=2x=60。.

4.如图，O是直线A3上的一点，NAOE=NFOD=90。,04平分/C。。，且N8OC=28。.

（1）求NQOE和NNO户的度数；

（2）求NCOE+NOOE的度数.

【解题思路】（1）根据补角的性质得到N3OE=NAOE=90。，根据角平分线的性质得到N8OQ=/40c

=28。，根据角的和差即可得到结论；

（2）根据题意求出NCOE的度数，再结合（1）的结论计算即可.

【解答过程】解：（1）VZAOE=ZFOD=90°f

AZ130E=ZAOE=9()0,

OB平分/COD,

：./BOD=/BOC=28。,

・•・ZD0E=9Q0-/8。。=62。；

4B0F=ZDOF+ZBOD=118°；

(2)VZBOE=90°,且NBOC=28。，

・•・ZCOE=ZBOE+ZBOC=118。，

二ZCOE+NDOE=II8°+62°=180°.

5.如图，点O是直线AB上的一点，NCOO是直角，O七平分/80C.

(1)如图I,若/AOC=40。，求NOOE的度数；

(2)如图2,若/COE=g/DOB,求NAOC的度数.

【解题思路】(I)已知NCO/),欲求NOOE,需求NCOE.由NAOC=40。，得N8OC=180。-NAOC

=140°.由OE平分N5OC,得NCOE=：4BOC=：x140。=70。，进而解决此题.

(2)欲求/AOC,需求N3OC由NCOE-/DOB,得NDOB=3NCOE.由OE平分N80C,得N30C

3

=2ZCOE.由NCOO=90。，得/BOC+NBOD=2NCOE+3/COE=5NCOE=9。。,故/COE=18。，进

而可求得NAOC.

【解答过程】解：(1)VZAOC=40°,

・•・NBOC=180。-ZAOC=140°.

•/OE平分NBOC,

：.ZCOE=-Z-BOC=-x140°=70°.

22

ZCOD=90°,

，ZDOE=ZCOD-ZCOE=90°-70°=20°.

(2)ZCOE=-ZDOB,

：.ZDOB=3ZCOE.

*/OE平分4B0C,

：,ZB0C=2ZC0E.

VZCOD=90°,

，ZBOC+NBOD=2NCOE+3NCOE=5ZCOE=90°.

・・・NCOE=18。.

・•・NBOC=2NCOE=36。.

Z.NAOC=1800-NBOC=18U°-36°=144°.

6.如图，已知NAO8-NCOO=60。，。/3是/。。£的平分线.设NAOC的度数为.r,

(1)用含x的式子表示N800的度数；

(2)若/。。£+/4。。=97。16',求/AOC的度数.

【解题思路】(1)由NAO/3-NCOQ=60。，可得N4OC+N8OQ=60。，从而可求解；

(2)由(1)可行NZ?OQ=60。-N人OC结合O△是NQOE的平分线.则有NQOE=2NAO£),再利用

所给的条件即可求解.

【解答过程】解：(1)^ZAOB-ZCOD=60°,NAOB=NAOC+/COD+NBOD,

/.ZAOC+ZCOD+ZBOD-NCOD=60。,

得：NAOC+N8OO=60。，

•・•ZAOC=x,

/.NBOO=60°-k；

(2)由(1)得：N8OQ=600-x,

*：OB是4DOE的平分线.

：,ZDOE=2ZBOD,

*/NOO£+NAOC=97°16',

・•・2/8。。+ZAOC=97°16\

2(600-x)+x=97°16',

解得：x=22°44,,

即NAOC=22°44'.

7.如图，点A、。、C在一直线上，OE是N8OC的平分线，ZEOF=90°,N1比N2大75。.

(1)求/2的度数.

(2)求/CO/的度数.

【解题思路】(1)根据角平分线的定义求得N2=N3OE,再根据N1与N2的关系和平角的定义，列方

程即可求得N2的度数；

(2)根据余角的定义，可求出/CO/的度数.

【解答过程】解：(1)・・・OE平分N8OC,

：.N2=NBOE,

设N2=X°,则Nl=(x+75)°,

•・・N2+NBOE+N1=180°,

/.X+A+X+75=180,

解得x=35,

，N2=35。；

(2)VZEOF=Z2+ZCOF=90°,Z2=35°,

，/COF=90°-35°=55。.

8.如图，NAOB=NOOC=90。，OE平分NAOO,反向延长射线OE至凡

(1)ZAOD和NBOC互补；(填“互余”“相等”“互补”或殁有特殊关系”)

(2)O尸是N3OC的平分线吗？为什么？

(3)反向延长射线OA至G,/COG与NrOG的度数比为2：5,求NAO。的度数.

B

'D

【解题思路】(1)根据周角与NAO从的差得结论；

(2)根据OE平分N4O。，再利用角的和差关系，推角相等，从而得O户是N8OC的平分线;

(3)设NCOG=2x,NFOG=5x,利用平角列方程求x的度数，进而得/AOO的度数.

【解答过程】解：(1)ZAOD和N80C互补.

ZAOCH-ZBOC

=360°-ZAOB-ZDOC

=360°-90°-90°

=180°.

・•・ZAOD和/BOC互补.

故答案为：互补.

(2)平分NAOO,

：.ZEOD=ZEOA,

・•・N4Or=180°-90°-ZEOA=900-ZEOA,

NCO产=180°-90°-Z£(9D=90°-/EOD,

：.ZBOF=ZCOF.

，O尸是N8OC的平分线.

(3)设NCOG=2x,/FOG=5x,

：.ZFOC=^BOF=3x.

:/4OB+NBOF+N尸OC+NCOG=180。，

.*.90°+3A+3X+2X=180°,

解得，x=(v>

o

/.ZAOD=180-6x(-)°=112.5°.

8

9.已知点。为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在。处，在NM0N内部作

射线0C,且OC恰好平分

(1)若NCON=10。，求NAOM的度数：

(2)若/BON=2/NOC,求/AOM的度数；

(3)试猜想/40M与NNOC之间的数量关系，并说明理由.

【解题思路】(I)先根据余角的定义求出NMOC,再根据角平分线的定义求出然后根据NAOM

=180°-N8OM计算即可；

(2)根据角的倍分关系以及隹平分线的定义即可求解：

(3)令/NOC为p,NAOM为丫，NMOC=90。邛，根据NAOM+NMOC+NBOC=180。即可得到NAOM

与NNOC满足的数量关系.

【解答过程】解：(1)•••/MON=90。，ZCO/V=10°,

,NMOC=90。-NCON=80。，

TOC平分NMOB,

；・N6OM=2NMOC=16()。，

・•・NAOM=180。-ZBOM=20\

(2)VZBON=2ZNOC,0c平分NM04,

・•.ZMOC=ZBOC=3ZNOC,

•・•ZMOC+ZNOC=/MON=90°,

・・・3NNOC+NNOC=90。，

・・・4NNOC=90。，

；・NBON=2NNOC=45。,

・・・N4OM=I8()。-NMON-NBON=180。-90°-45。=45。；

(3)NAOM=2/NOC.

令NNOC为0,NAOW为丫，ZMOC=900-p,

*.*N40M+NM0C+N80c=180。，

.,.y+90o-p+90o-p=180°,

.,.y-2p=0,即丫=2,

，ZAOM=2ZNOC.

10.如图，已知/AO8=120。，OC是NAO8内的一条射线，RZAOC：ZBOC=\：2.

(1)求NAOC,/80C的度数；

(2)作射线0M平分NAOC,在NBOC内作射线0M使得/COMNBON=1：3,求NMON的度数;

(3)过点O作射线。。，若2NAOO=3NB。。，求NCOO的度数.

【解题思路】(1)根据NAOC：NBOC=l：2,即可求解：

(2)先求出NCOM,再求出NCOM相加即可求解；

(3)分OD在NAOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解.

【解答过程】解：(1)VZAOC：NBOC=1：2,乙4。8=120。,

工/4OC=-ZAOB=-X12O°=4O°,

33

,2,2

ZBOC=-ZAOB=-X12O°=8D°；

33

(2),.・OM平分NAOC,

，ZCOM=-ZAOC=-x40°=20°,

22

VZCON：ZBON=1：3,

・•・ZCON=-ZBOC=-x80°=20°,

44

:./M0N=ZCOM+ZCON=20°+20°=40°；

(3)如图，当。。在NAOB内部时，

设N3OZ)=JV。,

,

：2ZAOD=3ZBODt

・•・ZAOD=%。，

2

•・•ZAOB=\20°,

/.A+-X=120,

2

解得：x=48,

.•・NBOO=48。，

NCOD=NBOC-NBOD=SO。-48°=32°,

如图，当OD在ZAOB外部时，

设NBOQ=），。，

*：2ZAOD=3ZBOD,

・•・ZAOD=1y°,

N4OA=120。，

・•・》+），+120。=360。

解得：y=96。，

・•・ZCOD=/BOD+/BOC

=96°+80°

=176°,

综上所述，NCO。的度数为32。或176。.

【题型2双角平分线（不交叉型）】

11.如图，ZAOC：ZCOD：ZD（）B=3：4：5,OM平分NAOC,ON平分4DOB,且NMON=96。，求NAO8

的度数.

【解题思路】根据比例设NAOC、NCO。、/DOB,然后根据角平分线的定义表示出NOON、/COM,

然后根据/MON的度数列出方程，求得x的值即可表示出NAO8的度数.

【解答过程】解：设/4OC=3x,ZCOD=4x,NDOB=5x,则/AOK=12x,

•••。川平分NAOC,ON平分乙DOB,

ZMOC=1.5x,ZNOD=2.5x,

ZMON=1.5x+4x+2.5x=8.r,

*/NMON=96。，

.,.8x=96°,

解得x=12。，

NAOB=I44。.

12.如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，0D平分NBOC,O石平分NAOC

(1)若NBOC=70。,求NCOO和NEOC的度数；

(2)写出NC。。与NEOC具有的数量关系并说明理由.

【解题思路】(1)根据角平分线的定义求出NCO。的度数即可，先求出N4OC的度数，再根据角平分

线的定义解答；

(3)根据角平分线的定义表示出NCO。与NEOC,然后整理即可得解.

【解答过程】解：(1);。。平分N8OC,N〃OC=7()。，

ZCOD=-ZBOC=-

22X7O°=35°,

•；N3OC=70。,

/.ZAOC=1800-ZBOC=180°-70°=110°,

•・・OE平分NAOC,

0；

:.NEOC=-2ZAOC=-2xll()=55°

(2)NCOO与N£OC互余，

理由如下：;。。平分N8OC,OE平分NAOC,

・•・ZCOD=-ZBOC,ZEOC=-ZAOC,

22

・・・NCOD+NEOC=；(N8OC+NAOC)=；xl800=90。，

22

：・NCOD与/EOC互余.

13.如图，已知乙4。。=156。，/QON=48。，射线OB,OM,ON在NAOD内部，OM平分NA08,ON

平分/BOD.

(1)求NMON的度数；

(2)若射线OC在NAO。内部，ZNOC=23°,求NCOM的度数.

【解题思路】（1）欲求NMOM需求N8ON和NBOW.由OM平分/八08,ON平分NBO。,得NNOB=

\z-DOB,ZBOM=^BOA,进而解决此题.

（2）由题意得射线OC可能在NQON内部或射线OC在NNOR内部，故需分类讨论.

【解答过程】解：（1）平分NA08,ON平分4B0D,

:・NNOB=LLDOB,ZI30M=-/,BOA.

22

:./NOB+/BOM=）DOB+\Z.BOA=其乙DOB+/BOA）.

:・/MON=A乙AOD.

2

又。NAaO=156Z

。

AZM0N=-2x156°=78.

（2）由题意得：射线OC可.能在NOON内部或射线OC在NNOB内部.

①当射线0C可能在NOON内部时，如图1.

B

D

A

图1

由（1）知：NMON=78。.

，ZCOM=ZCON+ZMON=23°+78°=101°.

由（1）如：ZMON=7S°.

，NCOM=/MON-NNOC=78。-23°=55°.

综上：NCOM=10I。或55°.

14.己知：OC,0。是NAOB内部的射线，OE平分NA。。，OF平分NBOD.

（1）若NA08=I20。，NCO/）=30。，如图①，求NEO产的度数；

（2）若NAOB=a,NCOO=p,如图②，如图③，请直接用含a、p的式子表示/反不的大小;

图②结论：，（a+B）；

图①图②图③

【解题思路】（1）利用角平分线的性质，可先求出NCOO+F。。的度数，再求NE。r的度数；

（2）利用角平分线的性质和用的和差关系，把NCOO写成两个;NCOD的和的形式，计算可得结论.

【解答过程】解：（1）:0E平分NAOC,0"平分N3OO,

；・

ZCOE=-2ZAOC,2ZDOF=-ZBOD.

•・•ZAOC+ZBOD=ZAOB-ZCOD,

，NAOC+N8OO=90°

・•・ZEOF=ZCOE+ZCOD+ZDOF

=沁0C+：N80D+/C。。

二：(NA0C+N8。。)+ZCOD

2

=2-x90°+30°

=75°.

(2)图②平分N40C,平分N4OQ,

・・

•ZCOE=2-ZAOC2,ZDOF=-ZBOD.

・•・ZEOF=ZCOE+ZCOD+ZDOF

=*OC+^ZBOD+|ZCOD+\ACOD

=：(ZAOC+ZBOD+ZCOD)+^ZCOD

22

二：NAOB+；NCOD

22

=\(〃+0)；

图③TOE平分N4OC.O尸平分NAOQ,

ZCOE=-2ZAOC,2ZDOF=-ZBOD.

・•・ZEOF=NCOE+NDOF-ACOD

=-2ZAOC+2-ZBOD2--ZCOD2--ZCOD

=；(NAOC+N8O。-/COD)一：NC。。

22

=；NAOB-；NCOD

22

=!(…).

故答案为：1(6/+P)；|(«-f).

15.己知O。、OE分别是NAO8、NAOC的角平分线.

（1）如图1,OC是N4OB外部的一条射线.

①若NAOC=32。，ZBOC=126°,则NQO£=63。:

②若N3OC=164。，求NOOE的度数：

(2)如图2,。。是NAO8内部的一条射线，N8OC=〃。，用〃的代数式表示/。。£?的度数.

【解题思路】(1)根据角平分线的定义，和角的和差关系，可找到NBOC和N。。七的度数，代入数据

即可;

(2)根据角平分线的定义，和角的和差关系，可找到N8OC和NQOE的度数，代入数据即可：

【解答过程】解：(1)①如图，

丁。。、OE分别是NAOB、。的平分线，

・•・ZAOD=:NAO8,ZAOE="OC,

22

/.ZDOE=ZAOD+ZAOE=-(N4OB+NAOC)=-ZBOC,

22

VZBOC=126°

・•・/DOE=63。,

故答案为：63.

②由①可知，ZDOE=^ZBOC,

VZZfiOC=164°,

.\ZDOE=82°.

(2)如图，

：OD.OE分别是NAO乐々OC的平分线，

；・

ZAOD=-2ZAOB,NAOE=2-ZAOC,

NDOE=ZAOD-ZAOE=-(NAOB-4AoC)=-ZBOC,

22

,:ZBOC=n09

・•・/DOE=-n0.

2

16.如图，己知NA03内部有三条射线，若0E平分NA。。，0C平分NBOD.

(1)若NA08=100。，求NEOC的度数；

(2)若乙404=70。,如果将题中“平分”的条件改为NEQA=-ZAOD,ZDOC=-ZDOB^ZDOE：ZDOC

43

=3：2,求NEOC的度数.

【解题思路】(1)根据角平分线的定义以及角的和差定义计算即可；

(2)根据N。。氏NQOC=3：2,设NOOE=3x,ZDOC=2x,根据条件分别求出/EOT),N。。。即

可解决问题.

【解答过程】解：(1):。七平分NA。。，0c平分N8。。，

AZEOD=^ZAOD,NOOC=；NOOB,

22

；

AZEOC=-2(NAOD+N2DOB)=-ZAO^=50°

(2)VZDOE：ZD0C=3：2,

，设NQ0E=3x,ZD0C=2x^

・

••ZEOA=4-ZAOD,

/.N4OO=4x,

•・•ZD0C=-ZDOB,

3

ND0B=3x,

,?408=100。，

・・・3x+4x=70。，

.*.jr=10°,

ZEOC=ZEOD+ZDOC=5x=50°.

17.已知：OB、OC、OM、ON是NAO。内的射线.

(1)如图1,若NAOO=156。,OM平分/AO8,ON平分N80DNBOO=96。,则NMON的度数为78。

(2)如图2,若NAOD=m。,NNOC=23。，0M平分N408,ON平分NBOD,求/COM的度数(用

加的式子表示)；

(3)如图3,若NAOQ=156。，ZBOC=22°,NAOB=30。，OM平分/AOC,ON平分N80D,当/BOC

在NA。。内绕着点。以2。/秒的速度逆时针旋转/秒时，NAOM和NOON中的一个角的度数恰好是另一

个角的度数的两倍，求，的值.

【解题思路】(1)先由角的和差关系求得NAO8,再由角平分线求得N8OM和N80M最后求此两角

的和便可;

(2)先由角平分线得到/MON=：4力。。，再由NMON-NCON便可得NCOM的度数；

(3)由N8OC在NA。。内绕点。以2。/秒的速度逆时针旋转，秒时，得乙40。=(52+2/)°,/BOD=

(126-2/)°,再由角平分线求得NAOM和/DON,再分两种情况：NAOM=2/OON和/OON=

2NAOM,分别列出t的方程进行解答便可.

【解答过程】解：(1)=乙4">=156。，N8OD=96。，

A408=156°-96°=60°,

TOM平分NA03,ON平分4BOD,

AZBOM=30°,NBON=48。,

・•・NM0N=NB0M+NB0N=18。；

(2)TOM平分NAOB,ON平分/BOD,

JNBOM=ZBON=：/BOD,

22

•；/MON=/BOM+/BON=：(/AOB+/BOD)=；NA00=；m。，

222

：,Z.COM=乙MON—乙CON=-m°-23°；

2

(3),:NBOC在NAOD内绕点O以2。/秒的速度逆时针旋转t秒时,

AZAOC=(52+2r)°,/BOD=(126-2r)°,

•；OM平分NAOC,ON平分乙BOD,

・・・NAOM=(26")°,ZDON=<63-t)°,

当NA0W=2NQ0N时，26+/=2(63-7),则仁沙；

3

当NOON=2NAOM时，63-1=2(26+/)，则1=!.

3

故当Q片或日时，NAOM和/DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，

«5J

18.已知长方形纸片A8CQ,点E在边48上，点F、G在边CD上，连接EF、EG.将N8EG对折，点8

落在直线EG上的点用处，得折痕EM；将NAE尸对折，点乂落在直线石尸上的点4处，得折痕

图1图2

(1)如图1，若点F与点G重合,求NMEN的度数;

(2)如图2,若点G在点〃的右侧，且Z〃£G=30。，求RMKN的度数；

(3)若/MEN=a,请直接用含a的式子表示/五日7的大小.

【解题思路】(1)根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可.

(2)根据NMEN=NNEF+NFEG+NMEG,求出NNEF+NMEG即可解决问题.

(3)分两种情形分别求解即可.

【解答过程】解：(1)，：EN平分ZAEF,EM平分NBEF

:./NEF=L/AEF,NMEF—NBEF

22

/./MEN=ZNEF+ZMEF=-ZAEF+-ZBEF=-(NAEF+NBEF)=-ZAEB

2222

•・•N4EB=180。

/.ZME/V=ixl80°=90°

(2);EN平分N4E/，EM平分NBEG

工

ZNEF=-2ZAEF,2/MEG=-ZBEG

AZNEF+ZMEG=-2ZAEF+-2ZBEG=-2(2NAEF+NBEG)=-(ZAEB-NFEG)

VZAEB=\S00,ZFEG=30°

，/NEF+NMEG=3(180。-30。)=75°

・•・ZMEN=NNEF+NFEG+/MEG=750+30°=105°

(3)若点G在点尸的右侧，ZFEG=2a-180°,

若点G在点F的左侧侧，NPEG=180。-2a.

19.将一副三角尺O4B与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O,NAO8=60。，ACOD

=45°,OM平分NA。。，ON平分4C0B.

(1)当点。在OB边上时(如图1),求NMON的度数；

(2)当点。不在。/?边上时(如图2或3),其中/80。=4,求NMON的度数.

【解题思路】(1)根据NAO8=60。，OM平分/A08和/COD=45。，ON平分乙COB,分别求出/MO8

和N80N的度数，再根据NM0N=NM08+NB0M即可得出答案；

(2)先设N4OM=NOOM=x,/CON=4B0N=y,则/8。。=60-2心根据NAOB=6Q°,ZCOD=

45。，列出算式，求出x-y的度数，最后根据NMON与各角之间的关系，即可求出答案；先设/AOM=

x=NDOM,则/BOM=60-.x,根据NBOO=/OOM-/BOM,得出N8O。的度数，再根据NCO8=

ZBOD+ZDOC,求出NCON=NBON,最后根据NMON=N/3OM+N/TON,即可得出答案.

【解答过程】解：(1)VZAOB=600.平分N4OA.

：.ZMOB=30°,

VZCOZ)=45°,ON平分4COB,

・・・NBON=22.5°,

・•・/MON=ZMOB+ZBON=30°+22.5°=52.5°.

故答案为：52.5°.

(2)①如图2,设N4OM=NQOM=x,NCON=NBON=y,则6()-2r,

•・•NCOQ=45°,

r.60-2r+2>-=45°,x-y=7.5S

AZMON=x+(60-Zv)+y=60-(x-j)=52.5°.

②如图3,设NAOM=x=/QOM,则/8OM=60・x,

,?ZBOD=ZDOM-ZBOM,

AZBOD=x-(60-x)=2160,

•・•ZCOB=ZBOD+ZDOC,

/.ZCOB=(2v-60)+45=2x75,

:.NCON=ZBON=；(2x-15)=x-7.5,

2

/.4MON=-x+x-7.5=52.51

20.已知将一副三角板(直角三角板O"和直角三角板OCO,/AOB=90。，NA8O=45。，ZCDO=90°,

NCOO=60。)

(1)如图1摆放，点。、A、C在一直线上，则N30。的度数是多少？

(2)如图2,将直角三角板OCO绕点。逆时针方向转动，若要04恰好平分NCOQ,则NAOC的度数

是多少？

(3)如图3,当三角板OCO摆放在乙4。8内部时，作射线0M平分NAOC,射线ON平分N8。。，如

果三角板OC。在NAOB内绕点。任意转动，NMON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变

【解题思路】利用三角板角的特征和角平分线的定义解答,

(1)根据余角的定义即可得到结论；

(2)由角平分线的定义得到/8。。=：/。。。=4'60。=30。.根据余角的定义即可得到结论；

(3)根据角平分线的定义得到；(NBOD+NAOC)=1x30°=15°,然后根据角的和差即可得到结果.

【解答过程】解:(1)N8OO=90。-60。=30。；

⑵/8。。=＞。。。="60。=3。。,

/.ZAOC=ZAOB-ZB(9C=90°-30°=60°；

(3)N8OO+NAOC=90。・ZCOD=90°-60°=30°,

-(N4OO+NAOC)=-x30°=15°,

22

ZMON=-(ZBOD+ZAOC)+NCOQ=150+60°=75。

2

即NMON的度数不会发生变化，总是75。.

【题型3双角平分线(交叉型)】

21.如图，。为直线A8上的一点，且NCOO为直角，0E平分NBOD,OF平分乙AOE,若/BOC=54。,

求NCOE和NQO尸的度数.

【解题思路】宜接利用角的和差关系得/8。。=36。，再利用角平分线的定义得出NCOE以及N。。尸的

度数.

【解答过程】解：・・・/COO=90。，ZB(?C=54°,

.•・NBOD=90。-54。=36。,

平分NBOO,

；.NDOE=NBOE=18。,

・・・NCO£：=NBOC+N3OE=540+18°=72。，ZAOE=1800-ZBOE=180°-18°=162°.

*/O/平分NAOE,

.\ZEOF=-ZAOE=81°,

2

：.ZDOF=ZEOF-ZDOE=U°-18°=63°,

综上，NCOE的度数为72。，NOO厂的度数为63。.

22.如图，OC'在N'AOA外部，OM、ON分别是N'AOC、NAOC的平分线.

(1)若NA08=IO()。，N8OC=6()。，求NMON的度数.

(2)如果NA08=a,N3OC=p,其它条件不变，请直接写出/MON的值(用含a,0式子表示).

A/

AB

【解题思路】(1)由已知条件求/AOC.的度数，再利用角平分线的定义可求解NHOM,N8CW的度数，

结合NMON=N80M+NB0N可求解；

(2)由己知条件求N40C的度数，再利用角平分线的定义可求解N8OM,NBON的度数,结合NMON

=N4OM+N3ON可求解；

【解答过程】解：(1)VZAOB=100°,N8OC=60。，

・•・ZAOC=ZAOB+ZBOC=100°+60°=160°,

•・・OM平分NAOC,

・•・NMOC=NMOA=；NAOC=80。，

2

・•・ZBOM=NAOR-/AOM=100。-80°=20°,

•；ON平分NBOC,

:.NBON=NCON=3。。,

/.NMQN=ZHOM+ZBON=200+30°=50°；

(2)VZAOl3=a,N8OC=0,

・•・ZAOC=NAOB+NBOC=a+。,

•・・OM平分NAOC,

AZMOC=ZMOA=^ZAOC=1(a+p),

・・・NBOM=NAOB-/4OM=a-：(a+p)=**，

•；ON平分NBOC,

・・・/8ON=NCON=匏，

/.4M0N=NBOM+NBON=1一加+割=1a,

故NMON=：a.

23.如图，0M是/AO。的平分线，ON是N8OC的平分线.

（1）如图1,当NAO3=90。，NBOC=60。时，求NMON的度数.

（2）如图2,当NAO8=70。，N8OC=60。时，ZMON=35°.（直接写出结果）

（3）如图3,当NAO8=a,/8OC=p时，猜想：NMON的度数是多少？请说明理由.

图1图2图3

【解题思路】（1）根据角的和差关系可得NAOC的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案;

（2）根据角的和差关系可得NAOC的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案;

（3）根据角的和差关系可得NAOC的度数，由角平分线定义及角的和差关系可得答案.

【解答过程】解：（1）・・・乙4。8=90。，N8OC=60。，

・•・ZAOC=NAOB+N8OC=900+60°=150°.

TOM是N4。。的平分线，ON是N8OC的平分线,

工：；

NMOC=2N4OC=75°2,NNOC=/BOC=30。,

NMON=NMOC-NNOC=W-30°=45°；

(2)VZAM=70°,N8OC=60。，

・•・ZAOC=ZAOB+ZBOC=700+60°=130°.

是NAOC的平分线，ON是N8OC的平分线,

；・/MOC=-ZAOC=65°,NNOC=-ZBOC=30°,

22

・•・4MoN=ZMOC-NNOC=65。-30°=35°；

故答案为:35；

(3)1a.理由如下：

如图3,・・・/AOB=a,N80C=p,

ZAOC=ZAOB+ZBOC=a-p,

TOM是NAOC的平分线，ON是N8O。的平分线,

，

AZMOC=-2ZAOC=-2(a+p)

NNOC=，BOC=加

:.NMON=NMOC-/NOC=1(a+p)-1p=1a.

24.如图，ZAOC=5ZBOC,0。平分NAO8,OE平分NAO。，且NCOE=70。.

(1)求乙408的度数；

(2)若NBOD+NBOF=900,求N80尸的度数.

【解题思路】(1)由平分线可得44。。=/60。=1乙4。从ZDOE=-ZAOD,从而得NQO£=

224

结合NCOO=：NAO8・280C,/COE=70。,从而可求得N3O。的度数，即可求NAO8的度数；

(2)利用(1)的结果求得N8OO的度数，从而可求NB。产的度数.

【解答过程】解：(1)VZAOC=5ZBOC,

・•・ZA0B=ZAOC+ZBOC=6ZBOC,

•・・。。平分/人08,O石平分/AOO,

ZAOD=NBOD=L/AOB,NDOE=-Z.AOD,

22

；・ZDOE=-ZAOB,

4

*/ZCOD=/BOD-ZBOC=^ZAOB-NBOC,ZCOE=7G°,

・•・ZCOD+ZDOE=ZCOE=70°,

-ZAOB-NBOC+L/AOB=70。,

24

3ZBOC-N8OC+：NBOC=70。，

2

解得：ZBOC=20%

NAO4=120。；

(2)由(1)得NA05=12O。,

:。。平分NAO仪

/.ZBOD=60°,

■:/BOD\/BOF=900,

，N3O"=30°.

25.如图，已知/A08是直角，/80。在NA08的外部，且OF平分N80C,OE平分NAOC.

(1)当N8OC=60。时，求NEO/的度数；

(2)当N8OE=20。，求N8OC的度数.

【解题思路】(1)利用角平分线的定义和角的和差的意义即可解答；

(2)由NBOE=20。，可得NAOE=70。，由角平分线的意义可得/EOC=NAOE=70。，则N8OC=NEOC

-ABOE.

【解答过程】解：(1)NAO5是直角，/8。。=60。，

JZAOC=NAOB+N8OC=150。.

,・，OE平分NAOC,

，NEOC=；NAOC=75。，

2

：OF平分NBOC,NB()C=60°,

ZFOC=三N80C=30°.

2

・•・ZEOF=ZEOC-ZFOC=45°：

(2)VZBOE=20°,/4OB是直角，

・•・ZAOE=ZAOB-/BOE=70°,

YOE平分NAOC,

・•・NAOE=NEOC=70。,

/BOC=NEOC-NB()E=70°-20°=50°.

26.已知。为直线A3上一点，过点。向直线A5上方引三条射线。C、OD、OE.

(1)如图1,若OC平分N40Q,RZBOE=3ZDOE,NCOE=7()0,求N4O石的度数.

(2)如图2,若/BOD：ZCOD=3：2,过点。引射线。尸平分NCOQ,0£是N8O。的平分线，且/。0£

=12°,求NEO广的度数.

DD

cE

OB

OB

01图2

【解题思路】（1）由NBOE=3N/）OE,设NOOE=a,则N8OE=3a,再由NCOE=70。，及0C平分

NA。。可分别表达出NCOO及NA。。的度数，再利用平角可得出结论;

（2）由N30。：ZCOD=3：2,设/4。。=36则/。0。=2%再结合角平分线的性质瓦用p表达出

NOOE的度数，求出P的值，可求出NEOO的度数.

【解答过程】解：（1）如图1，ZDOE=a,则N8OE=3a,

•・•ZC(7Z?=70°,

・•・ZCOD=/COE-ZDOE=70°-a

平分NAO。,

・•・NAOD=2NCOD=140°-2a,

•；乙40力+/。。£+/80七=180°,

A14O0-2a+a+3a=180°,

Aa=20°,

・•・N8O£=3a=60°.

（2）如图2,设N8OO=3P，则/。。。=2酊

・・・NBOC=5p,

・・・O尸平分NCOZ),

/.4C0F=D0F=^ZCOD=p.

•・・OE是NBOC的平分线,

・•・ZCOE=；NBOC=1

・•・NDOE=ZCOE-ZCOD=*,

ZEOF=ZCOE-ZCOF=|p,

VZDOE=12°,

・审=12。,即p=24。，

AZEOF=|p=36°.

27.已知：如图①所示，0C是NA08内部一条射线，且0E平分NAOC,0/平分N8OC.

（1）若NAOC=80。，NBOC=50。，则NE。产的度数是65。.

（2）若/AOC=a,N8OC=0,求NE。产的度数，并根据计算结果直接写出NEO厂与N4OB之间的数

量关系.（写出计算过程）

（3）如图②所示，射线OC在N408的外部，且。E平分NAOC,平分N8OC.试着拱究NEO产与

ZAOB之间的数量关系.（写出详细推理过程）

【解题思路】（1）利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可；

（2）利用（1）中的方法解答即可；

（3）同（1）中的方法利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可.

【解答过程】解:（1））TOE平分NAOC,ZAOC=80°,

・•・ZEOC=-ZAOC=40°.

2

,：OF平分4B0C,ZAOC=50°,

r.zroc=-ZBOC=20°.

2

・•・NEOF=ZEOC+ZFOC=65°.

故答案为:65°.

（2）•••。石平分N4OC,NAOC=a,

：.Z-COE=-a.

2

尸平分N30C,ZAOC=p.

：.Z-COF=-p.

2尸

:.乙EOF=乙COE+乙COF=-a+-p.

22b

'：ZEOF=1(a+p)=1(ZAOC+ZBOC),ZAOC+ZBOC=ZAOB,

NEO〃与NA08之间的关系为：乙EOF=3乙AOB(或NAO8=2NEO/O.

(3)ZEOF=\^AOB.理由：

•.•。上平分乙4",O"平分NAOC

AzCOE=-2^AOC,2Z.COF=-Z.BOC

:.乙EOF=乙COE-Z,COF=-^AOC--Z.BOC=-Z.AOB.

222

28.如图，已知。为直线A£＞上一点，08是NAOC内部的一条射线且满足NAO8与N40C互补，0M,

ON分别为/AOC,NA08的平分线.

(1)NCOD与ZAO4相等吗？请说明理由；

(2)/4。8=30。，试求NM0N的度数；

(3)若/M0N=a,请直接写出NAOC的度数.(用含a的式子表示)

【解题思路】（1）根据同角的补角相等，可得结论：

（2）利用互补关系，求出N40C的度数，再利用角平分线的性质求出NA0M和NN03的度数，通过角

的和差求出/M0M

（3）设NAOB是x。，根据乙40M-NAON=NMON列方程求解得结论.

【解答过程】解