专题121 证明【十大题型】（举一反三）（苏科版）（解析版）

专题12.1证明【十大题型】

【苏科版】

”幺国应自

【逑型।命题的概念】..........................................................................1

【题型2判断命题的真假】......................................................................3

【题型3互逆命题】............................................................................5

【题型4三角形内角和的运用】.................................................................6

【题型5三角形外角的运用】...................................................................10

【题型6直角三角形性质的运用】..............................................................14

【题型7平行线性质的运用】...................................................................18

【题型8平行线判定的运用】..................................................................22

【题型9平行公理的运用】.....................................................................29

【题型10推理与论证】.........................................................................33

”片声*三

【题型1命题的概念】

【例1】（2022秋・湖南娄底•八年级统考期中）下列语句是命题的是（）

（1）两点之间，线段最短；

（2）如果/>o,那么。0；

（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；

（4）过直线外一点作已知宜线的垂线.

A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（2）（4）

【答案】C

【分析】命题是表示带有判段意义的陈述语句，利用命题的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；（2）如果M>0,那么x>0,它是命题：（3）如果

两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；（4）过直线外一点作已知直线的垂线，过直线外一

点作已知直线的垂线，是描述性语言，没有做出判断，不是命题.故选C.

【点睛】本题主要考查了命题的定义，解决本题的关键是要熟练掌握命题的定义.

【变式1-1］（2022秋•浙江杭州•八年级期末）下列句子中，属于命题的是（）

A.直线月8和CD垂直吗？B.过线段48的中点C作月8的垂线

C.同旁内角不互补，两直线不平行D.已知。2=1,求Q的值

【答案】C

【分析】对一件事情作出判断的语句叫做命题，根据定义判断即可.

【详解】解：A.是问句，不是命题，故该选项不符合题意，

B.是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，

C.对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，

D.没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，，

故选：C.

【点睛】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键.对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，

假命题也是命题.

【变式1-2］（2022春•宁夏固原・七年级校考阶段练习）下列语句：①钝角大于90。；②两点之间，线段最

短；③明天可能下雨；④作⑤同旁内角不互补，两直线不平行.其中不是命题的是.

【答案】④

【分析】根据命题的定义：对一件事情作出判断，是陈述句，进行判断即可.

【详解】解：①钝角大于90。、②两点之间，线段最短、⑤同旁内角不互补，两直线不平行，都对事情作

出了判断，因此都属丁命题；

③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，因此不是命题：

④作AD03c属于作图语言，并未进行判断，因此不是命题，

故选④.

【点睛】本题考查命题的定义：是否对一件事情进行了判断，而且是陈述句.

【变式1-3］（2022春•七年级课时练习）判断下列语句是否是命题.如果是，请写出它的题设和结论.

⑴内错角相等；

⑵对顶角相等；

⑶画一个60。的角.

【答案】（1）是命题.题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等

⑵是命题.题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等

⑶不是命题

【分析】（1）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可;

（2）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；

（3）根据命题的定义判断即可.

【详解】（1）解：是命题.题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等；

（2）是命题.题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等；

（3）不是命题.

【点睛】本题考查了命题，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部分，

结论为由条件得到的结论.

【题型2判断命题的真假】

【例2】（2022秋•广西贵港•八年级统考期中）下列命题中：其中是假命题的个数共有（）

①如果a+b=0,那么a=b=0；②如果|a|=3,那么a=3

③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

④如果乙1=乙2,那么乙1和乙2是对顶角；

⑤三角形的内角和等于180。；⑥两个锐角的和是钝角.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】利用实数的性质、三角形的外角的性质、对顶角的定义、三角形的内角和定理及锐角和钝角的定

义等知识分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：①如果a+b=0,那么a、b互为相反数，故原命题错误，为假命题，符合题意

②如果|a|=3,那么a=±3,故原命题错误，为假命题，符合题意；

③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，不符合题意；

④如果乙1=42,那么乙1和乙2不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意；

⑤三角形的内角和等于180。，正确，是真命题，不符合题意；

⑥两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，符合题意.

假命题有4个，

故选：C.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质.

【变式2-1］（2022秋•黑龙江哈尔滨•七年级统考期末）下列命题中，是真命题的为（）

A.相等的角是对顶角B.两直线平行，同旁内角相等

C.同位角相等D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】D

【分析】根据对顶角的定义和性质、平行线的性质逐项分析即可获得答案.

【详解】A.对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；

B.两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；

C.两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了命题、对顶角、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

【变式2-2]（2022春・河北保定•七年级统考阶段练习）将命题“等角的补角相等〃改写成“如果......那么......〃

的形式，可写成,该命题是（填“真命题〃或“假命题〃）.

【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等真命题

【分析】命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由己知事项推事的事项.命题常常可以

写为“如果…那么..."的形式，如果后面接题设，那么后面接结论.题设成立，结论也成立的叫真命题；而题

设成立，不保证结论成立的为假命题.

【详解】解：把“等角的补角相等"改写成"如果…那么...”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个

角相等；这个命题正确，是真命题，

故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题.

【点睛】本题考查了命题与定理，命题的"真〃"假"是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一

个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

【变式2・3】（2022春•山西•七年级统考阶段练习）判断下列命题的真假，如果是假命题，请卷一个反例，

真命题不需要举例.

（1）钝角的补角是锐角；

（2）一个角的余角小于这个角；

（3）如果同=仍|,那么Q=b.

【答案】（1）真命题；（2）假令题，举例见解析；（3）假命题，举例见解析

【分析】（1）钝角的补角是锐角，该命题是真命题；

（2）一个角的余角不一定小于这个角，该命题是假命题，举出反例即可；

（3）如果|a|=|b|,那么。与〃相等或互为相反数，所以该命题是假命题，举出反例即可.

【详解】（1）钝角的补角是锐角，该命题是真命题.

（2）一个角的余角小于这个角，该命题是假命题.

反例：45。的余角是45。，与本身相等.

（3）如果|a|二|b|,那么a=b,该命题是假命题.

反例：|-2|=|2|,但是-2工2.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断、补角、余角以及绝对值的概念，熟记相关概念是解题关键.

【题型3互逆命题】

【例3】（2022秋•四川乐山•八年级统考期末）命题"实数或b,若a=b,则d=炉〃的逆命题是

,请你举出一个反例,说明逆命题是假命

题.

【答案】若/=〃，则。=6当a=2,b=-2,则/=〃，而。工方（答案不唯一）

【分析】根据真假命题的定义进行判断，再举出反例即可.

【详解】解：命题“实数小b,若a=6,则02=庐”的逆命题是：若/=〃，贝ija=〃，

逆命题是假命题，

举反例：如，当4=2,/?=-2,则片=/，而4#/%

故答案为：若々2=/,则〃=｝；当”=2,。=-2,则/=〃，而（答案不唯一）

【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题

叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉相关的性质定理.

【变式3-1］（2022春・全国•八年级专题练习）命题“若一3a>-3人则aVb〃的逆命题是.

【答案】若a<h,则-3a>-3b

【分析】根据逆命题睥定义求解即可.

【详解】解：若一3a>-3匕，则aVb的逆命题是若则・3436,

故答案为：若则-3a>-3/?.

【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义”一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题

的题设，这样的两个命题互为逆畲题”是解题的关键.

【变式3・2］（2022春•江苏•七年级专题练习）下列各命题都成立，写出它们的逆命题,这些逆命题成立吗?

⑴同旁内角互补，两直线平行.

⑵如果两个角是直角，那么这两个角相等.

【答案】（1）两直线平行，同旁内向互补；成立

（2）如果两个角相等、那么这两个角是直角；不成立

【分析】（1）将题设，结论互换，写出逆命题，再进行判断即可；

（2）将题设，结论互换，写出逆命题，再进行判断即可；

【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平夕亍，同旁内角互补，根据平行线的性质，可

以得出逆命题成立；

（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等的逆命题是如果两个角相等、那么这两个角是直角，根据相等

的角不一定是直角，可以判断逆令题不成立.

【点睛】本题考查逆命题，判断命题的真假.熟练掌握逆命题的改写方法是解题的关键.

【变式3-3]（2022春•江苏•七年级专题练习）己知命题“如果Q=b,那么|a|=|b|."

⑴写出此命题的条件和结论；

⑵写出此命题的逆命题；

⑶判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明.

【答案】（1）条件为：a=b；结论为：|a|=|b|

⑵如果|a|=|b|,那么Q=b

⑶假命题，反例不唯一

【分析】（1）"如果〃后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论；

（2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；

（3）举出反例即可.

【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b,

结论为:|a|=\b\；

（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|,那么Q=b；

（3）此命题的逆命题是假命题，

当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，

如a=2,b——2时，|2|=2],而2丰—2.

【点睛】本题考杳的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题

叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题.

【题型4三角形内角和的运用】

【例4】（2022秋・山西运城•八年级统考期末）在探究证明“三角形的内角和等于180。"时，飞翔班的同学作

了如下四种辅助线，其中不能证明"三角形的内角和等于180。〃的是（）

A.延长BC至。过C作CEII力8B.过/U乍。EII8C

C.过。作OEIIBCD.过P作FG||AB,DE||BC,HI||AC

【答案】C

［分析］根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解.

【详解A、•••CE||AB,•­•ABAC=^ACE,乙B=AECD,由^BCA十^ACE十乙ECD=100%得乙BCA+

ZR4C+Z5=180°,故A不符合题意；

B、•••DEWBC,乙DAB=LB,/.EAC=ZC,由Z-DAB+Z.BAC+Z-CAE=180°,得Z.B+Z.BAC+ZC=

180°,故B不符合题意；

C、；DEWBC,乙B=LADE,"=无法证得三角形的内角和等于180。，故C符合题意；

D、如图，；DE||BC,；.乙B=Z71OE=乙BOP,Z.C=Z.AMP,vLA+Z.AMP=Z./1OP,•••z/1+Z.C=ZJ1OP,

•:乙BOP+乙4。户=180°,・•.(BGP++ZT=180°:.+48+乙C=180°,故D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键.

【变式4-1］（2022秋♦河南平顶LI•八年级统考期末）在研究三角形内角和等于180。的证明方法时，小虎给

出了下列证法.

证明：在中，作C0J.A8（如图），

ADB

（3CDLAB（已知）

^ADC=乙BDC=90°（直角定义）

0Z/1+AACD=90°,LB+乙BCD=90。（直角三角形两锐角互余）

团乙1+Z.ACD++乙BCD=180°（等式的性质）

团乙1++乙ACB=180°.

请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一•种你认为较简单的证明三角形内角和定理的

方法.

【答案】不正确，理由见解析

【分析】根据不能用命题本身证明本身，可得判断小虎的做法不正确，再过点C作直线MN,使MNIL4B,证

明，B=4VCB,^A=^MCA,再结合平角的含义可得结论.

【详解】解：小虎的做法不正确，

过点。作直线MN,使MNIM8,

回4B=NNCB,LA=^MCA（两直线平行，内错角相等）

0ZMC/1+Z.NCB+Z-BCA=180°（平角定义）

团+41+Z.ACB=180°（等最代换）

【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理的证明，理解题意确定小虎的做法不正确是解本

题的关键.

【变式4-2］（2022春•山东潍坊•七年级统考期末）如图，直线狙b,直线AB与直线a,b分别相交于点A、

B,AC交直线b于点C.

(1)若AC3AB,01=54°49,,求(32的度数：

(2)请说明0ABC+团BCA+0CAB=18¥.

【答案】(1)35"；(2)见解析.

【分析】(1)依据直线的b,AC0AB,利用平行线的性质和余角得到团2：

(2)依据平行线的性质得到回4WABC,国3WBCA,再由由BAC+M+国3=180。即可说明.

【详解】解：(1)13直线al3b,

003=01=54°49\

又(ZAO3AB,

002=90°-03=35°11,；

(2)团a团b,

回团4=E1ABC,03=0BCA,

而(?BAC+04+S3=18O°,

00ABC+0BCA+[?)BAC=18O9.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理.

【变式4-3](2022秋•重庆合川•八年级统考期末)如图，△48。的角平分线80、CE相交于点F.

A

B

⑴若44=54。，Z.ABC=50°,求NCFO的度数；

(2)求证：248FC=+180°.

【答案】⑴63。

(2)见解析

【分析】(1)先利用三角形内角和定理得到44cB=76。，再结合角平分线的定义可求解乙8FC的度数，进

而可求解ZCFO的度数；

(2)利用角平分线的定义可求解乙BFC=180。一乙CBF-乙BCF,再结合角平分线的定义可得乙48。+

Z.ACB=180°-Z/1,进而可证明结论.

【详解】(1)解：•••乙4=54°,乙48c=50°/A4-4ABC+Z.ACB=180°,

•••iACB=180°-50°-54°=76°,

•△ABC的角平分线BD、CE相交丁点F,

•••“BF乙ABC=25。/6=:乙4cB=38°,

22

:.乙BFC=1800-Z.CBF-乙BCF=180°-25°-38°=117°,

.-.ZCFD=180°-117°=63°

(2)证明：•・・△48C的角平分线BD、CE相交于点F,^BCF=^ACB,

/.2RFC=1800-ACBF-Z.BCF

：.Z.BFC=180°-Z-CBF-Z,BCF=180°-^ABC+|z/4C^)=180°-1(z/IFC+Z71CF)

•••+Z.ABC+Z.ACB=180°

4ABe+Z.ACB=180°-4A

Z.BFC=180°-1(180°-4A)=90°+|LA

乙乙

即2乙BFC=180°+Z/1

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180。本题的关键是利用三角形

内角和把48FC与4力联系起来.

【题型5三角形外角的运用】

【例5】(2022秋•山东滨州•八年级统考期末)如图所示，在△ABC中,CD、8E分别是AB、AC边上的高，

并且CO、BE交于点P,若N4=50。，则NBPC等于()

A

A.110°B.120°C.130°D.160°

【答案】C

【分析】首先根据BE147,N4=50。可得/48£1的度数，然后根据CD1/1B可得NCDB的度数，最后根据

三角形外角的性质可得结论.

【详解】解：BE1AC,=50°,

Z.ABE=90°-Z.A=90°-50°=40°

vCD1AB,

乙CDB=90°,

•••/BPC=Z-PDB+乙DBP=90°+40°=130°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理」掌握三角形内角和等于180。、三角形外角的性质是解题的关键.

【变式5-1］（2022秋・海南海口•七年级校联考期末）将一块等腰直角三角板和一块含30。角的直角三角板

按图所示方式叠放，则乙。。。等于（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】根据a=30°,得至此8/1C=60°,进而得到=30°,利用三角形的外角得到乙0。。=4AOB+

乙DA。即可得解.

【详解】解：由图可知：4c=30。，Z,D=45°,LBAD=/.ABC=90°,

则：Z-BAC=60°,

团4DAO=乙BAD-^BAC=30°,

BzDOC=Z.ADB+乙DAO=75°；

故选C.

【点睛】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质.熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的

两个内角和，是解题的关键.

【变式5-2](2022秋•山东潍坊•八年级统考期末)如图，在△48C中，乙B=々C,点D在BC边上(点8,

。除外)，点E在AC边上，且4/0£=乙4£7).

⑴若4B=ZT=45。，LBAD=60°,求团CQE的度数:

(2)求证：乙BAD二2乙CDE.

【答案】(1)30°

(2)见解析

【分析】(1)根据三角形外角的性质求出N4DC=N8A0+NB=105。，根据三角形内角和求出2B4C=

180°-45°-45°=90°,得出N/ME=匕BAC-4BAD=30°,求出N/WE=/.AED=|x(180°-30°)=

75%即可求出结果;

(2)设484)=%,根据三角形外角求出=4BAD+乙B=+》,根据角度之间的关系求出=

jx,即可证明结论.

【详解】(1)解:0/ADC是△4BD的外角，

^ADC=乙BAD+ZF=105°,

0ZF=ZC=45°,

团NB/1C=180°-45°-45°=90°,

^DAE=Z.BAC-乙BAD=30°,

(UZ/WF=Z.AED=gx(180°-30°)=75。，

回乙CDE=105°-75°=30°；

(2)证明：设NBA。=",

0Z./1DC=/.BAD+乙B=乙B+x,

回N.8=Z.C»

^Z.BAC=180°-2zC,

团/DAE=LBAC-£.BAD=180°-24c-x,

^ADE=Z-AED=3(180°-Z.DAE)=zC+1x,

吃CDE=^ADC-^ADE=用+x-"-"=

^Z.BAD=2/.CDE.

【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形的一

个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【变式5・3】（2022秋•安徽芜湖•八年级统考期末）在△ABC中，乙B=4,点、D在BC边上（点8、。除外）

点E在AC边上，且44=

（1）如图1,若乙B=“=45°.

①当41=60。时，求乙2的度数；

②试推导N1与乙2的数量关系.

⑵深入探究：如图2,若48=/C,但NCH45。，其他条件不变，试探究41与42的数量关系，要求有简单

的推理过程.

【答案】（1）①3CT;②乙1=242,见解析

（2）21=2匕2,见解析

【分析】（1）①根据三角形的外角的性质求出乙40c,结合图形计算即可;

②设，，根据三角形的外角的性质求结合图形计算即可；

（2）设484。=%根据三角形的外角的性质求出乙4）C,结合图形计算即可.

【详解】（1）①回乙4DC是△718。的夕卜角，

^ADC=乙1+=105°,Z-DAE=Z.BAC-41=30°,

^ADE=44=75°,

团42=105°-75°=30。；

②EUADC是△4BD的外角，

^ADC=zl+45°,

（2ND力E=90°-zl,

^ADE=Z.AED（180。-90。+41）=45°+1zl,z2=z4-zC=45°4--45°,即N1=2z2；

（2）设4l=x,^Z.ADC=Z.1+LB=Z.B+x,LDAE=Z.BAC-Z.1=180°-2zf-x,

0z4=Z.AED=zC+0Z.2=Z.B+x—（乙C+；%）=^x,

0Z1=2z2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键.

【题型6直角三角形性质的运用】

［例6］（2022秋・山东济南•八年级统考期末）两个直角三角板圳图摆放，其中4ABC=乙BCD=90°,乙4=

30°,乙D=45。,AC与BD交于点P,则，BPC的大小为（）

A

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】D

【分析】先由直角三角形的性质求出4C8D=45。，从而得出4180=45°,然后由三角形外角性质得出结果.

（详解］解：团乙BCD=90°,3=45°,

氏4BD=45°,

圆乙1BC=90°,

0Z/WD=/.ABC-Z-CBD=45°,

(3Z/1=30°,

回乙BPC=匕4+Z.ABD=75°.

故选：D.

【点睛】本题考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.

【变式6-1］（2022秋•河南新乡•八年级统考期末）如图，Rta/BC中，44cB=90。，LB=40°,将其折叠

使点A落在BC边上的A处，折痕为CO,则41758=度.

【答案】10

【分析】先根据三角形内角和定理求出24=50。，再由折叠的性质得到NCAD=50°,即可利用三角形外角

的性质求出乙4'DB=Z.CA'D一乙B=10°.

【详解】解：团乙4c8=90。，Z-B=40°,

回乙1=50°,

由折卷的性质可知，ACA'D=AA=50%

^LA'DB=LCA!D-乙B=10°,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理.，三角形外角的性质，折叠的性质，熟知三角形一个外角的度

数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键.

【变式6-2］（2022秋•黑龙江牡丹江•八年级统考期末）如图，在A4BC中，40是△4BC的高，AE是△4BC的

角平分线.LB>ZC.

⑵若乙8=a,Z.C=p,探究匕。力E与a、0的数显关系？

【答案】(1)12

(2)zZME=-/?)

【分析】(1)首先计算出484c的度数，然后再根据角平分线定义可得Z8/1E的度数，再根据直角三角形两

锐角互余计算出N8A〃的度数，进而可得/〃月上.的度数；

(2)由(1)^Z.DAE=ABAE-Z.BAD,再把484E=4840=90°—NB代入整理可得答案.

【详解】(1)解：团在中，乙8=60。，Z,C=36°,

团4B4C=180°-(乙B+乙C)=180°-(60°+36°)=84°,

团4E是△48C的角平分线，

团/BAE=\z-BAC=：x84。=42%

22

团AD是△力8c的高，

^Z.ADB=90°,

^BAD=90°一乙B=90°-60°=30°,

0ZD/IE=Z.BAE-4BAD=42°-30°=12°.

故答案为:12.

(2)Z,DAE=^{a-p),

理由如下：

团在△ABC中，Z.B=a,Z.C=/?,

0ZMC=180°一乙B—LC=1800-a-p,

EL4E是A/IBC的角平分线，

13NB4E-^BAC=1(180°-a-/7)

团力。是△/18C的高，

团乙108=90°,

^BAD=90°一乙B=90°-a,

^Z.DAE=Z.BAE-乙BAD,

回ZJME=1(180°-a-/?)-(90c-a)=1(a-

【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的角平分线和高的定义，直角三角形两锐角互余.解题的关键是

学握三角形内角和为180。，理清角之间的关系.

【变式6-3](2022秋•河南驻马店•七年级校考期末)如图1,将两块直角三角板的直角顶点4叠放在一起.

(1)若4P/Q=45°,则4C48=；若乙CAB=130°,贝I」4P/1Q=；

⑵猜想乙C71B与NR4Q的大小有何关系，并说明理由；

⑶如图2,若是两个同样的直角三角尺45。锐角的顶点4重合在一起，猜想与乙C4Q的大小又有何关系,

并说明理由.

【答案】⑴135。，50°；

WLCAB=180°-2PAQ；见解析

(3)zPAB=90°-Z&4Q.见解析

【分析】（1）"4Q=45°,根据角的和差定义求出N84P=45°,则乙。48=乙BAP+N&4P；若=130°,

贝Ij/B4P=ACAB-ACAP,再进一步求出NP/IQ即可：

（2）乙GIB与ZP4Q的大小为乙CW=180。-4/MQ,利用等角的余角相等求出4C4Q=4b4P即可解答；

（3）4PAB与NC/1Q的大小关系为乙P48=90°-“AQ,利用乙PAC+Z.CAQ=45°,^BAC+Z.CAQ=45。求

\WLPAC=48AC口口可解答.

【洋解】（1）•••△PAQ=45°,/BAQ=90°,

Z.BAP=45°,

•••Z.CAP=90",

Z.CAB=Z.BAP+匕CAP=45°+90°=135°；

vZ.CAB=130°,

AZ.BAP=Z.CAB-LCAP=130°-90°=40°,

Z.PAQ=LBAQ-乙BAP=90°-40°=50°.

故答案为:135°,50°；

(2)/,CAB=1800-Z.PAQ,

利用如下：

v£CAQ+乙PAQ=90°,乙BAP+乙PAQ=90°,

•••/.CAQ=乙BAP,

/BAP=90°—4P4Q,

Z.CAB=Z-PAQ+2/B4P=Z-PAQ+2(90°-Z.PAQ)=180。-zP/lQ,

即，&48=180。一424Q；

(3)/-PAB=9O°-ZC/1Q,

理由如下：

•••/.PAC+Z.CAQ=45°,Z.BAC+LCAQ=45°,

:.4PAC=4BAC,Z.BAC=45°-Z.CAQ,

“AB=乙CAQ十2^.BAC=乙CAQ+2(45°一4C4Q)=90°-乙CAQ.

即，PAB=90。一乙CAQ.

【点睛】本题考查三角形综合题，考查了直角三角形的性质，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握角

的和差定义，属于中考常考题型.

【题型7平行线性质的运用】

【例7】(2022秋例川成都•八年级统考期末)已知48||CD,现将一个含30。角的直角三角尺EFG按如图方

式放置，其中顶点AG分别落在直线小从CD上，GE交48于点H,若乙EHB=50°,则乙肝G的度数为()

A.100°B.110°C.115°D.120°

【答案】B

【分析】由对顶角相等可得44〃G=N£WR=50。，再由平行线的性质可得NEGD=50。，最后根据平行线的

性质可得乙1FG的度数.

【详解】解：；GE交AB于点、H,

Z.AHG=乙EHB=50°,

•••48IICD,

Z.EGD=Z.AHG=50°,

•:乙FGE=60°,

:.LFGD=乙FGE+乙EGD=60O+50°=110°,

vABWCD,

•••^AFG=Z.FGD=110°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

【变式7-1］（2022秋•贵州贵阳•八年级统考期末）如I图，将一副三角板和一张对边平行的纸关按下列方式

摆放，含45。角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30。的三角板的一个顶点在含45。角的三角板的一边

【答案】C

【分析】根据平行线的性质，得到42=43+N1=45。，即可得解.

【详解】解：由题意,得：z2=45°,z3=30°,G||l2f

0Z2=Z3+Z.1=45°,

0Z1=45°-Z3=15°；

故选C.

【点睛】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质.熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关

键.

【变式7-2］（2022秋•四川乐山•七年级统考期末）如图，已知A8IIC。，4c平分财8。交AO于点E.

(1)证明：01=03：

⑵若4小8。于点。，(3CD4=34°,求团3的度数.

【答案】(1)见解析

(2)03=28°.

【分析】(1)由角平分线的定义得到团1=团2,由A〃||CO可得团2/3,根据等量代换可得团1=团3；

(2)由垂直的定义得出财03=9(/,可得团。。8=回。"4+鲂。4=124。，由平行线的性质得出(M8D=56。，根据角

平分线的定义即可得解.

【详解】(1)证明：骷。平分

001=02,

^ABWCD,

002=03,

001=03；

(2)解：

蝴。8=90°,

00CDA=34%

00CM=3CD/l+a4Dfi=34o+9Oo=124o,

^ABWCD,

0(?L4fiD+QCDfi=18O0,

酬8。=180°-124°=56°,

团BC平分0440,

001=02=^Z1ABD=-X56<>=28\

22

回回1=团3,

003=28°.

【点睛】此题上要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内借角相等〃及“两直线平行，同旁内角互补〃

是解题的关键.

【变式7-3]（2022秋•福建泉州•七年级统考期末）如图，已知4MIIBN,乙4=60。，点P是射线AM上一动

点、（与点A不重合），BC,80分别平分匕力8P和匕P8N,交射线AM于点C,D.

⑴求aBD的度数；

⑵在点P运动过程中，试判断乙4尸8与乙1DB之间的数量关系？并说明理由;

（3）当点尸运动至IJ使4/C8=448。时，求出4/18C的度数.

【答案】（1）60。

（2）LAPB=2/,ADB,理由见解析

（3）30°

【分析】（1）根据平行线的性质得出乙4+4IBN=180。，^ABN=120°,根据角平分线的定义得出NC8P=

!"BP,乙DBP=1乙NBP,进而即可求解；

（2）根据平行线的性质得出Z/1PE=乙PBN,Z.ADB=Z.DBN,又BD平分乙PBN,即可得出4P8N=2乙DBN；

（3）由平行线的性质得出=进而得出=角平分线的定义即可得出结论

【详解】（1）解：如图，•••AMIIBN,

•••LA+Z.ABN=180°,

•••NA=60°,

•••tABN=120°,

vBC.80分别平分和ZP8N,

A4cBp=--BP,Z.DBP=-乙NBP,

22

£CBD=-乙ABN=60%

2

（2）Z.APB=2Z.ADB,

理由如下：

•••AMWBN,

八乙APB=^PBN,乙ADB=LDBN,

又；BD平分乙PBN,

乙PBN=2/-DBN,

团4APB=2Z.ADB.

(3)•••AMWBN,

Z.ACB=乙CBN,

vZ.ACB=Z.ABD,

二乙CBN=乙ABD,^Z-ABC+乙CBD=乙CBD+乙DBN,

/.ABC=Z.DBN,

乙30°.

>•/.ABC=-4ABN=

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键.

【题型8平行线判定的运用】

【例8】（2022春・浙江杭州•七年级期末）下列图形中，能由01=回2得到力811co的是（）

【答案】D

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.

中由131=团2不能得到48IICD,

团不符合题意:

AB

回D中由131=02得到40||CD,

团不符合题意;

中由回1=团2不能得到AB||CD,

团不符合题意;

0中由团1=团2得至IJ/18||CD,

团符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【变式8-1］（2022秋•河南南阳•七年级统考期末）如图，已知条件：①乙1二42；②乙2=乙3；③/3=45；

④乙3+z4=180°；⑤45+z6=180°：⑥27=z2+z3.其中不能够判定直线allb的是.（只

填序号）

【答案】①③④⑤⑥

【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据

同旁内角互补，两直线平行，即可判断④：根据同角的补交相等可得44=乙6,再根据同位先相等，两直

线平行，即可判断⑤；过点B作BDIIb,则=从而得出=进而得出BDIIQ,最后根据

平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥.

【详解】解：①团乙1=42,

Mlb,

故①能够判定直线。怙，符合题意；

②乙2二乙3不能判定可⑸故②不符合题意；

③目z.3=Z.5,

团ag,

故③能够判定直线allb,符合题意；

④团43+乙4=180°,

团alh

故④能够判定直线allb,符合题意；

⑤RU5+46=180°,Z5+Z4=180°,

0Z4=46,

00G||Z),

故⑤能够判定直线。怙，符合题意;

⑥过点8作

团BDIh

0Z3=4ABD,

0Z7=z2+z3,z7=Z.ABD+4CBD,

@Z2=Z.CBD,

MD［a,

团a||b.

故⑥能够判定直线ag，符合题意；

综上：能够判定直线allb的有：①③④⑤⑥.

故答案为：①③④⑤⑥.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等,

两直线平行；向旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行.

【变式8-2］（2022春•安徽滁州•七年级校考期末）如图，8。平分财AC,点F在AB上，点G在A。上，

FC与相交于点〃，@3+04=180°,试说明皿=团2（请通过填空完善下列推理过程）

解：国33+04=180°（已知），0fflD=04（）.

雕］3+回/77Q=180°（等量代换）.

(3FG0BD()

回_=SA8。().

团平分(M8C,

团财.

001=02().

【答案】对顶角相等，附HD,同旁内角互补，两直线平行•，财3。，两直线平行，同位角相等，回2,角平

分线的定义，等量代换.

【分析】求出团3+回产”。=180。，根据平行线的判定得出R窕8。，根据平行线的性质得出回1=西3。，根据角

平分线的定义得出0/WO=l32即可.

【详解】解：003+04=180°（已知），0FA7D=04（对顶角相等），

酿3+团"7。=180°（等量代换），

0FG0SD（同旁内角互补，两直线平行），

国即=财8。（两直线平行，同位角相等），

胡。平分aABC,

能从4。=团2（角平分线的定义），

001=02（等量代换），

故答案为：对顶角相等，自叫〃），同旁内角互补，两直线平行，射8。，两直线平行，同位角相等，02,角

平分线的定义，等量代换.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推

理是解此题的关键.

【变式8-3］（2022秋•海南海口•七年级校考期末）点E在射线D4上，点尸、G为射线BC上两个动点，满

足乙DBF=CDEF,乙BDG=^BGD,OG平分心BOE.

p

⑴如图1,当点G在点F右侧时，

①试说明：BDWEF；

②试说明乙OGE=乙BDG-乙FEG；

⑵如图2,当点G在点〃左侧时，(1)中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；(不用说理)

(3)如图3,在(2)的条件下，尸为B。延长线上一点，QM平分乙8DG,交8C于点M,DN平分乙PDM,交

EF于点N,连接NG,若。G1NG,乙B—cDNG=cEDN,求，8的度数.

【答案】⑴①见解析；②见解析；

(2)同0GE=E180G+团FEG,理由见解析；

(3)60°

【分析】(1)①根据角平分线的定义即可得到财QG=0AQG,从而可得则4可得团

=REFG,即可得到回。从而证明8DIIEF；②过点G作G"||Q8交OA于点从根据平行线的性

质求解即可；

(2)过点G作GKIID8交A。于K,则KGIIE凡可得0BQG=[3OGK,^GEF=^KGE,即可得至胞。GE=(38Z)G

+MEG；

(3)设乙8DM=/MDG=%^LBDG=Z-EDG=Z.DGB=2aZ-PDE=180°-4a,^PDM=180°-a,

由角平分线的定义可得"DN=4MDN=；CPDM=90°—全然后分别求出乙EDN=,一90°,乙DNG=京，

乙B-乙DNG=4EON进行求解即可.

(1)

证明：①国OG平分回

WDG=^ADG,

又限BDGFBGD,

^ADWBC,

^DEF=BEFG,

^\DBF=^DEF,

^DBF=^EFG,

(3BDIIE尸;

②过点G作GHWDB交OA于点H,

由①得8DIIEF,

^GHWDBWEF,

团团5OG=13QGH,®FEG=®EGH,

WDGE=I2DGH-13EGH,

00DG£=aBDG-0F£G；

(2)

解：过点G作GKIIDB交A。于K,

同理可证BDIIEF,

团KG||EF,

团团BQG=®QGK,⑦GEF=⑦KGE,

回回OGE=回。GK+⑦KGE,

BWGE=WDG+0FEG；

(3)

解：设乙BDM=/-MDG=a,])^BDG=乙EDG=乙DGB=2a,Z-PDE=180°-乙BDE=180°-4a,

△PDM=180°-a,

团。N平分回PQM,

团乙户ON=乙MDN=二乙PDM=90°-

22

I34EON=乙PDN-Z-PDE=90°---(180°-4a)=-a-90°,Z.GDN=乙MDN-乙MOG=90°---a=

222

90°

团。施NG,

吃DGN=90。，

[2/DNG=90。-乙GDN=90。-(90°-1a)=1a,

0DEIIFF,

团4B=Z.PDE=180°-4a,

也乙B一乙DNG=Z.EDN,

37

0180°-4a--a=^a-90°,

22

回。=30°,

团4B=180°—4a=60°.

【点睛】本题士要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键

是能够熟知平行线的性质与判定条件.

【题型9平行公理的运用】

【例91（2022春・河南郑州•七年级统考期末）已知A8IIC0,LEAF=^EAB,LECF=g乙ECD,若乙E=66°,

则/尸为（）

AB

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得^EAB+^ECD=Z.AEC=同样的方

法可得=匕凡46+4"?。，再根据角的倍分可得乙凡45二：±ECO,由此即可得出答案.

【详解】如图，过点E作EGIIAB,则EGIIIICD,

AB

(21/.AEG=Z.EAB,Z.CEG=乙ECD,

...LEAB+乙ECD=LAEG+LCEG=Z.AEC=66°,

同理可得：乙F=iFAB+乙FCD,

vLEAF=+乙EAB,乙ECF=戛ECD,

33

^LFAB=-/-EAB,^FCD=\乙ECD,

33

乙F=Z-FAB+Z-FCD=^EAB+,ECD=+乙ECD)=1x66°=44°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

【变式9-1](2022秋•四川眉山•七年级统考期末)如图，AB||CD,若乙1=40。,Z2=50°,匕3=65。则

Z.4=.

【答案】55。/55度

【分析】过点£作EWIAB,过点M作MNIICD,然后利用平行线的性质进行计算，即可得到答案.

团AB||EF||MN||CD,

^LGEF=Z1=40°,乙HMN=42=50°,

0Z3=乙HMN+乙EMN=65°,

□zEM/V=65°-50°=15°,

（3ZEMN=乙MEF=15°,

0Z4=Z.GEF+乙MEF=40O+15°=55°；

故答案为:55°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.

【变式