专题05 函数图像信息题（解析版）

专题05函数图像信息题（解析版）

类型一函数图象共存问题

1.（2022秋•安徽期中）一次函数），=,戊-1（a#0）与二次函数），=a?-x（〃#（））在同一

平面直•角坐标系中的图象可能是（）

思路引领:可先由一次函数》，=〃.』•图象得到字母系数的正负，再与一次函数

的图象相比较看是否一致.

c1

，一次函数y=o¥-IfaHO）与二次函数y=or-x（〃W0）的交点为（1,a-1）,

0）,

A、由抛物线可知，。>0,由直线可知，f/<0,故本选项错误，不符合题意；

B、由抛物线可知，。>0,由直线可知，a>0,由一次函数y=or-1（〃#0）与二次函数

y=a^T-x（aWO）可失L两图象交于点（1,a-1）,则交点在y轴的右侧，故本选项错

误，不符合题意；

C、由抛物线可知，a<0,由直线可知，4<0,两图象的一个交点在x轴上，另一个交点

在第四选项，故本选项正确，符合题意：

D、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a>0,〃的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；

故选：C.

总结提升：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数），=近+6在

不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点

坐标等.

2.（2021•老河口市模拟）已知二次函数），=〃/+质+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c

的图象可能是（）

思路引领：先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知〃>0,由抛物线交y的负半轴,

可知cV（）,然后利用抹除法即可得出正确答案.

解：•・•二次函数的图象开口向上，

•・•抛物线与），轴相交于负半轴，

.,.c<0,

・•・直线y=bx+c经过一、三、四象限，

故选:B.

总结提升：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质，熟知以上知

识是解答此题的关键.

3.（2021秋•诸城市期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数）=：（咛0）与二次函数y

=『-kx-k的大致图象是（）

D.

思路引领：根据我的取值范围分当Q0时和当ZVO时两种情况进行讨论，根据反比例

函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可.

解：当4>0时，反比例函数,=：（原0）的图象经过第一、三象限，二次函数），=/-公

-%图象的对称轴.1=:在y轴右侧，并与打轴交于负半轴，则3选项不符合题意，。选

项符合题意；

当k<0时，反比例函数）=：（后0）的图象经过第二、四象限，二次函数y=x2+kx-k

图象的对称轴x=g在）轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、C选项都不符合题意：

故选：D.

点睛：本题考杳反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取

值进行分类讨论（当女>0时和当kVO时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找

图象中的关键点，结合函数解析式进行求解.

类型二函数图象与字母系数之间的关系

4.（2022秋•淄川区期中）对称轴为直线尸1的抛物线产ad+b/c（a,b,c为常数，且

〃工0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①〃〃②〃2>4〃「.③4〃+25+「>0.④

3a+c>0,⑤〃+/信机（曲?+〃）（〃?为任意实数），⑥当zV-1时，），随x的增大而增大.其

中结论正确的个数为（）

A.2B.4C.5D.6

思路引领：由抛物线的开口方向判断〃的符号，由抛物线与），轴的交点判断c的符号,

然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：①由图象可知：a>0,c<0,

2a

:・b=-2。VO,

:・abc>0,故①错误；

②•・•抛物线与x轴有两个交点，

・・.庐-44c>0,

.*./?2>4«C,故②正确；

③当x=2时，y=4a+2b+c<0,故③错误；

④当x=-1时，y=a-b+c=a-（-2a）+c>0,

3a+c>0,故④正确；

⑤当x=I时，y取到值最小，此时，y=a+b+c,

而当x=时，y=am2+bm+c,

所以a+b+c4+b”i+c,

故a+b^anr+bm,即a+b（arn+b）,故⑤错误，

⑥当xV-1时，y随犬的增大而减小，故⑥错误，

故选:A.

总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=^bx+c系数符号由

抛物线开LI方向、对称轴和抛物线与），轴的交点确定.

5.（2019秋•潜山市期末）二次函数），=&+〃x+c的图象如图所示，其对称轴为x=l,有下

列结论

①abcVO；②8Va+c；③4a+2HcV0；④。（ain+h）,

其中正确的结论有（）

思路引领：①根据抛物线的开口方向确定〃的符号，对称轴在y轴左侧确定〃的符号，

抛物线与），轴的交点位置确定c的符号即可；

②根据x=-1时y的取值范围即可判断；

③根据x=2时y的取售范围即可判断；

④根据顶点的坐标当x=l时，顶点的纵坐标最大，即当x=〃z时的纵坐标小于顶点的纵

坐标，即可判断.

解：①根据图象可知：

a<0,c>0,对称轴在y轴右侧，••方>0,

abc<0.

・••①正确：

②根据图象可知：当X=・l时，），vo,

即a-/>+（?<0,即b>a+c.

・••②错误；

③观察图象可知：当k2时，y>0,

即4a+2b+c>0.

・••③错误.

④•・•当x=l时，顶点的纵坐标最大，

:.a+h+ccin^+hm+c,

a+b^m（am+b）,

・••④正确.

所以①④，2个.

故选：C.

总结提升；本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是综合利用二次

函数的图象和性质.

6.（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图，二次函数y=

法+c（〃W0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=-1,

结合图象他得出下列结论：①时>0且c>0；②〃+/）+c=0；③关于x的一元二次方程

ajT+bx+c=0（a#0）的两根分别为-3和I；④若点（-4,yi）,（-2,”），（3,>3）

均在二次函数图象上，则⑤3n+cV0,其中正确的结论有.（填序号，

多选、少选、错选都不得分）

x=-\

思路引领：由抛物线的对称轴的位置以及与），轴的交点可判断①；由抛物线过点（1,0）,

即可判断②；由抛物线的时称性可判断③；根据各点马抛物线对称轴的距离大小可判断

④；对称轴可得力=2〃，由抛物线过点（1,0）可判断⑤.

解：•・•抛物线对称轴在歹轴的左侧，

ab>0,

•・•抛物线与y轴交点在x轴上方，

.*.c>0,①正确；

•・•抛物线经过（1,0）,

.•・a+Z?+c=0,②正确.

•・•抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=-l,

・•・另一个交点为（-3,0）,

・•・关于x的一元二次方程/+以+。=0（g0）的两根分别为・3和1,③正确；

*/-I-（-2）<-I-（-4）<3-（-1）,抛物线开口向下，

**•yi>y\>>3，④错误.

•・•抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,

.\a+b+c=（）,

..b

.-20―a=—1,

；・b=2a,

.••3a+c=0,⑤错误.

故答案为：①②

总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌

握二次函数与方程及不等式的关系.

7.（2021秋•姜堰区期末）已知关于x的一元二次方程/-加依=。的两个根分别是1和-3,

若二次函数丁=0^+云+。+〃？（m>0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4,0）,

则另一个交点坐标是.

思路引领：根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线）,=0?+"+。（。六0）与x轴的

两个交点的横坐标为方程/+饭+c=0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物

线的对称性即可求得二次函数1y=内入公+e+〃？（机>0）与x轴的另一个交点.

解：•・•关于x的一元二次方程加+灰+c=0的两个根分别是1和-3,

・•・抛物线），=。1+公+。（。¥0）与x轴的两个交点为（1,0）,（-3,0）,

/.抛物线y^a^+bx+c的对■称轴为直线x=—=-I»

,二次函数），=&?+（〃?>0）与x轴的一个交点坐标是（4,0）,

/.函数y=axL^bx+c与直线y=-in的一个交点的横坐标为4,

函数y=aP+bx+c与直线y=-m的另一个交点的横坐标为-6,

，次函数juad+Ai+c-m（m>0）与x轴的另一个交点坐标是（-6,0）,

故答案为：（-6,0）.

总结提升：此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x

轴的交点的横坐标就是方程的根.

8.(2022秋•长兴县月考)如图，己知二次函数产/+历的图象与x轴交于人(-1,0),

B(3,0)两点，与)，轴的正半轴交于点C,顶点为。，则下列结论：①2。+〃=0；②2c

=3"③当△4BC是等腰三角形时，。的值有2个.其中正确的序号是.

思路引领：由图象可得对称轴为直线入=一?=1，可得〃=-2a,可判断①；将点A坐

乙(X

标代入解析式可得c=-3a,可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求。

的值，可判断③.

解：①;二次函数y=/+饭+c的图象与％轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，

对称轴为直线x=-y--a=1,

:.b=-2a,

/.2a+b=0,故①正确，符合题意;

②当％=-1时，0=a-He,

a+2a+c=0,

c-—3cb

：,2c=3b,故②正确，符合题意；

③•・•二次函数)Had-ZarT”(«<0),

，点C(0,-3a),

当BC=AB时.4=V9+9a2.

当AC=8A时，4=Vl+9a2,

・•・当△ABC是等腰三角形时，。的值有2个，故③正确，符合题意;

故答案为：①©③.

总结提升；本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的

性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

9.(2021•越秀区校级二模)抛物线丁=/+公+。交工轴于点A(-3,0)、B(1,0).下列

结论：①2a-方=0；②2c=3力；③当«<0时，无论m取何值都有a-b^am2+bm；④若

。<0时，抛物线交y轴于点C,且△ABC是等腰三角形，c=夕或反；⑤抛物线交)，

轴于正半轴，抛物线上的两点£(xi，yi)、F)2)且xiVx2，©+工2>・2,则yi>

)吃；则其中正确的是.(填写所有正确结论的序号)

思路引领，根据二次函数图象号系数的关系，二次函数弓x轴交于点4(-3,0),8(1,

0),可知二次函数的对称轴为直线x=-1,即—与二一1,可得2〃与/，的关系，可判断

①；根据对称轴公式，将8点代入可得c、。的关系，即可判断②；函数开口向下，x=\

时取得最大值，可判断③；由图象知8C=AB=4时，当AC=A8=4时，两种情况利用

勾股定理即可求得c•的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤.

解：①•・•二次函数与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0).

・•・二次函数的对称轴为广手_二一1,即一名二一|,

乙，a

：,2a-b=0.

故①正确；

②•・•二次函数y=ax2+%x+c与x轴交于点4(-3,0；、B(1,0).

/.9d-3b+c=(),a+Hc=0,

又♦:b=2a.

3

/.~/?+c=0,

2

：,2c=-3b.

故②错误：

③・・・。<0,

・•・抛物线开口向下.

・・・x=-1时，二次函数有最大值.

-b+c^anr+bm+c.

即a-+加?.

故③正确；

④由图象可得，AC^BC.

当8C=A8=4时，M12+C2=42,解得C=6,

当AC=A3=4时，则32+d=42,解得°=迎

故△A4C是等腰三角形时，c二小或限,

故④正确；

⑤由题意可知，点E（xi，yi）到对称轴的距离小于点尸（大2,”）到对称轴的距离,

・』》）2，

故⑤正确；

故答案为①③④@.

忌结提升：本题考存二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信

息，来判断问题中结论是否正确.

类型三根据问题情境判断函数图象

10.（2020•安徽）如图，ZX/WC和尸都是边长为2的等边三角形，它们的边8C,EF

在同一条直线/上，点C,E重合.现将△ABC沿着直线/向右移动，直至点B与产重合

时停止移动.在此过程中，设点。移动的距离为达两个三角形重叠部分的面积为〉则

1y随工变化的函数图象大致为（）

思路引领：分为0VxW2、2<xW4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面

积公式可求得,，与X的函数关系式，于是可求得问题的答案.

解：如图1所示：当0VxW2时，过点G作G”_L8/于H.

XABC和△£）£?均为等边三角形，

•••△GE7为等边三角形.

GH=^£7=

.*.y=}EJ・GH=^-x2.

当x=2时，），=V5,巨抛物线的开口向上.

如图2所示：2V/W4时，过点G作GH_L/"于凡

y=^FJ-GH=^（4-jr）2,函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上.

乙1

故选:A.

总结提升：本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键.

11.（2022•灯塔市模拟）如图，在等边AA8c中，BC=4m,动点。从点4出发，以1c加s

的速度沿BA方向运动.同时动点E从点B出发以相同的速度沿BC方向运动，当点D

运动到点A时，点E也随之停止运动.连接。6将ABDE沿。E折叠，点8的对称点

为点立设点。的运动时间为，秒，△。£尸与AABC重叠部分的面积为y,则下列图象

能大致反映1y与1之间函数关系的是（）

A.0B.0

yJk

c.D.0

思路引领：根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得），与/

的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象.

解：由折舂的性质可得：SaBDE=SaDEF，

①当0«2时，

ADEF与△ABC重叠部分的面积为y=S/、BDE，

由题意得：BD=BE=tcm,

过点。作。于点H,如图，

•••△ABC是等边三角形，

・・・NB=60°,

：・DH=BD・smNB=*

:・S^DE=\XBE・DH=Ixrx冬=*八

②当2V/W4时，

△。即与△AHC重叠部分的面积为为梯形。C”G,如图,

由题意得：BD=BE=tcm,WOAD=EC=(1-r)cm.DF=EF=tcm,

VZB=6O°,BD=BE,

•••△BOE是等边三角形，

工NBDE=NBED=60°,

：.ZFDE=ZfED=60o,

/.ZF£C=180°-ABED-ZFED=60°.

VZC=60°,

•••△EC”为等边三角形，

：.CH=CE=EH=(1-/)cm,

：.FH=EF-EH=(2r-1)cm,

同理：FG=(2/-1)cm,

:・4FGH为等边三角形，

***y=S^FDE-SAFHG

=|xrXrXsin60°-1x(2r-1)(2r-1)Xsin600

=冬_9⑵-1)2

=一¥/+何_乎，

(苧d(04t32)

综上，y与，之间函数关系式为,，=14,

(一半A每-苧(2VY4)

由二次函数图象的性质可知，第•个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个

函数的图象是开口向下的抛物线的一部分，

AA大致反映y与t之间函数关系，

故选：A.

总结提升：本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角

形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质

是解题的关键.

类型六根据函数图象获取信息

12.(2022•高唐县二模)如图①，E为矩形48co的边人。上一点，点。从点4出发沿折线

B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿3C运动到点C停止，它们的运动速度都

是1c〃加.现P,。两点同时出发，设运动时间为x($),△BP。的面积为1y若

与工的对应关系如图②所示，则矩形/WC。的面积是.

思路引领：过点E作EH_L3C,由三角形面积公式求出E”=A8=6,由图2可知当x=

14时，点尸与点。重合，则4。=12,可得出答案.

解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点尸运动到点七时.，x=10,j=30,

过点E作EHLBC于H,

11

由三角形面积公式得：），=于BQ.EH=7X1（）・£77=30,

解得EH=AR=6,

•\AE=Scm,

由图2可知当x=14时，点P与点。重合，

图2

.\AD=AE+DE=S+4=\2(cm),

，矩形的面积为12X6=72(air).

故答案为：72cm上

总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想

方法是解题的关键.

13.（202。•瑞安市模拟）如图1.在等腰育角二角形ARC中,点。是斜边8。卜的动点.

过点8作A8的垂线交直线A。于点£过点。作。凡1直线A。于点F,设AE为乂CF

为y,y关于x的函数图象如图2所示，将图象上的点夕（6,«）向右平移2个单位.再

向下平移1个单位后恰好又落在图象上.则AB的长

思路引领：先判定项，再推得），关于工成反比例函数关系，结合点P（6,a）

向右平移2个单位.再向下平移I个单位后恰好又落在图象上.解得a,则可求得答案.

解：在等腰直角三角形A6c中，/5AC-90°,AB-AC.

'：EBLAB,CFLAE,

/.ZAFC=ZABE=W,ZBAE=90a-ZFAC=ZFCA,

：.AAfiE^ACM,

：，CA：AE=CF：AB.

*：CA=AB,

：.AB2=AE*CF=xy,

TAB为定值，

・•・），关于工成反比例函数关系，

•・•点尸（6,〃）向右平移2个单位.再向下平移I个单位后的坐标为（8,。-1）,

/.6f/=8（。・1）,

解得：。=4,

.*.A52=AJ=6X4=24,

伉（舍负）.

故答案为：2>/6.

总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握相似三角形的判定与性质

及反比例函数的定义与性质是解题的关键

类型一读取函数图象信息解决实际问题

14.（2020春•舞钢市期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同

时出发，匀速行驶，设慢车行驶的时间为x（/?），两车之间的距离为（面?），图中的折

线表示y与x之间的关系.根据图象回答：

（1）甲、乙两地之间的距离为千米.

（2）两车同时出发后小时相遇.

（3）线段CO表示的实际意义是.

（4）慢车和快车的速度分别为多少也?小？（写出计算过程）

思路引领：（1）根据函数图象中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离;

（2）根据函数图象中的数据，可以得到两车出发后几小时相遇；

（3）