2026版步步高大一轮高考数学复习110练第六章　§6.3　等比数列含答案

2026版步步高大一轮高考数学复习110练第六章§6.3等比数列§6.3等比数列分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2024·北京模拟)已知数列{an}中，a1=1，2an-1an+1=0，Sn为其前A.1116 B.3116 C.112.(2025·廊坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3+a5=1，a2+a4+a6=2，则S12-S6等于()A.18 B.54 C.128 D.1923.(2025·哈师大附中模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3S6=1A.43 B.8 C.9 4.(2023·新高考全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8等于()A.120 B.85C.-85 D.-1205.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数R0=4，平均感染周期为7天，那么感染人数由1(初始感染者)增加到3333大约需要的天数为(初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……参考数据：lg2≈0.3010)()A.42 B.43 C.35 D.496.(2025·遵义模拟)若数列{an}满足a1=12，且对任意正整数p，q都有apaq=1p+1qapA.4 B.163 C.6 D.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·黄冈模拟)数列{an}满足a1=1，Sn-1=3an(n≥2)，则下列结论中正确的是()A.a2=1B.{an}是等比数列C.an+1=43an，n≥D.Sn-1=43n-1，8.设等比数列{an}的前n项积为Tn，下列命题为真命题的是()A.若T3=1，a8=2，则T9=162B.若T3=1，T5=32，则a2+a3=3C.若a2a3=2，则T3T5=8D.若T5=32，则|a2|+|a4|≥4三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·南阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6S3=9，3a3+4=a5，则a610.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=-114，a3=-14，则1a1+1a2+1a四、解答题(共27分)11.(13分)(2024·南昌模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+an+2=kan+1.(1)当k=2时，求S10；(5分)(2)若k=52，设bn=an+1-2an，求{bn}的通项公式.12.(14分)(2025·池州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Snn=an+1-n2，(1)求{an}的通项公式；(6分)(2)令bn=21-an，求b1b2-b2b3+…+(-1)n+1bnbn13题6分，14题5分，共11分13.(多选)(2024·绍兴模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，且∀n∈N*，a1A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列C.若数列{Sn}是递增数列，则q>1 D.若数列{Tn}是递增数列，则q>114.若数列{an}满足an+2an+1+an+1an=k(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和，已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，答案精析1.B2.D3.B4.C[方法一设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q=1，则S6=6a1=3×2a1=3S2，不符合题意，所以q≠1.由S4=-5，S6=21S2，可得a1(1-a1(1-q6)由①可得，1+q2+q4=21，解得q2=4，所以S8=a1(1-q8)1-q=a1(1-q4)1-方法二设等比数列{an}的公比为q，因为S4=-5，S6=21S2，所以q≠-1，否则S4=0，从而S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比数列，所以(-5-S2)2=S2(21S2+5)，解得S2=-1或S2=5当S2=-1时，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6，即为-1，-4，-16，S8+21，易知S8+21=-64，即S8=-85；当S2=54时，S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0与S4=-5矛盾，舍去.综上，S8=-85.]5.A[设第n轮感染的人数为an，前n轮感染的总人数为Sn，则数列{an}是首项a1=4，公比q=4的等比数列，由Sn+1=4×(1-4n)1-4+1≥可得4n+1≥10000，两边取对数得(2n+2)lg2≥4，所以n+1≥2lg2≈20.3010≈6.64，n≥5.所以感染人数由1增加到3333需要6轮传染，故需要的天数约为6×7=42.]6.B[由apaq=1p+1qa得(p+q)ap+q=pap·qaq，令bn=nan(n∈N*)，依题意，对任意正整数p，q都有bp+q=bpbq，令p=1，q=n(n∈N*)，则∀n∈N*，bn+1=b1bn，而b1=a1=12，即bn+1=12因此数列{bn}是以12为首项，12为公比的等比数列，b即nan=12n，a所以a6a8=8×27.AC[由Sn-1=3an(n≥2)，当n=2时，S1=a1=3a2=1，解得a2=13，故当n≥1时，可得Sn=3an+1，所以Sn-Sn-1=3an+1-3an(n≥2)，所以an=3an+1-3an(n≥2)，即an+1=43an(n≥2)，而a2=13a1，故C正确，因为Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1=1+131-43n-21-43=8.BD[对于A，易知T3=a23，T5=a3若T3=1，则a2=1，又因为a8=2，所以a5=±a2a所以T9=(±2)9=±162对于B，若T3=1，T5=32，则a2=1，a3=2，所以a2+a3=3，故B正确；对于C，若a2a3=2，则T3T5=a23a35=(对于D，若T5=32，则a3=2，所以|a2|+|a4|≥2|a2||a4|=2|a32|=4，当且仅当|a9.3210.-44解析设T5=1a1+1a2+1则2T5=1a1+1a5+1=a1+a5a1=2(=2×-11所以T5=-44.11.解(1)当k=2时，有an+an+2=2an+1，即an+2-an+1=an+1-an，所以{an}为等差数列，设其公差为d，因为a1=1，a2=3，所以d=a2-a1=2，所以S10=1×10+10×92×2=100(2)当k=52时，an+2=52an+1-a所以an+2-2an+1=12an+1-a=12(an+1-2an即bn+1=12bn且b1=a2-2a1=1，所以{bn}是以1为首项，1所以bn=1×12n-112.解(1)∵Snn=an∴2Sn=2nan+n(1-n)，∴当n≥2时，2Sn-1=2(n-1)an-1+(n-1)(2-n)，则2(Sn-Sn-1)=2nan-2(n-1)an-1+2(1-n)，化简得an-an-1=1(n≥2)，又∵a1=2，∴{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an=n+1，∴{an}的通项公式为an=n+1.(2)由(1)知bn=21-an=1∴当n≥2时，(-1)n+1b又∵b1b2=1∴{(-1)n+1bnbn+1}是以18为首项，-1∴b1b2-b2b3+…+(-1)n+1bnbn+1=1=11013.ACD[由题意可知Sn=a1(1-qn)1-q，Tn=a1(a1q)…(a1qn-1)=a1故有a11-q<0且q>0(否则若q<0，则a1qn1-q的符号会正负交替，这与也就是有a1>0,无论如何，数列{an}是递增数列，故A正确，B错误；对于C，若数列{Sn}是递增数列，即Sn+1-Sn=an+1>0，由以上分析可知只能a1>0,q对于D，若数列{Tn}是递增数列，显然不可能是a1<0,0<q<1,(否则Tn=从而只能是a1>0,q>1,且这时有Tn+1Tn=a14.21012解析令bn=a则bn+bn+1=3，bn+1+bn+2=3，两式相减可得bn+2-bn=0，即bn+2=bn，又b1=a2a1=2，所以b2=3-b则bn=1,n=2m,2,即an+1an=1,n所以a2025=a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·a2025a2024=1§6.4数列中的构造问题分值：70分一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.在数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=1，又函数f(x)=x3-an+1sinx+(2an+1)x+1，若f'(0)=0，则S2025等于()A.22023-2024 B.22024-2025C.22025-2026 D.22026-20272.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于()A.17 B.18 C.19 D.203.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2023a2025-a2024A.1 B.-1 C.2 D.-24.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为()A.-32C.(-1，1) D.(0，1)二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2(n∈N*)，则下列说法正确的有()A.a1=1B.S4=190C.{an}是等比数列D.Sn6.(2024·邢台模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则()A.a2=24B.anC.S10=29×D.log2(4a100-3S100+1)=200三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1-5an+4an-1=0(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公式为.

8.(2025·南京模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为.四、解答题(共28分)9.(13分)(2025·湖北云学重点高中联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1且Sn+1=2Sn+n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(6分)(2)设数列{bn}满足bn=log2(an+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求1T2+1T3+1T410.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1=3，an+1=3a(1)证明：数列1-1(2)求{an}的通项公式；(4分)(3)令bn=an+1an，证明：bn<bn答案精析1.D2.C3.B[依题意，an=an-1+an-2(n≥3)，a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3，当n≥2时，anan+2-an+12=an(an+1+an)-an+12=anan+1+an2-an+12=an2+an+1(an-an+1)=an2-ana1a3-a22所以数列{anan+2-an+12}是首项为-1所以a2023a2025-a20242=(-1)×(-1)2023-1=-14.A[由an+1=3an-2n-1，得an+12n+1=即an+12n而a121-12=0，则a即an=2n-1，则cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ，由数列{cn}为递增数列，得∀n∈N*，cn+1>cn恒成立，则∀n∈N*，3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ，即3n-1>(-2)n-1λ恒成立，当n为奇数时，λ<32n-1恒成立，数列32n-1为递增数列，当n为偶数时，λ>-32n-1恒成立，数列-32n-1为递减数列，-32n-1的最大值为-35.ABD[由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，且an+1=3Sn+2，则a2=3S1+2=3a1+2，所以a1=13，故因为an+1=3Sn+2， ①所以当n≥2时，an=3Sn-1+2， ②①-②得an+1-an=3an，即an+1=4an，当n=1时，a1=13，不满足a2=4a故数列{an}不是等比数列，故C错误；当n≥2时，an+1=4an，则a3=4a2=12，a4=4a3=48，故S4=13+3+12+48=1903，由an+1=3Sn+2，得Sn+1-Sn=3Sn+2，所以Sn+1=4Sn+2，令Sn+1+λ=4(Sn+λ)，则Sn+1=4Sn+3λ，所以3λ=2，即λ=2所以Sn+1+23=4即Sn+1+23Sn+23=4，故Sn+公比为4的等比数列，故D正确.]6.ACD[选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确；选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1，得an+14n即an+14n则an4n是首项为a14=3选项C，由an4n=34+34(n-1得an=3n×4n-1，所以Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1， ①则4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n， ②①-②得，-3Sn=3+3×(4+42+43+…+4n-1)-3n×4n=3+3×4(1-4n-1)1-4-3n×4n=-(3n-1)即Sn=(3则S10=29×410选项D，因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×(3n-1)×4所以log2(4a100-3S100+1)=log24100=log22200=200，D正确.]7.an=48.an=1解析在数列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，则有1an+1=2·即1an而1a1因此数列1an+1是以2所以1an+1=2n，即an=9.解(1)由Sn+1=2Sn+n，可得an+1=Sn+n，令n=1，可得a2=S1+1=1，即S1=a1=0，由Sn+1=2Sn+n可得Sn+1+(n+1)+1=2(Sn+n+1)，且S1+1+1=2≠0，可知数列{Sn+n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则Sn+n+1=2×2n-1=2n，可得Sn+n=2n-1，即an+1=2n-1，则an=2n-1-1，n≥2，且a1=0符合上式，所以an=2n-1-1.(2)由(1)可得bn=log2(an+1)=log22n-1=n-1，则bn+1-bn=n-(n-1)=1，可知{bn}是首项b1=0，公差为1的等差数列，可得Tn=n(0+n当n≥2时，则1Tn=2所以1T2+1T3+1=21-=21-110.(1)证明∵an+1=3∴1an+1=an∴1-1an+1=23又1-1a1=23∴数列1-1an是首项为23(2)解由(1)知1-1an故an=11-23(3)证明bn=an+1an=3(3n-2显然数列3·且3·32n-2>0对n∈N∴数列13∴数列{bn}为递增数列，且bn<1，∴bn<bn+1<1.§6.5数列求和分值：50分1.(12分)(2025·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn-12an=n2+1，n∈N*(1)求a1，a2，并证明：数列{an+an+1}是等差数列；(6分)(2)求S20.(6分)2.(12分)已知数列{an}满足a1=10，an+1=3an-2.(1)求{an}的通项公式；(5分)(2)若bn=an-1(an+2)an，记数列{bn}的前n项和为T3.(13分)已知数列{an}的首项a1=a(a≠0)，前n项和为Sn，且满足Sn+1-Sn=5an4an+1((1)判断数列1a(2)若a1=56，记数列nan的前n项和为Tn，求T4.(13分)已知在数列{an}中，a1=1，nan+1-(n+1)an=1.(1)求数列{an}的通项公式；(6分)(2)若数列{bn}满足bn=sinπ2an+1+cos(πan)，求数列{bn}的前2026项和答案精析1.解(1)当n=1时，由条件得a1-12a1=2，所以a1=4当n=2时，由条件得(a1+a2)-12a2=5所以a2=2.因为Sn-12an=n2+1所以Sn-1-12an=(n-1)2+1(n≥2)，两式相减得an-12an+12an-1=2n即an+an-1=4n-2，所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，从而数列{an+1+an}为等差数列.(2)由(1)知an+an+1=4(n+1)-2=4n+2，所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=(4×1+2)+(4×3+2)+…+(4×19+2)=10×(6+78)=420.2.(1)解因为an+1=3an-2，所以an+1-1