2026版步步高大一轮高考数学复习110练第十章　§10.7　概率、统计与其他知识的交汇问题含答案

2026版步步高大一轮高考数学复习110练第十章§10.7概率、统计与其他知识的交汇问题§10.7概率、统计与其他知识的交汇问题分值：30分1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分)(2)已知每箱药材的利润如表：等级上等药材中等药材普通药材利润(元/箱)40002000-1200今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1000m-2000lnm)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分)2.(15分)(2024·福州质检)从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q.(1)在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；(3分)(2)记事件“在操作n+1(n∈N*)次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为An，记Pn=P(An).①在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；(5分)②试探究Pn+1与Pn的递推关系，并说明理由.(7分)答案精析1.解(1)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C20P(X=1)=C21P(X=2)=C22X的分布列为X012P31447314X的数学期望为E(X)=0×314+1×47+2×3(2)按原计划生产药材每箱平均利润为14×4000+14×2000+12×(-1200则增加m箱药材，利润增加为900m元，成本相应增加(1000m-2000lnm)元，所以增加净利润为900m-1000m+2000lnm=2000lnm-100m(m∈N*).设f(x)=2000lnx-100x(x∈N*)，则f'(x)=2000x-100令f'(x)=0，得x=20，当1≤x<20时，f'(x)>0，当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，当x=20时，f(x)取得最大值，所以需要增加产量，增加20箱最好.2.解(1)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=24×P(X=1)=24×24P(X=2)=24×所以X的分布列为X012P185814所以E(X)=0×18+1×58+2×14(2)①记事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“总共4次操作恰好完成置换”，则P(E)=12依题意，若第一次取到Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，若第二次也取出Q，则第三次和第四次均须取出K，其概率为12×2若第二次取出K，则第三次取出Q，第四次取出K，其概率为12×2综上所述，P(EF)=132+364所以P(F|E)=P(EF)P即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532②Pn+1=12n+3+3设事件B表示“n次操作后袋中还剩1张K”，依题意，Pn为(n+1)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，而发生这样的情况需n次操作后袋中还剩1张K，且第(n+1)次抽中K，则Pn=14P(B)，即P(B)=4PnPn+1为(n+2)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，有2种情况：n次操作后袋中还剩2张K，即前n次全取Q，概率为12n，并且第(n+1)次和第(n+2n次操作后袋中还剩1张K，第(n+1)次取Q，第(n+2)次取K，所以Pn+1=12n×24×14+P(B)×34又因为P(B)=4Pn，所以Pn+1=12n+3+3必刷大题20概率与统计分值：60分1.(13分)(2024·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；(6分)(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.(7分)2.(15分)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：回答正确回答错误问题中存在语法错误100300问题中没有语法错误500100结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题.(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；(7分)(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列.(8分)3.(15分)某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次.若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”.若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手都参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23(1)求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；(5分)(2)若以“甲、乙同学组成的小组获得‘神投手组合’的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n(n≥4)为多少时，对该小组更有利.(10分)4.(17分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X和Y的分布列分别为：P(X＝xi)＝pi，P(Y＝xi)＝qi，其中i＝1，2，…，n.定义X的信息熵：H(X)＝－n∑i=1pilog2pi，X和Y的“距离”：KL(X||Y)＝n∑i=1pi(1)若X~B4，12，求H((2)已知发报台只发出信号0和1，接收台只收到信号0和1.现发报台发出信号0的概率为m，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号0的概率为n，发出信号1接收台收到信号1的概率也为n.①若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；(5分)②记X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||Y)≥0.(7分)答案精析1.解(1)设事件M=“至少选到2箱A级苹果”，由题意知选到1箱A级苹果的概率为610=35，选到1箱非A级苹果的概率为所以P(M)=C32352×故至少选到2箱A级苹果的概率为81125(2)因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=C60C4P(X=1)=C61C4P(X=2)=C62C4P(X=3)=C63C4所以X的分布列为X0123P1303101216E(X)=0×130+1×310+2×12+3×12.解(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，由测试结果知P(A)=3P(B|A)=5P(A)=25，P(B|A)所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=14×25+记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误”为事件N，则P(M)=352P(MN)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)×2=35×5所以P(N|M)=P(MN)(2)由(1)可得X~B3，35，则X的可能取值为0，1，2所以P(X=0)=253P(X=1)=C31P(X=2)=C32P(X=3)=353所以X的分布列为X0123P81253612554125271253.解(1)设“一局比赛中甲被称为‘好投手’”为事件A，则P(A)=C32×23(2)设“一局比赛中乙被称为‘好投手’”为事件B，则P(B)=C32×1甲、乙同学都被称为“好投手”的概率为P=2027×1比赛设置n(n≥4)局，设甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，则X~Bn且P(X=3)=C设f(n)=Cn31027则f则C即n-2≥17又n∈N*，则n=8，所以本次投篮比赛设置的总局数为8时，对该小组更有利.4.(1)解因为X~B4，所以P(X=k)=C4k所以X的分布列为X01234P116143814116所以H(X)=-1=32-38(log23-3)=218-38(2)①解记发出信号0和1分别为事件Ai(i=0，1)，收到信号0和1分别为事件Bi(i=0，1)，则P(A0)=m，P(A1)=1-m，P(B0|A0)=P(B1|A1)=n，P(B1|A0)=P(B0|A1)=1-n，所以P(B0)=P(A0)P(B0|A0)+P(A1)P(B0|A1)=mn+(1-m)(1-n)=1-m-n+2mn，所以P(A0|B0)=P(A0②证明由①知P(B0)=1-m-n+2mn，则P(B1)=1-P(B0)=m+n-2mn，则KL(X||Y)=mlog2m1-(1-m)log21-m设f(x)=1-1x-lnx，x>0则f'(x)=1x2-1所以当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，即lnx≥1-1x(当且仅当x=1所以log2x=ln所以KL(X||Y)=mlog2m1-m-n+2mn+(≥mln21-1-m当且仅当m1-m-n即m=12，0<n所以KL(X||Y)≥0.必刷小题19计数原理与概率分值：73分一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为()A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.142.在x2-2A.-154 B.154 C.-383.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是()A.12 B.13 C.144.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是()A.恰好两件正品与恰好四件正品B.至少三件正品与全部正品C.至少一件正品与全部次品D.至少一件正品与至少一件次品5.(2024·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有()A.32个 B.28个 C.27个 D.24个6.已知甲袋中有6个红球和4个白球，乙袋中有8个红球和6个白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为()A.512 B.37 C.20417.在二项式2x-1A.135 B.16 C.148.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如表所示的方式进行座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一排或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有()第5列第4列第3列第2列第1列2524131201第1排2623141102第2排2722151003第3排2821160904第4排2920170805第5排3019180706第6排A.2016种 B.1008种C.1440种 D.720种二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.二项式x-A.前三项系数之和为22B.二项式系数最大的项是第4项C.常数项为15D.所有项的系数之和为010.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论一定正确的是()A.P(AB)=0.18B.A，B不可能为互斥事件C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立D.若A，B相互独立，则P(A+B)=0.711.五一假期过后，车主小王选择去某市新开的A，B两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去A，B两家洗车店洗车的概率分别为35和25，如果小王第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为12；如果小王第一次去B洗车店，那么第二次去AA.小王第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为4B.小王第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率大C.若小王第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为5D.若小王第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为13三、填空题(每小题5分，共15分)12.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为. 13.无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8，如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为.14.(2024·广州模拟)如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为.(-1，1)(0，1)(1，1)(-1，0)(0，0)(1，0)(-1，-1)(0，-1)(1，-1)答案精析1.A2.B3.D[以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有A33种情况，其中乙在甲的左边或右边，即甲与乙能牵手有2A22种情况，所以所求概率为P=24.C[根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件；选项B，D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件；选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件.]5.B[依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类：①“0，0，6”组合，有C31种，②“0，1，5”组合，有A33种，③“0，2，4”组合，有A33种，④“0，3，3”组合，有C31种，⑤“1，1，4”组合，有C31种，⑥“1，2，3”组合，有A33种，由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有3C31+3A336.D[设“取到甲袋”为事件A，则P(A)=P(A)=1设“取到红球”为事件B，则P(B|A)=610=35，P(B|A)=由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=35×12所以P(A|B)=P(B|A)P(A7.A[在二项式2x-1xn的展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6展开式的通项为Tk+1=C6k·26-k(-1)k·x3-k，k=0，1，2，…，故展开式共有7项，当k=0，2，4，6时，第k+1项为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其他的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有A3故奇次项都互不相邻的概率为P=A33A48.A[先考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论：(1)若这三人都在奇数列，则有一人需在第1列选一个奇数号的座位，有3种情况，然后有一人在第3列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能在同一排，只有2种情况，最后一人只能在第5列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一种选择，此时，不同的排法有3×2×1×A33(2)三人中只有两人在奇数列，首先在第1，3，5列中选两列，有C3其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有2种选择，第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有6种选择，此时，共有C32×(3×2×6)×A(3)三人中只有一人在奇数列，第一个人在第1，3，5列中随便选择一个奇数号的位置，有9种选择，其次，第二个人在第2列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，例如第二个人选择11号座位，由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有2种选择，即19号和21号两个位置可供选择，此时，不同的排法有9×3×2×A33=324综上所述，当三人都使用A卷时，不同的排法种数为36+648+324=1008.由对称性可知，当三人都使用B卷时，不同的排法种数也为1008.综上，当三人的试卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为1008×2=2016.]9.BCD[二项式x-1x6展开式的通项为Tk+1=C6k(x)6-k·-1xk=(-1)kC6kx3-3k2(k=0，1，2，…，6二项式系数C6k(k=0，1，2，…，6)中最大的是C63，要求常数项，通项公式中应满足3-3k2=0，得k=2，即T3=(-1)2C62x0将x=1代入，可得所有项的系数之和为0，D正确.]10.BC[若P(AB)=0.18=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，无法确定，故A若A，B为互斥事件，则P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6+1-0.3=1.3>1，故A，B不可能为互斥事件，故B正确；若P(AB)=0.42=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，故C正确；若A，B相互独立，则A，B相互独立，所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58，