安徽省阜阳市2025届高三下册阶段性检测（二）数学试卷附解析

/安徽省阜阳市2025届高三下册阶段性检测（二）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（

）A．1 B．-1 C． D．162．已知a为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．30 B．55 C．80 D．1105．函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（

）A．是增函数 B．是减函数C．可以取到最大值 D．可以取到最小值6．已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．7．函数在开区间的零点个数为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设是三个随机事件，则下列说法正确的是（）A．若互斥，则B．若，则C．D．若相互独立，则10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（

）

该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为11．封闭曲线C是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（

）A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C位于直线和直线所围成的矩形框内C．的周长的最小值为D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数的导函数为，且满足，则.13．的展开式中常数项为．（用数字作答）14．已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的周长为，且.(1)求边的长；(2)若的面积为，求角的度数.16．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立.(1)求的值及品种小麦千粒重的中位数；(2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率.17．如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且平面.(1)求三棱锥的体积；(2)分别在线段上，且平行，平面MNC与平面所成角为，与平面所成角为，求.18．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．19．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：．

答案1．【正确答案】A【详解】解法一：设，则，解得，所以，所以，解法二：因为，所以，解法三：方程两边同时平方，有，所以，故选A.2．【正确答案】B【详解】取时成立，故充分性不成立；当时，，当且仅当时，等号成立，故必要性得证．故选B.3．【正确答案】A【详解】由题意，在上的投影向量为.故选A4．【正确答案】B【详解】因是等差数列，故，解得，则.故选B.5．【正确答案】C【详解】函数在区间上是增函数，且，，则当时，，而函数在区间上先增后减，所以，函数在区间上先增后减，当，该函数取到最大值.故选C.6．【正确答案】B【详解】因为函数有2个不同的零点，所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图过作圆的切线，则点到切线的距离，解得或（舍去），所以，得，即k的取值范围是.故选B.7．【正确答案】D【详解】解：法一：，，令，则或，即：或或，如图所示：由图像可知，函数共8个零点.法二：因为，由，得，或，所以，或，即，或，，因为，所以，或共个零点.故选D8．【正确答案】A【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以，点A在双曲线上，，又，，，点B在双曲线上，，，，设内切圆圆心为I，连接，如图所示，，，即，为等边三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故选A.9．【正确答案】BC【详解】对于选项A：若A，B互斥但不对立，则，故A错误；对于选项B：若，，故B正确；对于选项C：显然，故C正确；对于选项D：若相互独立，则也相互独立，则，故D错误.故选BC.10．【正确答案】ACD【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】

对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确.故选ACD．11．【正确答案】ABD【详解】依题意，，因为，，，则有，两边平方可得，即，也即（*）.对于A，因为是曲线C上一点，则满足，对于，显然也满足，而点与关于坐标原点对称，故A正确；对于B，由（*）可得，即，整理得，即，因为，所以可得；设，由可得，所以，则得，解得，故曲线C位于直线和直线所围成的矩形框内，故B正确；对于C，因为，则，当且仅当取得等号，此时的周长为，即的周长的最小值为，故C错误；对于D，由（*）可得，由C分析已得，可得，故有，因为，所以，故D正确.故选ABD.12．【正确答案】/【详解】由题设，则.13．【正确答案】【详解】解：因为，其中展开式的通项为，令得的常数项为，令，即得展开式中的系数为.所以的常数项为.14．【正确答案】/【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，得，两式相减得，所以，由时，由，得；由时，由，得；又由，结合，，所以成首项为，公差为的等差数列，所以，且此等差数列为递增数列，所以的中位数为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）解：由正弦定理知，，，的周长为，，．（2）解：的面积，，由（1）知，，，由余弦定理知，，．16．【正确答案】(1)，品种千粒重的中位数为43.75g；(2).【详解】（1）由品种小麦的频率分布直方图，得，所以；设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图，得，，则，于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g.（2）设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g，事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则，用频率估计概率，则，，由，相互独立，所以.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，平面，则，又，，平面ABC，则平面，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，易知.∴三棱锥底面的面积，高，∴其体积为.（2）由题意及（1）得，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，，则．由于平行，设，则，设平面的法向量为，由，取，则，平面的一个法向量为，所以．又因为，所以．．又，所以．18．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，，设圆M上的点，则．所以．从而有．因为，所以当时，．又，解之得，因此．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．．P点在圆M上，则．故当时的面积最大，最大值为．[方法三]：直接设直线AB方程法设切点A，B的坐标分别为，．设，联立和抛物线C的方程得整理得．判别式，即，且．抛物线C的方程为，即，有．则，整理得，同理可得．联立方程可得点P的坐标为，即．将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．由弦长公式得．点P到直线的距离为．所以，其中，即．当时，．【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；