安徽省合肥市普通高中六校联考2024~2025学年 高三下册阶段性检测数学试卷附解析

/安徽省合肥市普通高中六校联考2024_2025学年高三下册阶段性检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．若，则（

）A． B． C． D．4．2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（

）A．243种 B．162种 C．72种 D．36种5．已知向量，满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知正项等比数列的前项和为，设，若为某一等比数列的前项和，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．－27．已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．8．当时，曲线与的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆，直线，则（

）A．直线过定点B．圆被轴截得的弦长为C．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为D．直线与圆相交于、两点，不可能为10．正三棱柱的各棱长相等，且均为在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得平面B．三棱锥的体积的取值范围为C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为11．已知函数，则下列命题中正确的是（

）A．0是的极小值点B．当时，C．若，则D．若存在极大值点，且，其中，则三、填空题（本大题共3小题）12．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为（结果填整数）.附：若，则，.13．已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为．14．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且，．(1)证明：是等腰三角形(2)若，求16．如图，在三棱柱中，平面平面，为线段上一点．

(1)求证：；(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.17．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设是函数的两个极值点，若，求m的最大值．18．已知椭圆过点，且的右焦点为．(1)求的方程；(2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点．（i）证明：直线平分；（ii）若的面积等于的面积，求的坐标．19．对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．(2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．(3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．

答案1．【正确答案】D【详解】由，得，即，解得，∴，.故选D.2．【正确答案】B【详解】因为，所以，即复数在复平面内对应的点为，因此在第二象限.故选B.3．【正确答案】D【详解】，且.故选D.【关键点拨】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．【正确答案】B【详解】先安排甲、乙两人，有种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有（种）方法.故选B.5．【正确答案】B【详解】因为，所以，所以，从而在上的投影向量为．故选B.6．【正确答案】B【详解】当时，，，不满足，所以.当时，由题意，所以，即，解得（舍去）.所以.所以.又为某一等比数列的前项和，设该等比数列首项为，公比为，则，又，所以.所以实数的值为.故选B.7．【正确答案】C【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，所以，过A作，垂足为G，则，，所以，所以，所以，所以，所以该圆台的体积为.故选C.8．【正确答案】C【详解】解：令当时故是的一个根.当时令则所以在上单调递增，所以所以时即方程在无实数根.当时在上单调递减，且如图所示：与的图象在上有两个交点，所以方程在有两个不同的根.综上所述，曲线与的交点个数为故选C.9．【正确答案】AD【详解】将直线的方程变形为.令，用第一个方程减去第二个方程可得：，即，解得.把代入，得，解得.所以直线过定点，A选项正确.在圆的方程中，令，则，即，，，解得，.所以弦长为，B选项错误.已知圆：，则圆心，半径.由前面可知直线过定点，.当直线与垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时直线的斜率.又直线过点，根据点斜式方程可得直线的方程为，即，C选项错误.若，则圆心到直线的距离.点到直线的距离.假设，两边平方可得，即，，此时，方程无解，所以不可能为，D选项正确.故选AD.10．【正确答案】BCD【详解】对于A，取的中点，的中点为，连接，由为等边三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，因为平面平面，过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，在矩形中，，所以，如图所示，此时的延长线与线段无公共点，所以不存在点，使得平面，A选项错误；对于B,三棱锥的体积.的面积的取值范围是（当在内运动时，大于，当在BC边的高的端点时取到最大值）.点到平面的距离就是正三棱柱的高.根据三棱锥体积公式（为底面积，为高），可得，所以的取值范围是，B选项正确.对于C，由点为中点，取的中点，连接，可得，，因为平面，且平面，所以平面，同理可得平面，又因为，且平面，所以平面平面，因为平面平面，由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，C选项正确；对于D，以中点为坐标原点，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，设（x，y满足的边界条件）.，.因为，所以，即.平面的法向量，设，，.由，令，可得，，即.点到平面的距离，将代入可得.结合在内及其边界上，可得当时，取得最大值，D选项正确.故选BCD.1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.11．【正确答案】ACD【详解】由题意可得，令，当时，得或，对于A，当时，令，解得或，则在和上单调递增，令，解得，则在上单调递减，所以在处取得极小值，同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值；当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故A正确；对于B，当时，在上单调递减，又，，所以，故B错误；对于C，若，则，则.所以，，则，故C选项正确.对于D，若存在极大值点，则，即，因为，所以，所以，，即，又，所以，故D正确.故选ACD.12．【正确答案】23（22也可以）【详解】由每名学生的成绩，得，则，则优秀的学生人数为.13．【正确答案】【详解】设另一个焦点为，连接，设，则，由双曲线的定义可得，由双曲线的对称性可得是的中点，也是的中点，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，所以，化简得，在中，，则，所以，得，所以，所以离心率.14．【正确答案】【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由正弦定理可知，又，所以，又因为，所以所以是等腰三角形（2）设，，则，，，所以在中，由余弦定理，得：，在中，∵，∴∴16．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，或【详解】（1）连接，因为在三棱柱中，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以;（2）如图，以的中点为坐标原点，过O作射线,则可以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

因为，则，，设，则，记平面的法向量，则，即，得，易得平面的法向量，由题意：，解得：或，经验证，或均符合题意．所以或.17．【正确答案】(1)答案见解析(2)0【详解】（1）的定义域为，，①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；③当时，则，所以在上单调递增；④当时，令，得或，令，得，所以在上单调递增，在上单调选减；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：，则的定义域为，，若有两个极值点，则方程的判别式，且，得，所以因为，所以令设由，得在上单调递减，所以，所以，即所以的最大值为0．18．【正确答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）或．【详解】（1）根据题意有，且由椭圆的几何性质可知，所以．所以的方程为．（2）（i）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，所以的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）设的方程为，代入的方程有：，其中，故，设，则，若直线平分，且易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0．设的斜率分别为，则：，代入，有，故命题得证．（ii）由（i）知直线平分，即．因为的面积等于的面积，故，即，故．故，在线段的垂直平分线上．易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，故的坐标为或．19．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论；（2）设，可得，进而可得结论；（3）设，可得是首项为2，公比为的等比数