广东省佛山市2024~2025学年 高二下册3月月考数学试卷附解析

/广东省佛山市2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（

）A．33 B．31 C．39 D．272．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）A．6 B．2 C．3 D．3．已知函数，则（）A．1 B． C．2 D．4．函数在上的图象大致为（）A． B．C． D．5．在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．28．2160的不同正因数个数为（

）A．42 B．40 C．36 D．30二、多选题（本大题共3小题）9．下列求导正确的是（

）A． B．C． D．10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（

）A．所有可能的安排方法有125种B．若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C．若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种11．设函数，则（）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，三、填空题（本大题共3小题）12．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有种.13．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是．14．函数上的点到直线的最短距离是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数．(1)写出函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值、最小值．16．已知数列的首项为，且满足.(1)求证：是等比数列.(2)求数列的前项和.17．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．18．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求正实数的取值范围.19．已知函数在处取得极值(1)求实数的值(2)求证：(3)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.

答案1．【正确答案】A【详解】由已知可得，所以，所以时物体的瞬时速度是.故选.2．【正确答案】A【详解】由题意，，即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6.故选A.3．【正确答案】A【详解】由于函数，则其导函数为：，代入，可得：，解得.故选A．4．【正确答案】A【详解】因为，所以，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，又，，设，，则，.所以在上为增函数，又，所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.故选A.5．【正确答案】A【详解】由求导得，因函数在上既有极大值也有极小值，故必有两个相异实根，即，解得.不妨设方程的两根为且则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增，即在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意.故选A.6．【正确答案】C【分析】首先证明、，利用判断①②③，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④.【详解】令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以（当且仅当时取等号）；令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以（当且仅当时取等号）；对于①：当时，所以，故①正确；对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确；对于③：（当且仅当时取等号），故③错误；对于④：令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确．故选C.【思路导引】结合题中的4个不等式，分别构造函数，，并求导，计算出函数的单调区间和最小值，从而判断不等式的正误.7．【正确答案】D【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选D.8．【正确答案】B【详解】，所以2160的不同正因数个数为：.共40个.故选B.9．【正确答案】AC【详解】根据基本初等函数的导数公式有：，A正确；根据复合函数求导公式：，B错误；根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则有：，C正确；根据基本初等函数的导数公式有：，D错误.故选AC.10．【正确答案】AB【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A医院没有专家去的方法有种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．故选AB.11．【正确答案】BCD【详解】对于A，由于，故.所以，从而对有，所以是的极大值点，故A错误；对于B，当时，由于，故，且由，，可得.故B正确；对于C，当时，由于，故由，可知，所以，故C正确；对于D，当时，有，故，所以，故D正确.故选BCD.12．【正确答案】9【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种.13．【正确答案】【详解】令，得．对求导，得，所以，故曲线在点处的切线方程为．14．【正确答案】【详解】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于，由且，令，∴，解得（舍）或，∴切点为，故最短距离为.15．【正确答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)最大值为，最小值为.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，，得或，当时，或；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）知，，，的变化情况如下表：极大值极小值所以函数的极大值为，极小值为，又，所以函数在上的最大值为，最小值为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意，数列满足，即，则，又由，可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，得到，所以数列的前项和.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面．（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．18．【正确答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】（1）且，∴时，即单调递增；时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；（2）由题设，，即恒成立，令，则，∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.若，则，即在上递减，又，∴时，，即恒成立.∴正实数的范围为.19．【正确答案】(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)利用建立方程求解