第03讲 空间向量基本定理与7考点精讲（学生版）-25新高二数学-高一升高二暑假预习课

第03讲空间向量基本定理目录TOC\o"1-2"\h\u23604第03讲空间向量基本定理 118202一、空间向量基本定理 22955基础知识 21342考点1空间向量基底概念 232702考点2空间基底表示向量 325441考点3由空间向量基本定理求参数 424896二、空间向量正交分解 618109基础知识 611434考点4正交分解 623716三、空间向量基本定理解决相关问题 830879基础知识 828005考点5证明平行、共线、共面问题 83999考点6夹角、垂直问题 922336考点7求距离问题 119634四、课后作业 1331260单选题 1328540多选题 1425058填空题 1521069解答题 15

一、空间向量基本定理基础知识1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．考点1\t"/gzsx/zj135448/_blank"\o"空间向量基底概念及辨析"空间向量基底概念【例1.1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若a,b,A．a+b,C．a+b,【例1.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知a,b,c是空间的一个基底，则可以和A．a+b+c B．a−b【变式1.1】（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（

）A．若a⋅b<0B．若a//b，则存在唯一的实数λC．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2OB−3OC，则P、D．a,b,【变式1.2】（23-24高二上·广东东莞·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量a=eA．−1 B．1 C．0 D．−2考点2\t"/gzsx/zj135448/_blank"\o"用空间基底表示向量"空间基底表示向量【例2.1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，设ABA．BE=−12C．BE=a+【例2.2】（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与BA．−12a+12b+c【变式2.1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，A．34a+34b+14【变式2.2】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若PA=a,PB=A．12a−C．12a−考点3由空间向量基本定理求参数【例3.1】（23-24高二上·山东聊城·期末）在三棱锥S−ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，若SA=xSD+ySE+zA．−1 B．1 C．2 D．3【例3.2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M,N分别为线段OA,BC的中点，若MN=xOA+yOB+z

A．−12 B．14 C．【变式3.1】（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM=2MC，点N是棱AD的中点.若MN=xAB+yAC+zAD，其中x，y，A．−12 B．12 C．3【变式3.2】（23-24高二上·北京·期中）平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A．x=1，y=1 B．x=1，y=C．x=12，y=12

二、空间向量正交分解基础知识1．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点4正交分解【例1.1】（23-24高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A．13BC,C．BC,BD,【例1.2】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,−12,3 B．−3【变式1.1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【变式1.2】（23-24高二上·河北保定·期中）定义：设a1,a2,a3是空间的一个基底，若向量p→=xa→1+ya→2+za→3，则称实数组x,y,z为向量A．3 B．6 C．9 D．6

三、空间向量基本定理解决相关问题基础知识1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【知识技巧与总结】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.考点5证明平行、共线、共面问题【例1.1】（22-23高二上·广西河池·期末）已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M,A,B,C共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM【例1.2】（23-24高二·全国·课后作业）在空间四点O，A，B，C中，若{OA,OBA．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C点中任意三点不共线【变式1.1】（22-23高二上·山东枣庄·期中）空间A,B,C,D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且PA=53PB−xA．−43 B．−13 C．【变式1.2】（23-24高二·全国·课后作业）有以下命题：①若p=xa+yb，则p与a､b共面；②若p与a､b共面，则p=xa+yb；③若MP=xMA+yMB，则P､M､A､B四点共面；④若P､M､A､B四点共面，则MP=xMA+yMB；⑤若存在A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥考点6夹角、垂直问题【例2.1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设OA=a，OB=(1)试用向量a，b，c表示向量OG；(2)求cos<OG【例2.2】（23-24高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【变式2.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两两垂直.已知：如图，四面体ABCD，E，F，G，H，【变式2.2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)用向量AA1，(2)求证：D，M，B(3)当AA1AB考点7求距离问题【例3.1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【例3.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC=4,∠ABC=∠BCP=∠DCP=120(1)利用空间向量证明PA⊥BD；(2)求AP的长.【变式3.1】（23-24高二上·浙江·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，点M,N分别在OA,BC上，且

(1)以OA,OB,(2)求MN的长度.【变式3.2】（23-24高二上·广东梅州·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设AB=a，AD=（1）求证BM=−（2）求BM的长.

四、课后作业单选题1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）p:a，b，c是三个不共面的单位向量，q:a,b,c可为空间的一个基底，则p是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高二上·重庆·期末）正方体ABCD−A1BA．AB,AC,AD B．AB,AD3．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b，PC=A．12a−C．12a−4．（23-24高二上·广东·期末）若a,b,A．a−c,C．2b−c5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，一向量A．4,0,3 B．3,1,3 C．1,2,3 D．2,1,36．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥P−ABC中，点D满足PB=4PD,CD=xA．12 B．32 C．2 7．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，A．−34 B．34 C．48．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，OA=2，OB=3，OC=4，且OA,OB,OC任意两个之间的夹角均为60°，OM=2MA，

A．693 B．753 C．2多选题9．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量a,b,c能构成空间的一组基底，则能与向量A．a−c C．a+b 10．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，G为△AA．PG=−13C．PG//BC1 填空题11．（2024高三·全国·专题练习）在四面体O−ABC中，空间的一点M满足OM=12OA+13OB+λOC.若MA12．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1，BB解答题13．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1→=a→，AB=b，A