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苏科版八年级上第一章全等三角形类比变换法在探究动态图形中的应用练素养12温馨提示：点击进入讲评习题链接1【2023·常州二十四中月考】如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.(1)求证：BD＝DE＋CE.证明：∵BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD.(2)若直线AE绕A点旋转到如图②的位置(BD<CE)时，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何？请予以证明．解：BD＝DE－CE.证明：∵BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD.∴∠ABD＝∠CAE.(3)若直线AE绕A点旋转到如图③的位置(BD>CE)时，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不需证明．解：BD＝DE－CE.(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言描述BD与DE，CE的关系．解：归纳(1)(2)(3)可知，结论描述为：当B，C在直线AE同侧时，BD＝DE－CE.当B，C在直线AE异侧时，若BD>CE，则BD＝DE＋CE；若BD<CE，则BD＝CE－DE.2在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且AB＝BC，点E在直线BD上运动，连接AE，过点E作射线EF⊥AE，交CD所在的直线于点F.(1)如图①，当点E在线段BD上运动时，求证：AE＝EF；证明：在BA上取一点H，使得BH＝BE，连接HE.因为AB＝BC，BC＝BD，所以AB＝BD，即AB－BH＝BD－BE.所以AH＝ED.因为∠ABD＋∠CBD＝180°，∠CBD＝90°，所以∠ABD＝90°.所以∠AEB＋∠HAE＝90°.因为AE⊥EF，所以∠AEF＝90°.又∠AEB＋∠AEF＋∠DEF＝180°，所以∠AEB＋∠DEF＝180°－∠AEF＝90°.所以∠HAE＝∠DEF.因为∠ABE＝∠CBD＝90°，BC＝BD，BH＝BE，所以△BEH与△CBD均为等腰直角三角形．所以∠BHE＝∠BDC＝45°.又∠AHE＋∠BHE＝180°，∠EDF＋∠BDC＝180°，所以∠AHE＝∠EDF.(2)如图②③，当点E在线段DB的延长线及其反向延长线上运动时，线段AE与EF之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．解：AE＝EF.理由如下：如图①，在BC上取一点G，使BG＝BE，连接GE.同(1)，得∠AGE＝∠EDF＝45°，AB＝BD.所以AB＋BG＝BD＋BE，即AG＝ED.因为∠ABE＝∠CBD，∠CBD＝90°，所以∠ABE＝90°，即∠

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