8.5乘法公式（第1课时）教学设计 冀教版（2024版）数学七年级下册VIP

第八章整式的乘法8.5乘法公式第1课时

一、教材分析平方差公式这一内容是在学生学习了整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用．可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容．

二、学情分析学生已经掌握了整式的乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的困难在于，对公式的结构特征的理解.本节课关注学生对公式的探索过程，有意识地培养学生的推理能力，让学生经历“引入—形式—理解—应用—深化”的过程，并有条理地表达自己的思想，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用．

三、教学目标1.理解平方差公式的意义，能利用多项式与多项式的乘法法则推导平方差公式2.能熟练运用平方差公式进行计算，并能在解题过程中增强符号感和提高推理能力.3.能利用平方差公式解决一些简单的实际问题，提高数学的应用意识与应用能力.4.让学生在合作探究中推导平方差公式，准确应用公式，培养学生的建模思想和抽象思维能力，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣．

四、教学重难点重点：平方差公式的推导及应用.难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用

五、教学过程情境导入活动一：展示图片，引入新课．小明的父亲在自家院子里圈一块长方形的地，准备种植一种新品种黄瓜，测得它的长为10.3米，宽为9.7米．小明的父亲让他算算这块地的面积，小明脱口而出99.91平方米！他父亲惊讶的问：“你怎么算的这么快？”小明自豪的说：“我利用了一个刚学过的数学公式而已．”你知道他用了什么公式吗？我们一起来探究吧！设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识，培养学生观察和概括的能力．一起探究活动二：复习回顾．如何计算多项式乘多项式？设计意图：回顾旧知，通过复习多项式与多项式的乘法运算方法，为后边平方差公式的得出做好铺垫.活动三：探索平方差公式在进行多项式与多项式相乘时，往往会遇到一些特殊形式的多项式相乘，其结果也很特殊.由多项式的乘法，得(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.两个二项式相乘，运算结果一般应有四项．如果两个特殊形式的多项式(a+b)与(a−b)相乘，那么运算结果是否也是特殊形式的多项式呢?做一做：计算下面的多项式，你能发现什么规律？(1)(x+1)(x−1)(2)(a+2)(a−2)(3)(2x+1)(2x−1)(4)(a+b)(a−b)师生活动：四名学生板演，其他人独立完成计算.教师在学生正确解答之后继续提出问题：在上面四个式子中，两个因式之间有怎样的特征？学生认真思考，合作交流，尝试用自己的语言叙述发现.等号前：都是两个数的和乘这两个数的差等号后：都是等于这两个数的平方差设计意图：学生利用已有的知识，通过计算，发现从特殊到一般的规律，鼓励学生大胆发表自己的见解.师生活动：教师提出问题：你能试着用字母表示你所发现的规律吗？学生认真思考，合作交流得出：(a+b)(a−b)=a2师生共同完善平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.用字母表示为：(a+b)(a−b)=a2设计意图：让学生经历概念的形成过程，培养自主学习、合作交流的能力.通过追加思考，让学生更深入的理解，培养学生严谨的学习态度.活动四：深化理解平方差公式思考：你能从几何的角度对平方差公式进行解释吗？如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形(1)两个图形（着色部分）的面积之间有什么关系？(2)请你结合图形对平方差公式(a+b)(a−b)=a2师生活动：学生积极思考，先独立完成再小组讨论，汇报结果，教师点评设计意图:由学生自己在计算操作的基础上，在教师的引导下，学生通过面积的计算，进一步验证上面的规律，使学生真正经历这一过程，以促进学生的观察能力和归纳概括能力的发展.做一做：按要求填写下面的表格:算式与平方差公式中a对应的项与平方差公式中b对应的项写成“a2计算结果(m+2)(m-2)(2m+3)(2m-3)(x+2y)(-x+2y)(1+3y)(1-3y)设计意图:通过简单的运算，强调平方差公式的形式，在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果.应用举例例1计算：(1)(2x+y)(2x−y)；(2)(23x+5y)(分析：在(1)中，可以把2x看成a，y看成b，即(1)(2x+y)(2x−y)＝(2x)2−y2.(a+b)(a−b)＝a2解：(1)(2x+y)(2x−y)=(2x)(2)(2(3)(−5a+3b)(−5a−3b)=(方法总结：平方差公式的运用：①看：看是否可以用公式②找：找相同项和相反项③套：套用公式师生活动：学生思考后独立完成例题，3名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．设计意图：通过例1，让学生加深对平方差公式的理解，正确掌握平方差公式的运用方法.例2.计算：(1)(2x+3)(2x−3)−(x+2)(x−2)；(2)102×98.．解:(1)(2x+3)(2x−3)−(x+2)(x−2)＝＝4＝3x(2)102×98方法总结：平方差公式中的a与b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数，运用公式做题时关键分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不能混淆.师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.设计意图：借助此题让学生进一步体会平方差公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式.思考：你知道“情境”中的小明用了什么公式来计算菜地的面积吗？师生活动：学生独立思考后举手作答.解：10.3×9.7=(10+0.3)(10−0.3)＝102−0.32设计意图：与情境中的问题呼应，让学生体会成功的喜悦感，并学会利用平方差公式解决实际问题.课堂练习1.计算:(1)(x−2)(x+2)；(2)(x+2y)(x−2y)；(3)(3m+2n)(3m−2n)；(4)(4a+3b)(3b−4a)解：(1)(x−2)(x+2)=(2)(x+2y)(x−2y)=x(3)(3m+2n)(3m−2n)=(3m)(4)(4a+3b)(3b−4a)=(3b)2.用平方差公式计算:(1)998×1002；(2)48×52+37×43.解：(1)998×1002=(1000−2)×(1000+2)=1000=1000000-4=999996.(2)48×52+37×43=(50−2)×(50+2)+(40−3)×(40+3)=50=2500-4+1600-9=4087.3.先化简，再求值.(1)(x+2)(x−2)+x(1−x).其中，x=-1.(2)(2x−y)(2x+y)−(2y−x)(x+2y).其中，x=2，y=-1.解：(1)(2)(2x−y)(2x+y)−(2y−x)(x+2y)4.(1)用简便方法计算:19×21=；29×31=；39×41=；49×51=.(2)你发现了什么规律?请用含有字母的式子表示出来.解：(1)19×21=(20−1)×(20+1)=(2)(10n−1)×(10n+1)=设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.课堂总结这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.课堂检测1.下列各式的计算是否正确?如果不正确，请改正过来.(1)(a+4)(a−4)=(2)(−m−2n)(m−2n)=m(3)(−a+b)(−a−b)=−a解：(1)不正确.应为：(a+4)(a−4)=a(2)不正确.应为：(−m−2n)(m−2n)=(−2n)(3)不正确.应为：(−a+b)(−a−b)=(−a)2.计算:(1)(3x+4)(3x−4)；(2)(3a−4b)(−4b−3a)；(3)(a2+1解:(1)(3x+4)(3x−4)=(3x)(2)(3a−4b)(−4b−3a)=(−4b)(3)(a(4)(2−1)(2+1)(23.(1)已知a+b=7，a−b=8，求a2(2)已知a2−b解：(1)a(2)总结：平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2；可逆用a2−b2=(4.说明:两个相邻偶数的平方差一定是4的倍数.解：设这两个相邻的偶数分别为22n+2实践作业：你还能用其它图形验证平方差公式吗?请动手试一试吧.

六、板书设计

七、教学反思平方差公式是初中数学代数学知识方面应用最广泛的公式，也是学生代数运算的基础公式，在今后的数学学习过程中，更能体现其重要性，所以公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握，在学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，发现平方差公式，由找规律得出公式的猜想，再介绍平方差公式的几何面积验证方法，来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出平方差公式，得出公式后再来实际应用.教学设计提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，