广西“名校联盟”2024-2025学年高一下学期5月联合模拟考试数学试题（解析）

广西“名校联盟”2025年5月高一联合模拟考试数学（全卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先求解集合，再根据交集的定义求出.【详解】对于不等式，因式分解可得.所以集合或.

已知集合，在集合中，满足或的元素只有，所以.

故选：C.2.在复平面内，复数对应的向量，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模.【详解】由复数对应的向量，则，所以.故选：A3.已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合题意，即可判断.【详解】充分性：只有当垂直于内的两条相交直线，才可推出，由题可知，垂直于内的一条直线，可能与平面斜交，平行，或在平面内，故无法推出，充分性不满足；必要性：，又，则，故必要性成立；综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再取特殊值判断即可.【详解】因为，所以是奇函数，排除AC，又因为，排除B，故选：D.5.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．6.已知，，，则的最小值为（）A.8 B.9 C.12 D.16【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式“1”的巧用，求和的最小值即可.【详解】已知，，，所以当且仅当，，即时等号成立；故选：A.7.如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（

）A.6km B.kmC.km D.7km【答案】A【解析】【分析】先在中利用余弦定理求出，则可得，再利用同角三角函数关系求出，然后在中利用正弦定理可求出结果.【详解】由题意得，在中，，由余弦定理得,因为，所以，因为，所以，在中，，由正弦定理得由正弦定理得，所以.故选：A8.在四面体中，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先找到底面三角形的外接圆圆心和半径，确定过该圆心与底面的垂线，在垂线上设球心，由勾股定理，求出半径，可得答案.【详解】，，，，为等边三角形，又平面平面，取中点，连接，则球心在上，如下图：则，有，解得，该四面体外接球的表面积为.故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（）A.该圆锥的母线长为 B.该圆锥的体积为C.该圆锥侧面积为 D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为【答案】ABD【解析】【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确.【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示：因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角；所以，解得，A正确；设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以，则圆锥的高，所以该圆锥的体积，侧面积为，B正确、C错误；设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，所以，D正确．故选：ABD．10.如图，在正方体中，点P是线段上一动点，则（）A.当P为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为B.平面C.随着的长度变长，直线与平面所成角先变小再变大D.【答案】BD【解析】【分析】对A，转化到直角三角形中求出其正切值；对B，利用面面平行的判定定理得平面平面，再利用面面平行的性质定理即可判断；对C，转化得，分析其变化过程即可；对D，利用线面垂直的判定定理得平面，即可证明.【详解】对于A，设正方体的棱长为，则，因为侧面，侧面，则，而，故直线与直线所成角的正切值为，故A错误；对于B，连接，易证：，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面，平面，平面，故B正确；对于C，连接，平面，即为直线与平面所成角，，当从移动至的过程中，增大，先变小再变大，即先变大再变小，故C错误；对于D，连接，，，，由正方体的性质可得：，平面，平面，所以，，平面，所以平面，因为平面，所以同理可得，，平面，平面平面，，故D正确；故选：BD.11.已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（）A. B.函数在上递减C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据是奇函数判断A，再判断即可得到的图象关于直线对称，从而判断B、C，根据对称性得到，即可判断D.【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A错误；因为是奇函数，所以的图象关于点对称，即有，所以，所以的图象关于直线对称，函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；因为，所以，即，故C正确；因为，且，由函数的图象关于直线对称，得，解得，故C正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知向量，，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意，，因为，所以.故答案为：2.13.当时，曲线与的交点个数为________．【答案】6【解析】【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可.【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点．故答案为：6.14.已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】转化为方程有两个解，再利用换元法转化为二次函数与直线交点个数问题.【详解】函数的定义域为，且单调递增，函数在区间上的值域为，则且，即方程有两个实数解，即，令，则有2个非负实数解，作出函数的图象与直线，即与在轴右侧（含轴）有2个交点，则．故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；（2）利用椎体体积公式进行求解.【小问1详解】证明：连接，设，连接，∵是正三棱柱的侧面，∴为矩形，∴是的中点，∴是的中位线，∴，又平面，平面，∴平面.【小问2详解】因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，，侧面为矩形，所以三棱锥的体积.16.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1），增区间为（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式和正弦函数单调性即可求解；（2）利用整体代入法结合正弦函数性质求解可得.【小问1详解】由，可得函数的最小正周期为，令，可得，故函数的增区间为；【小问2详解】由，有，所以，所以，所以，函数在区间上的值域为.17.如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由面面垂直判定定理可证.（2）法一：(几何法)找到二面角的位置，由余弦定理可得；法二：(向量法)建立适当空间直角坐标系，分别求两个面的法向量，从而可求得二面角.【详解】（1）证明：由已知可得，，在中，满足∴∵，且，、平面，∴平面又平面，∴平面平面.（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接，取中点，连接，∴，过作交于点，连接、，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，又，∴平面，∴，所以即为所求的二面角的平面角，由，∴，，又，∴∴二面角的余弦值为.法二：(向量法)取的中点，连接∵∴∵平面平面，平面平面，∴平面，如图所示，以为坐标原点，以，分别为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，∴，设为平面的法向量，有不妨令，则，，∴，而平面的其中一个法向量显然为二面角的余弦值为.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若D为的中点，且，求的最大值．【答案】（1）（2）18【解析】【分析】1）先利用二倍角公式化简已知等式，再通过正弦定理将角化为边，最后根据余弦定理求出角；（2）在和中分别利用余弦定理，结合得到与的关系式，再利用基本不等式求出的最大值.【小问1详解】已知，根据二倍角公式，将其进行化简：即即.即.由正弦定理边角互化可得：.再根据余弦定理，将代入可得：因为，所以.【小问2详解】因为为AC的中点，所以.在中，根据余弦定理可得.在中，根据余弦定理可得.因为，所以，即：，化简得.又因为（第一问已求得），所以可得：，即.根据基本不等式（当且仅当时取等号），则有：，即，当且仅当时取等号.则的最大值为18.19.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．（1）当定义域为，试判断否为“局部奇函数”；（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】（1）是；理由见详解；（2）；（3）【解析】分析】（1）依题意，由得,，令，求解可得结论；（2）由题意知，在上有解，令，可得在上有解，令，利用二次函数的性质求解即可；（3）由题意，根据局部奇函数的概念，可得时，，在上都有解，根据函数单调性，求出的范围，根据的范围包含的范围，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，由得,令，而存在一根,即存在，使得，所以为“局部奇函数”；（2）由题意知,在上有解，即在上有解，所以在上有解，令，所以在上有