辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题（解析）

滨城高中联盟2024-2025学年度下学期高二5月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的概念可求得，由此可得结果.【详解】设等比数列的公比为，∵，∴，故，∴.故选：C.2.已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（）A. B. C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得.【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以故选：A3.甲、乙两名游客到开封旅游，各自都准备从大相国寺、开封府、清明上河园这个景点中随机选一个去游玩．记事件：甲和乙选择的景点相同，事件：甲和乙恰好都去了大相国寺，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件求，，结合条件概率公式求结论.【详解】由题意得，，所以.故选：C.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，，然后由全概率公式求解出即可.【详解】因为，所以，由得：，所以由全概率公式得：，故选：A5.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可.【详解】因为等差数列，的前项和分别为，，所以我们对进行变形，得到，因为，所以，即，故D正确.故选：D6.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（）第个月123繁殖数量A.百只 B.百只 C.百只 D.百只【答案】B【解析】【分析】对两边取自然对数得，令，则，由回归直线必过样本点的中心即可求得，进而得解.【详解】由两边取自然对数得，令，则，即与呈线性相关关系，，，回归直线必过样本点的中心，，解得，，则，当时，．故选：B7.小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（）A. B.存在最大值C. D.随着n的增大而增大【答案】B【解析】【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可.【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局，因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，由二项分布的概率公式可得赢局的概率为，赢局的概率为，，赢局的概率为，小王赢的概率为：，有，，可知选项A，C正确，选项B错误；由，4−2n+12n+2可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误.故选：B8.把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（）A.109 B.110 C.111 D.112【答案】B【解析】【分析】分析得到奇数行为奇数列，偶数行为偶数行，为第个奇数，利用等差数列求和得到前个奇数行和前个奇数行的奇数个数，确定在第行，且在第列，求出，得到答案.【详解】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数，记为第个奇数，则，又，所以为第个奇数，又前个奇数行，共有奇数，又前个奇数行，共有奇数，则，，故在第行，且列，即，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分．9.设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A.数列是递增数列 B.C. D.中最大的是【答案】BD【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解.【详解】对于AC：因为，且，所以，，又因为，所以，解得；所以等差数列是递减数列，故AC错误；对于B：因为，所以，故C正确；对于D：因为等差数列是递减数列，且，，则，，所以，，故D正确.故选：BD.10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（）A.若是等比数列，则B.若，则C.若是等差数列，，若，则D.若，，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求.【详解】对于A，因为是等比数列，所以成等比数列，所以，即，解得，故A错误；对于B，因为，所以，所以是等差数列，由得，所以，故B正确；对于C，设等差数列的公差为，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD11.一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（）A.经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为B.若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为C.经过6次试验后试验停止的概率为D.经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大【答案】ABD【解析】【分析】A选项，分析出需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色，利用独立事件乘法公式计算出概率；B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球，从而计算出概率；C选项，前5次有4次投掷硬币，正面朝上，第6次投掷硬币，正面朝上，求出概率；D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大，求出相应的概率，得到不等式组，求出答案.【详解】A选项，经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球，需要两次投掷硬币，均正面朝上，且从箱子里抽出的两个小球均为白色，故概率为，A正确；B选项，第二次试验需投掷硬币，正面朝上，且从箱子里抽出的小球为红球，故概率为，B正确；C选项，经过6次试验后试验停止，即前5次有4次投掷硬币，正面朝上，第6次投掷硬币，正面朝上，概率，C错误；D选项，设经过次试验后小球全部取出的概率最大，此时前次有4次投掷硬币，正面朝上，第次投掷硬币，正面朝上，故概率为，令，解得，又，故经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为________．（结果四舍五入取整数）（参考数据：若服从正态分布，则）【答案】1587【解析】【分析】根据正态分布曲线特征求出，结合参考人数即可求得录取人数.【详解】因，则，则，故录取人数为（人）．故答案为：1587．13.从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案.【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法，其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法，假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以．故答案为：.14.已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由递推公式可得数列是常数列，即可得到的通项公式，结合裂项相消法即可得到，然后结合基本不等式，即可得到结果.【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列，，，，，当且仅当，即时取等号，，则的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位:人）:好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216（1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”?（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列;（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值.参考公式:，其中.参考数据:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有（2）答案见解析（3）2【解析】【分析】（1）根据列联表，求出，再根据参考数据可判断；（2）先求出随机抽取1人为男性的概率，由题意，由二项分布可得答案；（3）Y的可能取值为0，1，2，求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.【小问1详解】，所以有的把握认为“观影评价与性别有关”.【小问2详解】从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以，，故的分布列为0123【小问3详解】从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，则男性4人，女性6人.则的可能取值为0，1，2，所以.所以，即即，解得，又，所以的最大值为2.【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，将问题转化为二项分布问题，即根据条件得出，从而得解.16.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据递推式子即可求通项公式；（2）易知的周期为4，故构造构数列，易证数列为常数列，故题目所求可化为.【小问1详解】①当时，，即；当时，②①－②得因为时，也满足上式，故．【小问2详解】记，则（常数）数到为常数列，17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示．（1）求值；（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据各小组的频率之和等于1列式计算即得；（2）根据抽样比得到高度在和的株数分别为2和3，确定的可能取值，利用超几何分布计算各概率值，写出分布列即可；（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【小问1详解】依题意可得，解得；【小问2详解】结合（1）的结论，可得高度在和的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，则可取0，1，2，于是，，，所以的分布列为：012P【小问3详解】从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在为事件，至多1株高度低于23cm为事件，因高度在内的频率为，即，高度在内的频率为，即，高度在内的频率为，即，则，而，所以.18.已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为．①求；②若，成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.（2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可.【小问1详解】由，得，因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，，所以数列的通项公式.【小问2详解】①由（1）得，，，于是，则，，所以.②由，，得，令，不妨设的第项取得最大值，由，解得，即数列的最大值为，所以，即的取值范围是.19.前关湿地有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．（1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的数学期望．（2）若某居民每天都去湿地散步，记第天选择路线的概率为．①请写出与的递推关系；②设，求证：【答案】（1）（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；（2）（ⅰ）分析