专题14 线段和角的动态问题的八种考法（原卷版）【2025数学常考压轴题上册七年级湘教版】

专题14线段和角的动态问题的八种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、线段上动点求线段长问题 2类型二、线段上动点求定值问题 6类型三、线段上动点求时间问题 10类型四、线段上动点的新定义型问题 13类型五、几何图形中动角求定值问题 17类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 21类型七、几何图形中动角求运动时间问题 26类型八、几何图形中动角之新定义型问题 32压轴能力测评（18题） 36解题知识必备1.线段的中点模型把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：2.角平分线模型从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB压轴题型讲练类型一、线段上动点求线段长问题例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为．(1)当时，求线段的长；(2)当时，求线段的长．【变式训练1】（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度．(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．【变式训练2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，．(1)当点E是的中点时，求的长度；(2)当时，求的长度．【变式训练3】（22-23七年级上·河南驻马店·期末）线段，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点，(1)如图1，当时，求DE的长．(2)如图2，F为AD的中点①点C，D在线段AB上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长．②当时，请直接写出线段DE的长．类型二、线段上动点求定值问题例题：（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点．(1)数轴上点表示的数是______；(2)当时，求点表示的数；(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度．【变式训练1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点．(1)出发多少秒后，？(2)当P在线段上运动时，试说明为定值．(3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．【变式训练2】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为．(1)当时，________；当时，________；(2)用含的式子表示整个运动过程中的长度；(3)设是线段的中点，是线段的中点．①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由；②当时，直接写出的值，________．类型三、线段上动点求时间问题例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为．(1)当点追上点时，求的值．(2)若点相距，则的值为多少？【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为．(1)线段、的中点之间的距离为_______．(2)当点P到点C时，求的长．(3)求的长（用含t的代数式表示）．(4)设时，直接写出t的值．【变式训练2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点．(1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，点P与点Q重合？②当t为何值时，点P与点Q之间的距离．类型四、线段上动点的新定义型问题例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．(1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？【变式训练1】（23-24七年级上·江西吉安·期末）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．(1)若点是点关于原点的“星点”，则；若点是点关于点的“星点”，则．(2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由；(3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值．【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．类型五、几何图形中动角求定值问题例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，．(1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则；(2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数；(3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由．【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分．(1)如图①，当重合时，求的值；(2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分．【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值；【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设，的值是否会因为x的变化而变化?若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由；【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数.类型六、几何图形中动角探究数量关系问题例题：（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转．【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时．（1）若，______°；（2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度；【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由．【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．(1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数：（用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论．【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，．(1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向．①若，则射线的方向是_________；②与的关系为_________；③与的关系为_________．(2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；(3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．类型七、几何图形中动角求运动时间问题例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，平分？(2)当t为何值时，？【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段AB上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止．(1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数；(2)当从初始位置旋转至时，求此时的值；(3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）．【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学

(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，．①若，则；若，则；②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由．(2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．①探究与的大小有何数量关系，并说明理由；②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时．类型八、几何图形中动角之新定义型问题例题：（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线．(1)若，为的分位线，且，则．(2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）．①已知，，则．②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．(3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数．【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．例如：图中，则射线是的“奇妙线”．（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）【类比分析】（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；【变式拓展】（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”．压轴能力测评（18题）一、单选题1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（

）A． B． C． D．2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点是直线外一点，连接、，若点是直线上一动点，则下列说法正确的是（）A．点A在射线上B．C．连接D．连接，若，则平分3．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（

）①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．A． B． C． D．二、填空题5．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为．6．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为（，是整数）．7．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，点为直线AB上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线AB的下方．将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为．8．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．三、解答题9．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒．(1)用含的式子表示线段的长度为______；(2)当为何值时，，两点重合？(3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由．10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分．(1)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；(2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．(3)如图①，平分，补齐图形，探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．11．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发．以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为t（s）．

(1)．(2)当点P是线段的中点时，求的长．(3)求的长（用含t的代数式表示）．(4)当时，直接写出t的值．12．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为和9，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．

(1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数为__________；(2)另一个动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，求点P运动多长时间追上点R？(3)若M为的中点，N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请你画出图形，并求出线段的长度．13．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）阅读理解线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长．解：①如图1当点C在点B的右侧时②如图2当点C在点B的左侧时综上所述或4．

(1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数．(2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数．(3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出．14．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______．(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数．(3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值．15．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，图一已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线方向向右运动，运动时间为t秒．(1)线段___________，当点P运动到线段的延长线上时___________．（用含t的代数式表示）(2)如图二，当时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长．(3)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，存在这样的t值，使三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请求出满足条件的t值．16．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数轴上A，两点对应的数