2024年新高考Ⅱ卷立体几何试题的探究

一、试题呈现【2024年新高考Ⅱ卷第17题】如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E、F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC=43．（1）证明：EF⊥PD；（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．二、试题分析本题以平面四边形ABCD翻折成的五棱锥P－EFBCD为背景，第（1）问考查线线垂直的证明，第（2）考查二面角的正弦值，试题结构熟悉，设问自然，难度适中，把能力和素养的考查建立在基础知识的掌握和基本技能的运用上。主要考查的知识点有平面向量的运算、余弦定理、线面垂直的判定定理、向量法求二面角等知识.考查数形结合，化归与转化的数学思想方法，突出逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养的考查.从题目条件呈现来看，翻折模型和五棱锥模型均是全国卷中比较少考的模型，用向量来呈现图形中的数量关系，并结合解三角形的知识，体现了试题的综合性和创新性.这种多个模块知识点相结合的命题方式在今年新的试题结构下明显增加，值得我们研究和关注.三、解法探究（1）由AB=8，AD=53，AE=25AD，AF=12AB，得AE=23，AF=4，又∠BAD=30°，在△AEF中，由余弦定理得EF=16+12－2×4×23×32=2，所以AE2+EF2=AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD，所以将△AEF沿EF对折至△PEF，有EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE=E，PE、DE平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD平面PDE，故EF⊥PD.评注：本题的证明思路为先证明线线垂直，然后得到线面垂直，再得到线线垂直，体现了空间问题和平面问题的相互转化，体现化归与转化数学思想方法的应用.要求考生熟练掌握立体几何中的线线垂直、线面垂直的判定定理，掌握几何证明方法，具备一定的逻辑推理的能力.在翻折问题中，关键是抓住翻折过程中的变化性与规律性，特别是翻折过程中的不变量.如本题的∠PEF，∠DEF在翻折前后的不变性是问题解决的关键.在证明EF⊥AD时，用到了余弦定理及勾股定理，在立体几何的问题中考查解三角形的知识，体现了高考试题基础性、综合性的考查特点.（2）解法一：向量法连接CE，由∠ADC=90°，ED=33，CD=3，则CE2=ED2+CD2=36.在ΔPCE中，PC=43，PE=23，EC=6，得EC2+PE2=PC2，所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF=E，EC、EF平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.如图以EF、ED、EP为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则E（0，0，0），P（0，0，23），D（0，33，0），C（3，33，0），F（2，0，0），A（0，－23，0），由F是AB的中点，得B（4，23，0）.设平面PCD的一个法向量为n→=（x，y，z），PD=（0，33，－23），DC=（3，0，0）由n→·DC=0，n→·PD=0，得3x=0，33y－23z=0，令z=3得n→=（0，2，3）.设平面PBF的一个法向量为m→=（x1，y1，z1），PF=（2，0，－23），FB=（2，23，0），由m→·PF=0，m→·FB=0，得2x1－23z1=0，2x1+23y1=0，令z1=1得m→=（3，－1，1）.设平面PCD和平面PBF所成的二面角为θ，所以cosθ=cos〈m→，n→〉=m→·n→m→n→=15·13=6565，则sinθ=1－cos2θ=86565，即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为86565.评注：本解法是利用向量法求解二面角相关问题的通法，突出对通法通性和数学运算的考查.考生容易出错的地方有建系时要先证明线面垂直关系，求点B的坐标，求平面的法向量的规范解答，法向量夹角与二面角之间的关系转化等问题.解法二：几何法如图所示，延长DC、AB交于点G，连接PG，所以二面角A－PG－D为面PCD与面PBF所成的二面角中的一个.因为在RtΔADG中，∠BAD=30°，AD=53，所以AG=10，DG=5，过点A作AN⊥PD交DP延长线于N，过点A作AM⊥PG交GP延长线于M，连接MN.因为EF⊥平面PAD，又EF//DG，所以DG⊥平面PAD，又AN平面PAD，所以DG⊥AN，又DG∩PD=D，所以AN⊥平面PDG，所以AN⊥PG，又AM⊥PG，AM∩AN=A，所以PG⊥平面AMN，所以PG⊥MN，所以∠AMN为二面角A－PG－D的平面角或其补角.在ΔADN中，AN=AD×sin∠PDA=AD×PEPD=53×213=10313=103913.在ΔAPG中，AP=26，PG=8，AG=10，所以cos∠PGA=82+102－242×8×10=78，所以sin∠PGA=1－782=158，所以AM=AG×sin∠PGA=10×158=5154，所以sin∠AMN=ANAM=103913×4515=86565，所以平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为86565.评注：此解法首先是把平面PCD与平面PBF延展，找到二面角的棱，再利用三垂线法寻找二面角的平面角，从而得到问题的解决，具有一定的灵活性，要求考生要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，比较难想到.发现AN⊥平面PDG是利用三垂线寻找二面角的平面角的关键.相对而言，向量法更简洁，想法更自然，更容易得到问题的答案，也体现了向量法在求解二面角问题中的优越性.解法三：射影法如图所示，延长DC、AB交于点G，连接PG，所以二面角F－PG－D为面PCD与面PBF所成的二面角中的一个.记二面角F－PG－D的平面角为θ，记点D到平面PFG的距离为h，点D到直线PG的距离为h1在ΔPFG中，PF=4，PG=8，FG=6，所以cos∠PGF=82+62－162×8×6=78，所以sin∠PGF=1－782=158，所以ΔPFG的面积SΔPFG=12×6×8×158=315.三棱锥P－DFG的体积V=13×12×33×5×23=15=13×SΔPFG×h，所以h=15.在ΔPDG中，PD=39，DG=5，PG=8，所以cos∠PGD=82+52－392×8×5=58，sin∠PGD=1－582=398，所以点D到直线PG的距离为h1=5×398=5398，所以sinθ=hh1=155398=86565，所以平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为86565.评注：此解法借助三棱锥的体积来求点到面的距离，三角形的面积求点到线的距离，避开了几何法寻找二面角的复杂几何关系转化.借助方程的运算化解了几何推理的困难，此解法对于垂线不好找的问题有一定的帮助，还可以进一步进行探究，得到三棱锥的体积与二面角之间的关系，从而形成新的解题方法.四、模型提炼新课程标准指出，要借助长方体这个模型，帮助学生认识和理解空间点、直线、平面的位置关系.长方体是最重要的体现线面关系、实现空间想象能力的基本模型.长方体以及由长方体截成的“阳马”（四棱锥），“鳖臑”（三棱锥），“墙角”模型都是高考中常见的模型.本题的几何体可以看成是下图长方体截成的一个五棱锥P－EFBCD，如果把这个图形补成长方体，空间点线面和位置关系将更加清晰的呈现在考生面前，那么在向量法求解第二问就变得简单很多.图中的三棱锥P－ECD是一个“鳖臑”模型，解法二的几何法正是利用了这一模型中的CD⊥平面PDE，从而得到AN⊥平面PDG，再利用三垂线法进行求解.从近几年新高考全国卷的立体几何试题的分析中，我们不难发现，立体几何的考查主要以熟悉的空间几何体为载体.立体几何问题的求解中，对空间图形的认识是考查的重点，高考命题中重视从基本图形中截取部分来设计考题，求解中如果可以对题目图形适当进行还原，得到基本图形再进行观察，一定会对立体几何问题的理解和求解有很大的帮助.五、备考建议（一）回归教材，构建完整的知识体系新高考命题以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，体现高考评价体系的要求.教材是落实数学课程目标，培养学生数学核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材，在教材中往往能够找到高考真题的影子.在高考备考中，应从教材出发，系统回顾立体几何的基本概念，基本定理和基本方法，确保对每一个定义、定理、性质都有清晰的认识，并能准确表述，从而形成完整的立体几何知识体系.本题考查的折叠模型、长方体模型、“鳖臑”模型，在教材中均有大量的相关试题和研究，值得我们反复去回顾和研究.（二）夯实基础，提升应对新高考的能力立体几何的学习不仅仅是记忆公式和简单模仿，更重要的是培养数学思维能力.立体几何试题主要考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力.空间想象能力的培养需要通过多观察、多动手（如制作几何模型）、多想象（在脑海中构建空间图形），培养和提高自己的空间想象能力.逻辑推理能力的培养需要从立体几何基本定理的学习、表达、应用等方面入手，在平时的解题训练中，多关注逻辑推理的过程和解决问题的思想方法，学会推理的基本方法，注意证明的严谨性和规范性等.不管高考试题的模型和设问方式上如何发生变化和创新，在立体几何的备考过程中，只有夯实基础，提升能力，才能在变化的高考中立于不败之地.六、专项训练练习1.如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E、F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF折起至△PEF．（1）判断直线EF、PD是否垂直，并证明.（2）若面PDE与面PBF的夹角的余弦值为217，求点P到直线DE的距离．练习2.如图（1）所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=12，E，F分是BC，AC的中点.将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的平面角为60°，如图（2）所示.（1）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；（2）求平面C′FA与平面BEC′夹角的余弦值.练习3．如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，PB=BC=CD=AD=PA=2，将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD上的点.（1）若M为PD的中点，证明：PC⊥平面ABM；（2）若PC=6，试确定M的位置，使二面角M－AB－C的正弦值等于255.【参考答案】1.（1）EF⊥PD，（2）点P到直线DE的距离为3.简析：本题在高考题的基础上，改变设问方式，考查翻折过程中的动态问题和探究性问题.第（1）问先证明EF⊥平面PDE，从而得到EF⊥PD，第（2）问以EF，ED为x，y轴，过点E作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，设动点P0，m，n，PE=m2+n2=23，求出平面PDE与面PBF的法向量，再进行求解.2.（1）略.（2）22.简析：（1）先证明AB⊥平面BEC′，再分别以BE，BA所在直线为y轴、z轴，