人教A版高中数学必修第一册综合质量检测检测（解析版）

全册综合质量检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝()A．(1,3] B．[1,3]C．(－2,1] D．(－2,1)【解析】因为B＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∁RB＝{x|x<1}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x<1}．故选D.2．函数f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的大致图象是()【解析】f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))结合图形可知C适合题意．故选C.3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，则“角α与角β的终边关于x轴对称”是“cosα＝cosβ”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由角α与角β的终边关于x轴对称可得α＝－β＋2kπ，k∈Z，故cosα＝cosβ，充分性成立，当cosα＝cosβ时，α＝－β＋2kπ，k∈Z或α＝β＋2kπ，k∈Z，故必要性不成立，故选A.4．若2x＝5，lg2≈0.3010，则x的值约为()A．2.301 B．2.322C．2.507 D．2.699【解析】由指对数互化公式得x＝log25＝eq\f(lg5,lg2)＝eq\f(1－lg2,lg2)≈eq\f(1－0.3010,0.3010)≈2.322.故选B.5．用二分法求函数f(x)＝3x－2－1的零点时，初始区间可选为()A．[－1,0] B．[0,1]C．[1,2] D．[2,3]【解析】f(－1)＝－eq\f(1,6)<0，f(0)＝eq\f(1,2)>0，f(1)＝eq\f(5,2)>0，f(2)＝eq\f(17,2)>0，f(3)＝eq\f(53,2)>0，则f(－1)·f(0)<0，即初始区间可选[－1,0]．故选A.6．若a＝log23，b＝log3e，c＝ln3，则()A．a>c>b B．b>a>cC．a>b>c D．c>a>b【解析】a＝log23>log22＝1，b＝log3e<log33＝1，c＝ln3>lne＝1，c＝ln3＝eq\f(1,log3e)<eq\f(1,log32)＝log23，所以a>c>b.故选A.7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移θ(θ>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为()A.eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,12) D．eq\f(7π,24)【解析】由图象可知函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,π)＝2，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝1，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，由于0<φ<eq\f(π,2)，故φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移θ(θ>0)个单位长度后，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－4θ＋\f(π,3)))的图象，因为该图象关于原点对称，即y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－4θ＋\f(π,3)))为奇函数，故－4θ＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，则θ＝eq\f(π,12)－eq\f(kπ,4)，k∈Z，而θ>0，则θ的最小值为eq\f(π,12)，故选C.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax－2，x≤2,x＋\f(36,x)－6a，x>2))，若f(x)的最小值为f(2)，则实数a的取值范围为()A．[2,5] B．[2，＋∞)C．[2,5) D．(－∞，5]【解析】由x>2，则f(x)＝x＋eq\f(36,x)－6a≥2eq\r(x·\f(36,x))－6a＝12－6a，当且仅当x＝6时等号成立，此时f(x)的最小值为f(6)＝12－6a；由y＝x2－2ax－2在(－∞，a)上递减，在(a，＋∞)上递增，又f(x)的最小值为f(2)，故a≥2且f(2)≤f(6)⇒2－4a≤12－6a⇒a≤5，综上，2≤a≤5.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．下列三角式中，值为1的是()A．4sin15°cos15° B．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,6)－sin2\f(π,6)))C.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°) D．eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos\f(π,6))【解析】4sin15°cos15°＝2sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，故A正确；2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,6)－sin2\f(π,6)))＝2coseq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)＝1，故B正确；eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1，故C正确；eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos\f(π,6))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(2＋\r(3)),2)≠1，故D错误．故选ABC.10．已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则()A.eq\f(π,2)<α<π B．sinαcosα＝－eq\f(12,25)C．cosα－sinα＝eq\f(7,5) D．cosα－sinα＝－eq\f(7,5)【解析】sinα＋cosα＝eq\f(1,5)两边平方得，sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，所以sinαcosα＝－eq\f(12,25)，B正确；因为α∈(0，π)，所以sinα>0，故cosα<0，所以eq\f(π,2)<α<π，A正确；(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，因为sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，故cosα－sinα＝－eq\f(7,5)，C错误，D正确．故选ABD.11．已知A，B是函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的图象与直线y＝3的两个交点，则下列结论正确的是()A．|AB|min＝eq\f(π,3)B．f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠3kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))C．f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))单调递增D．f(x)的图象的对称中心为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,6)－\f(π,18)，0))，k∈Z【解析】因为A，B是函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的图象与直线y＝3的交点，所以|AB|的最小值为函数f(x)的最小正周期，T＝eq\f(π,3)，所以|AB|min＝eq\f(π,3)，故A正确；令3x＋eq\f(π,6)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x≠eq\f(π,9)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，所以f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))，故B错误；因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，所以3x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，因为函数y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上不单调，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上不单调，故C错误；令3x＋eq\f(π,6)＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝－eq\f(π,18)＋eq\f(kπ,6)，k∈Z，所以f(x)的对称中心为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)＋\f(kπ,6)，0))，k∈Z，故D正确．故选AD.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知幂函数y＝(m2＋3m－3)xm＋1的图象不经过原点，则实数m＝－4.【解析】根据幂函数的定义可得m2＋3m－3＝1，解得m＝－4或m＝1，当m＝－4时，y＝x－3不经过原点，符合题意；当m＝1时，y＝x2过原点，不符合题意，故m＝－4.13．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α(α>0)是1或4(4或1).【解析】设扇形半径为r，圆心角弧度数为α(α>0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))所以扇形的圆心角的弧度数α(α>0)是1或4.14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－log2x，x≥1，,4x，x<1，))则f(a)＝2，则a＝2或eq\f(1,2).【解析】因为f(a)＝2，当a≥1时，3－log2a＝2，解得a＝2，当a<1时，4a＝2，解得a＝eq\f(1,2).综合得a＝2或a＝eq\f(1,2).四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知sinα＝eq\f(1,3)，且α是第二象限角．(1)求tanα的值；(2)求eq\f(cos2α－cosαsinα,sin2α＋1)的值．【解析】(1)∵sinα＝eq\f(1,3)，且α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4).(2)eq\f(cos2α－cosαsinα,sin2α＋1)＝eq\f(cos2α－cosαsinα,2sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tanα,2tan2α＋1)＝eq\f(1＋\f(\r(2),4),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)))2＋1)＝eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),5).16．(本小题满分15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋2x.(1)求f(x)在R上的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并解不等式f(x2－2x)＋f(3－2x2)<0.【解析】(1)设x<0，则－x>0，当x>0时，f(x)＝x2＋2x，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝x2－2x，即f(x)＝－x2＋2x，又f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0.))(2)x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1单调递增，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在R上是单调增函数，不等式f(x2－2x)＋f(3－2x2)<0可化为f(x2－2x)<－f(3－2x2)＝f(2x2－3)，所以x2－2x<2x2－3，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2cosx(eq\r(3)sinx＋cosx)＋m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值．条件①：f(x)的最大值为1；条件②：f(x)的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))；条件③：f(x)的一条对称轴为x＝eq\f(π,6).【解析】(1)因为f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x＋m＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＋m＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋m＋1，故函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)选①，f(x)max＝2＋m＋1＝m＋3＝1，解得m＝－2，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，当0≤x≤eq\f(π,2)时，eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，故当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝2sineq\f(7π,6)－1＝－2；选②，因为函数f(x)的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝2sinπ＋m＋1＝m＋1＝0，解得m＝－1，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，当0≤x≤eq\f(π,2)时，eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，故当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝2sineq\f(7π,6)＝－1；选③，因为函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋m＋1的一条对称轴为直线x＝eq\f(π,6)，m的值无法确定．18．(本小题满分17分)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明：某种红茶用95℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用可以产生最佳口感，现在室温25℃下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：时间/min012345水温/℃95.0088.0081.7076.0570.9366.30设茶水温度从95℃开始，经过xmin后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：①y＝eq\f(k,x)(k>0)；②y＝kax＋b(k>0,0<a<1，x≥0)；③y＝loga(x＋k)(a>1，k>0，x≥0)．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min的数据求出相应的解析式；(2)根据(1)中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间．参考数据：lg3≈0.477，lg7≈0.845.【解析】(1)选择②y＝kax＋b(k>0,0<a<1，x≥0)作为函数模型．对于模型①，当x＝0时，函数无意义，故而排除；对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；故应选择模型②.将前2min的数据代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(95＝k＋b，,88＝ka＋b，,81.7＝ka2＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.9，,k＝70，,b＝25，))所以所求函数解析式为y＝70×0.9x＋25.(2)由(1)中模型可得70×0.9x＋25＝55，即0.9x＝eq\f(3,7)，所以x＝log0.9eq\f(3,7)，即x＝eq\f(lg3－lg7,lg0.9)＝eq\f(lg7－lg3,1－2lg3)≈eq\f(0.845－0.477,1－2×0.477)＝eq\f(0.368,0.046)＝8，所以刚泡好的红茶放置8min能达到最佳饮用口感．19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝ln(ex＋