（几何图形专项讲义）专题4-等积变形（位移、割补及排水问题）-小升初数学模块化思维提升（人教版）

第第页专题4-等积变形（位移、割补及排水问题）小升初数学模块化思维提升（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、等积变形（位移、割补）的主要方法：

（1）三角形内等底等高的三角形；

（2）平行线内等底等高的三角形；

（3）公共部分的传递性；

（4）极值原理（变与不变）。2、体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形：

（1）当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题；

（2）当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题；

（3）要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题。【典例一】如图，为正六边形，为其内部任意一点，若、的面积分别为3和12，则正六边形的面积是．【分析】假设到的距离为，到的距离为，到的距离为，则．再假设正六边形边长为，中心到各边的距离为，则；然后利用面积公式可得出的面积的面积和，再与正六边形比较，得出正六边形的面积是的面积的面积和的三倍，从而得出答案．【解答】解：假设到的距离为，到的距离为，到的距离为，则．再假设正六边形边长为，中心到各边的距离为，则；的面积的面积，正六边形的面积，所以正六边形的面积的面积的面积）；答：正六边形的面积是45，故答案为：45．【点评】解答此题的关键是得出正六边形的面积是的面积的面积和的三倍．【典例二】如图所示的多边形是由一个三角形和三个长方形组成的．已知三个长方形的面积分别是12平方厘米、4平方厘米和6平方厘米．三角形面积是多少平方厘米？【分析】在解答这道题时，可将整个图形补成一个长方形，如图．根据③是6平方厘米，④是4平方厘米，可知③、④面积之比是，根据③、④面积之比是，可知①、②面积之比是，根据②的面积是12平方厘米、①、②面积之比是，可知①的面积是18平方厘米，而三角形的面积是①的一半，可知三角形的面积是9平方厘米．【解答】解：如图，设三角形面积为平方厘米，则答：三角形面积是9平方厘米．【点评】此题中将整个图形补成一个长方形是解答的关键，另外解答过程中还运用了比例的基本性质．【典例三】水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器和，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器、底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器，如果打开连通管，水管向容器注水6秒钟后，容器中水的高度是多少呢？取【分析】根据圆柱的体积公式，求出容器的容积是：（立方厘米），容器的底面积是：（平方厘米），5秒钟后中的水流到容器了，用流到容器中水的体积除以容器的底面积，即为容器中水的高度，据此解答即可．【解答】解：容器的容积是：（立方厘米）；容器的底面积是：（平方厘米）；流到容器的体积是：（立方厘米）；容器中水的高度是：（厘米）；答：容器中水的高度是2.56厘米．【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到容器中水的体积．一．选择题（共4小题）1．如果图中每个小方格代表，那么大长方形的面积是．A．56 B．60 C．58 D．66【分析】由图形观察可知，这个长方形沿着长有11个方格，沿着宽有6个方格，所以共有个方格，平方厘米．由此解答即可．【解答】解：，，（平方厘米）；答：大长方形的面积是66平方厘米．故选：．【点评】本题根据求出有多少个小正方形可以组成这个大长方形，然后进一步求出面积．2．轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成内径（内侧直径）为10厘米，外径（外侧直径）为30厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的长是A．4.25厘米 B．5厘米 C．4厘米 D．4.5厘米【分析】根据圆柱的体积底面积高求出圆柱形钢锭的体积，轧制成无缝钢管，体积不变，无缝钢管的底面是环形，根据环形的计算公式求出底面积，然后用体积除以底面积即可．【解答】解：1米厘米（厘米）（厘米）（厘米）（厘米）答：这种无缝钢管的长是4.5厘米．故选：．【点评】本题考查了体积的等积变形问题，关键是掌握圆柱的体积计算公式，注意单位的统一，和计算的简洁．3．把一个高为的圆锥形容器装满水，将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里，水的高度是A． B． C． D．【分析】圆锥的体积底面积高，圆柱的体积底面积高，再据这些水的体积不变，即可求出倒入圆柱中的水的高度．【解答】解：设圆锥的底面积为，圆柱的高为，则圆锥的体积为（立方厘米），因为圆柱与圆锥等底，所以圆柱中水的高为：（厘米），答：水的高度为8厘米．故选：．【点评】此题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法，关键是明白：水的体积不变．4．把割补成后，面积A．不变 B．变大了 C．变小了 D．无法判断【分析】割补前平行四边形的面积等于底乘高，把平行四边形从它的一个顶点沿高割下一个三角形，三角形的底是平行四边形底的一部分，高是平行四边形这条底上的高；割补后的长方形的长是原平行四边形的底，宽是平行四边形的高，长方形面积等于长乘宽，割补前后面积可比较。【解答】解：割补前平行四边形面积底高割补后长方形的长原平行四边形的底，宽原平行四边形的高，长方形面积长宽原平行四边形的底原平行四边形的高平行四边形面积长方形面积故选：。【点评】熟悉平行四边形面积与长方形面积计算公式是解决本题的关键。二．填空题（共7小题）5．用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，两个物体的体积一样大．【分析】用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，只是形状发生了变化，物体的材质没有变，也就是体积没有变，所以两个物体的体积一样大．【解答】解：根据分析可得，捏成正方体和圆柱体，只是形状发生了变化，物体的材质没有变，也就是体积没有变，表面积变了，但两个物体的体积一样大．故答案为：体积．【点评】本题考查了简单的体积的等积变形，注意只要物体的材质没有变，它的体积就不变．6．一个圆柱铅块和一个圆锥铅块等底等高，它们可以熔铸成一个长8厘米、宽3厘米、厚2厘米的长方体，那么圆柱的体积是36立方厘米，它们的体积相差立方厘米．【分析】根据题意，长方体的体积就是圆柱铅块和圆锥铅块的总体积，即（立方厘米）；因此等底等高的圆锥体的体积是圆柱体体积的，因此圆柱的体积为（立方厘米），它们的体积相差（立方厘米），解决问题．【解答】解：总体积：（立方厘米），圆柱的体积：，，，（立方厘米）；，，（立方厘米）．答：圆柱的体积是36立方厘米，它们的体积相差24立方厘米．【点评】此题灵活运用了圆柱体、圆锥体以及长方体体积公式，进行解答．7．在推导平行四边形面积时应用的思想方法是转化思想，把平行四边形沿着一条高剪开，把左边部分移到右边，拼成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的，长方形的宽等于平行四边形的。【分析】根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把平行四边形沿高剪开，分成两部分，把三角形通过平移可以把这两部分拼成一个长方形。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形的面积长宽，所以平行四边形的面积底高。据此解答即可。【解答】解：在推导平行四边形面积时应用的思想方法是转化思想，把平行四边形沿着一条高剪开，把左边部分移到右边，拼成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。故答案为：转化思想；底，高。【点评】本题考查平行四边形面积公式的推导过程。8．如图中、、、分别是边、、、上的三等分点，如果阴影部分面积为10平方厘米，则四边形的面积等于18平方厘米．【分析】如图所示，连接、，则和等底不等高，而和也是等底不等高，则其面积比就等于对应高的比，同理和以及和也是等底不等高，其面积比就等于对应高的比，以此类推，得到四个空白三角形的面积占四边形面积的几分之几，也就能求出阴影部分的面积占四边形面积的几分之几，这样就能求出四边形的面积．【解答】解：如图，连接、，根据面积的关系：，而，所以；同理，则四边形；同理，四边形，所以阴影部分是四边形面积的，，，四边形的面积是（平方厘米）．答：四边形的面积是18平方厘米．故答案为：18．【点评】解答此题的关键是：将图形进行分割，利用等底不等高的三角形的面积，其面积比就等于对应底的比，即可求出空白三角形的面积是总面积的几分之几，进而得出阴影部分的面积是总面积的几分之几，从而求得总面积．9．如图，把平行四边形沿着高分成两个部分，通过的方法，可以把这两个部分拼成一个。它和平行四边形相比，没变。【分析】根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把平行四边形沿着高分成两个部分，通过割补的方法，可以把这两个部分拼成一个长方形或正方形。它和平行四边形相比，周长变了，面积没变，它的长等于平行四边形的底，它的宽等于平行四边形的高，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式。据此解答。【解答】解：把平行四边形沿着高分成两个部分，通过割补的方法，可以把这两个部分拼成一个长方形或正方形。它和平行四边形相比，面积没变。故答案为：高；割补；长方形或正方形；面积。【点评】本题考查了等积变形的应用。10．有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料40立方厘米．【分析】由图形可得，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的，再根据一个数乘分数的意义，用乘法列式解答即可．【解答】解：（立方厘米）故答案为：40立方厘米．【点评】解答此题关键是理解：左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，进而求出瓶中的饮料的体积占瓶子容积的几分之几．11．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块体积是1立方分米，这堆小方块的总体积是12立方分米，露在外面的面积是．【分析】（1）通过观察可以看出一共有12个小正方体，因为每个小方块体积是1立方分米，所以用1乘12即可得出这堆小方块的总体积；（2）可以从前后左右上五个方向观察各有几个小正方形的面，求出总个数就比较容易求出露在外面的面积．【解答】解：（1）（立方分米），（2）前后面：（个，左右面：（个，上面：6个，共有：（个，因为每个小方块体积是1立方分米，所以棱长是1分米，露在外面的面积是：（平方分米）；答：这堆小方块的总体积是12立方分米，露在外面的面积是34平方分米．故答案为：12，34平方分米．【点评】本题第二题比较容易出错，但是只要分类从五个方向观察，转化为求若干个小正方形的面的面积就容易了．三．解答题（共8小题）12．同学们在研究平行四边形面积的计算公式时，想到了如图方法：（1）哪位同学的方法可以推导出平行四边形面积的计算公式，就请在这位同学名字下面的括号里划“”。（2）本学期学习三角形、梯形的面积计算公式时是怎样推导的？请你选择其中一种平面图形，用画图和文字叙述的方式简要表示出它的推导过程。【分析】（1）推导平行四边形面积公式时，把平行四边形沿高剪开，把剪开图形向右平移，拼成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，所以平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积等于底乘高。通过图示可知，红红和军军的推导过程符合等积转化，都能计算出平行四边形的面积；而丽丽直接把平行四边形拉伸为长方形，长方形的长和平行四边形的底相同，但长方形的宽也就是平行四边形的高是要小于平行四边形的边长的，依据是在直角三角形中，直角边长小于斜边长，在平行四边形内任意作一条高可知，其长度小于，即长方形的宽小于，故丽丽的推导不正确。（2）通过梯形剪切后旋转平移后成为长方形，用长方形的面积即可推导出梯形面积公式。【解答】解：（1）如下图所示：（2）如下图所示：在梯形中，沿点作边上的高并把三角形剪开后经过旋转180度后平移到原梯形的右侧拼接成长方形。在长方形，因为，所以，又，所以，即因为长方形的面积长宽（上底下底）高梯形的面积【点评】本题考查了等积转化的应用。13．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。我国数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法加以说明。（1）如图用“以盈补虚”的方法将三角形转化成长方形进行计算，你能找到三角形和长方形之间的哪些联系？（至少写2条）（2）请你将如图方格图中的梯形也用“以盈补虚”的方法转化为长方形，并在图中画一画。【分析】（1）根据图示可知，长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形的底的一半，长方形的面积等于三角形的面积，据此回答；（2）通过“以盈补虚”的方法把梯形转化为长方形即可。【解答】解：（1）长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形的底的一半，长方形的面积等于三角形的面积；（2）【点评】本题考查了等积转化的应用。14．如图，已知大圆半径为，四个小圆的面积相等．阴影部分面积是多少平方厘米？（分合割补法）【分析】每个小圆中有两个空白椭圆形，将它们平均分成两部分，则圆中的阴影部分可补到空白部分，则每个小圆中的阴影部分可割补成一个阴影小正方形，4个阴影小正方形组成了一个大阴影正方形，大正方形的对角线就是大圆的直径，正方形的面积对角线对角线，据此解答．【解答】解：阴影部分的面积：，，，．答：阴影部分的面积是72平方厘米．【点评】本题的关键是把不规则阴影部分的面积通过分合割补的方法转化为一个正方形的面积进行求解．15．雨哗哗地不停地下着．如果在雨地放一个如图1那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它灌满要用1小时．雨水灌满图2容器各需多长时间？【分析】（1）图1只要根据长方体的容积（体积）公式“长方体的体积底面积高”代入数字，然后求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出；（2）图②、图③可以看做是一个长20厘米、宽10厘米、高10厘米的长方体，和棱长为10厘米的正方体．根据长方体的体积底面积高，正方体的体积棱长棱长棱长（底面积高）；求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出．【解答】解：图①所示的容积中，容积：接水面积，需1小时接满；图②所示的容器中，容积：接水面积，需3小时接满；图③所示的容器中，容积：接水面积，需1.5小时接满；答：雨水灌满图2的容器需3小时、雨水灌满图3的容器需1.5小时．【点评】此题考查了组合图形的体积的计算方法，掌握长方体和正方体的体积公式是解决此题的关键．16．某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？【分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据正方体的体积公式求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此解答．【解答】解：（厘米）答：这个零件的高是25厘米．【点评】此题主要考查长方体的、正方体的体积公式的灵活运用，注意正方体铁块铸成长方体零件时体积不变．17．一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？【分析】因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同．将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高为厘米的圆柱的体积，因而酸奶占32.4立方厘米的，由此算出瓶内酸奶的体积．【解答】解：（厘米