第13讲函数的应用（原卷版）

第13讲函数的应用【学习目标】1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．3.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．4.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．5.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．【基础知识】一、函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．2.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．3.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．4.若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．【解读】1.一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝eq\f(1,x)来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然y＝eq\f(1,x)在(－1,1)内没有零点．2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解C．3.函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．4.函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.5.如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．二、二分法1.对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间eq\o(□,\s\up1(03))一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2.二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点C．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．三、函数模型1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题．(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势eq\o(□,\s\up1(04))进行预测．2.用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：3.数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．【考点剖析】考点一：确定函数零点个数A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B考点二：确定函数零点所在区间【答案】C考点三：根据函数零点满足条件求参数范围考点四：二分法的应用A．1 B． C．0.25 D．0.75【答案】C考点五：一次函数与二次函数模型【答案】150考点六：指数函数模型(1)求常数的值；(2)设需要小时污染物减少到40%，废气中的污染物减少到40%约需要20h．考点七：对数函数模型例7．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2019年冬有越冬白鹤（

）A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只【答案】C考点八：分段函数模型(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.考点九：函数模型的选择例9．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：现有如下个模拟函数：请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．【答案】④【真题演练】2.（20212022学年重庆市石柱中学校高一上学期月考）某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过元不予以折扣；②如一次性购物超过元但不超过元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过元的，其中元给予折优惠，超过元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（

）0123若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（

）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44说法正确的序号是___．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.【过关检测】A．3.6小时 B．3.8小时 C．4小时 D．4.2小时4.（20212022学年天津市河西区高一上学期期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（

）A．17 B．18 C．19 D．205.（多选）（20212022学年贵州省黔东南州高一上学期期末）若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为(

)A．－2 B．0 C． D．－6.（多选）（20212022学年广东省茂名市“五校联盟”高一上学期期末联考）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（

）A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多8.端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午