数学高考备考课件第三章不等式31

§3.1

不等关系与不等式第三章

不等式基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.两个实数比较大小的方法知识梳理>＝<>＝<2.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔____⇔传递性a>b，b>c⇒____⇒可加性a>b⇔_________⇔可乘性⇒_____注意c的符号⇒_____b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bc同向可加性⇒__________⇒同向同正可乘性⇒______⇒可乘方性a>b>0⇒_____(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒_______(n∈N，n≥2)a＋c>b＋dac>bdan>bn3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质<<><<(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.(

)(2)若

>1，则a>b.(

)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(

)(4)a>b>0，c>d>0⇒.(

)(5)若ab>0，则a>b⇔<.(

)基础自测√××√12456√3124563√⇒a>b⇒a2>b2，124563.[P75B组T1]若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，

，2ab，a2＋b2从小到大排列为_________________.3124563解析∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a124563a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，∴a2＋b2<b，124563√解析

∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，5.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件12456√3解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝

.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A.124563(－π，0)题型分类深度剖析1.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是A.c≥b>a

B.a>c≥bC.c>b>a

D.a>c>b题型一比较两个数(式)的大小自主演练√解析∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b>a，∴c≥b>a.√且a2＋5a<a2＋5a＋6，∴P2<Q2，又P，Q>0，∴P<Q，故选C.√解析方法一易知a，b，c都是正数，所以b>c.即c<b<a.易知当x>e时，函数f(x)单调递减.因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.思维升华题型二不等式的性质师生共研解析当a>0>b时，B不正确，当0>a>b时，C不正确，当c＝0时，D不正确，由不等式的性质知A正确，故选A.√√构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴ac<bc，②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.解决利用不等式的性质判断不等式是否成立问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.思维升华其中正确的不等式是A.①④

B.②③C.①③

D.②④√显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；④中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.题型三不等式性质的应用多维探究命题点1应用性质判断不等式是否成立典例(1)若a<b<0，则下列不等式中不成立的是√解析∵a<b<0，对于B，令a＝－3，b＝－1，满足a<b<0，√解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立.故选A.方法二令a＝3，b＝2，命题点2求代数式的取值范围典例已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是______.(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.(1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.思维升华跟踪训练(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故选C.√＝4x2＋y2－4x－2y＋4xy＋2＝(2x＋y)2－2(2x＋y)＋2＝(2x＋y－1)2＋1.设x＝2cosθ，y＝2sinθ，则2x＋y＝4cosθ＋2sinθ典例设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.利用不等式变形求范围现场纠错错解展示：由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11.所以f(－2)的取值范围是[4,11].错误答案[4,11]现场纠错解析方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.答案[5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.课时作业基础保分练123456789101112131415161.(2017·浙江“七彩阳光”新高考联盟测试)若a，b为实数，则“3a<3b”是“a<b＋1”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析由3a<3b⇒a<b⇒a<b＋1，但a<b＋1不能得到a<b，即不能得出3a<3b，∴“3a<3b”是“a<b＋1”的充分不必要条件.123456789101112131415162.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是A.f(x)＝g(x) B.f(x)>g(x)C.f(x)<g(x) D.随x值的变化而变化解析

f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则f(x)>g(x).√3.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是A.a－b>0 B.a3＋b3>0C.a2－b2<0 D.a＋b<012345678910111213141516√解析由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立.故选D.4.若6<a<10，

≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是A.9≤c≤18 B.15<c<30C.9≤c≤30 D.9<c<3012345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析当c＝0时，ac2＝bc2，选项A是假命题；若a3>b3且ab<0，若a2>b2且ab>0，12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析取a＝2，b＝1，排除B与D；在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.123456789101112131415168.(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是A.ax＋by＋cz

B.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cx

D.ay＋bx＋cz√解析令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.123456789101112131415169.已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是_____________________.≤a1b2＋a2b1a1b1＋a2b2解析a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.12345678910111213141516①②③12345678910111213141516解析∵ab>0，bc－ad>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.12345678910111213141516z>y>x解析方法一y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.1234567891011121314151612.已知－1<x＋y<4,2<x－y<3，则3x＋2y的取值范围是_________.12345678910111213141516解析设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)