用空间向量解决立体几何问题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页用空间向量解决立体几何问题【2023上・浙汇台州・高二校考阶段练习】如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，分别是上的动点，且，则的最小值是______．角度一、以为基底，利用空间向量的数量积、模长公式及二次函数的性质求最值即可；角度二、以为基底，利用空间向量的数量积、模长公式及二次函数的性质求最值即可；角度三、作于，于，以为基底，利用空间向量的数量积、模长公式及二次函数的性质求最值即可；角度一、

基底Ⅰ，设．，，，在时取得最小值，故．角度二、基底Ⅱ：设，，，在时取得最小值，故．感悟反思：法二与法一几乎一样，都是选择基底对目标向量进行拆分，法二选择的基底的三个向量两两夹角已知，更加简洁.角度三、作垂线：在平面内过作于，在平面内过作于，设，，，在时取得最小值，故．感悟反思：二面角条件非常适合在面内作两面交线的垂线．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得.【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，，设圆柱的底面圆半径为，则，解得，于是，由，得，所以、两点间的距离为.故选：C

【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键.（2024下·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（

）A．24 B．25 C．48 D．50【答案】D【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果.【详解】因为正四面体的棱长为，所以，同理可得,,又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，,所以，由，则因为，所以当且仅当取等号，此时，所以故的最小值为.故选：D如图所示建空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示结合二次函数的性质计算即可.建系如图，设，，，在时取得最小值，故．（2024·江苏南京·高三金陵中学假期作业）正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（

） B． D．【答案】B【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱中，为的中点，取中点，连接，如图，以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，因为是棱上一动点，设，且，因为，所以，于是令，.所以，.又因为函数在上为增函数，所以当时，即线段长度的最小值为当时，，即线段长度的最大值为，所以线段长度的取值范围为.故选：B.（2023上·全国·高二专题练习）在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为.【答案】【分析】根据平行四边形的边长即角度可得，再由两点的位置关系以及的几何意义，确定出沿折叠过程中三棱锥的体积最大时平面，建立空间直角坐标系利用两异面直线间的距离公式即可计算出结果.【详解】根据题意可知，如下图所示；

由，，利用余弦定理可得，解得，所以满足，即，则又分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，则表示两直线之间的距离，在沿折叠过程中，直线由两平行线变成两异面直线，且两直线间的距离越来越近；当三棱锥的体积最大时，此时平面；即此时两点之间的距离最小，即为两异面直线之间的距离；以点为坐标原点，分别以为轴，轴，以过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，即，设与垂直的一个向量为，则，令，则，可得不妨取，由两异面直线间的距离公式可得的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于把“两点之间的最小距离为”理解成异面直线之间的距离，再利用折叠过程中的位置关系，代入两异面直线距离公式求解即可.已知平面，，求二面角的大小．【答案】【分析】根据点线面的位置关系利用空间向量与二面角定义，借助各线段长度利用向量在几何中的应用即可求得二面角的大小．【详解】如下图所示：

根据题意可得，由二面角定义可得的夹角即为二面角的大小，易知，又；所以，可得，所以；又，可得，所以的夹角，也即二面角的大小为.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为．【答案】【详解】在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，则∵中，，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，故答案为.（2024上·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，假定的坐标，结合已知解出的坐标，利用线线角的向量求法求解即可.【详解】如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，，故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，设，，易知底面圆方程为，则，，故，，故，设到面的距离为，设面的法向量，故有，，解得，，，故，由点到平面的距离公式得，已知四面体的体积为，故得，解得(负根舍去)，易得，故，，，，设直线与所成角为，故有.故选：D（2024·全国·高一专题练习）柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为的柏拉图多面体，点，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：取的中点，连接，，求得，，则可求得，进一步求得,按向量夹角公式求解即可；法二;接，，交于点，连接.分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，,用向量夹角公式坐标运算求解即可【详解】方法一

由柏拉图多面体的性质可知，四边形，均是边长为的正方形，柏拉图多面体的侧面均为等边三角形.如图（1），取的中点，连接，，则.同理可得.所以取的中点，连接，，则，且又点为的中点，且，所以且，则四边形为平行四边形，所以.同理可得.设，的夹角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.故选:方法二

连接，，交于点，连接.易知平面.因为，，所以如图（2），以点为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为点，，，分别为，，，的中点，所以，，，，则，,设，的夹角为，则即异面直线与所成角的余弦值为.故选：【点睛】方法点睛：若不易将两条异面直线转化为同一平面内的两条直线时，则可利用向量法来求两异面直线所成的角.第一种方法是利用已知向量表示所求向量，第二种方法是建立合适的空间直角坐标系，两种方法最终都转化为求两向量的夹角的余弦值.（2024·全国·高二假期作业）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，易得，，，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为平面，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，，.所以.因为，所以.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.（2024·全国·高二专题练习）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（

）

若，则∥平面 B．若，则当最小时， D．当最大时，【答案】C【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断.【详解】因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，且平面，可得，又因为N在侧面上（包含边界），设，且，可得，又因为，可得，且.对于选项A：若，则，可得点即为点，显然平面，故A错误；对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点），由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误；过作，垂足为，可得，，

因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，可得，对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时，可得，故C正确；对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时，可得，故D错误；故选：C.【点睛】关键点睛：1.设，且，根据空间向量基本定理分析可得，方便建立关系；2.分析可得平面，则，将的大小转化为的大小.（2024·广东深圳·深圳中学校考一模）已知是正四面体的外接球的一条直径，点在正四面体表面上运动，正四面体的棱长是2，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意可求得外接球半径为，利用可得，由几何关系求出的最值即可求出的取值范围.【详解】如下图所示：

设点在平面内的摄影为，为的中点，易知在上，且平面；又正四面体的棱长是2，所以可得，在正中，由勾股定理可得；设外接球半径为，则可知，即，解得；易知，又因为是外接球的一条直径，所以，且；因此，易知，所以，；因此可知的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题关键在于利用极化恒等式将化为，再利用正四面体性质求出的最值即可求出的取值范围.（2024上·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为．【答案】【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度.【详解】结合题意：连接交于点,交于点,连接由正四棱台的结构特征,易知两两垂直，故以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为在正四棱台，所以易计算得到：，，所以，,因为是的中点,所以，所以.要使M、P、Q三点共线，则，共线，则，解得：，所以，,所以，所以.故答案为:

（2024·全国·高二假期作业）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为.

【答案】【分析】取空间的一个基底，设正方体的棱长为，是平面的一个方向向上的单位法向量.由题得在方向上的投影