第6讲 统计概率- 《温故知新》2025-2026学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）（原卷版）

第6讲统计概率考点一简单随机抽样【例1-1】（24-25上海）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行:66

67

40

37

14

64

05

71

11

05

65

09

95

86

68

76

83

20

37

9057

16

03

11

63

14

90

84

45

21

75

73

88

05

90

52

23

59

43

10若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（

）.A．09 B．05 C．65 D．71【例1-2】（2025·内蒙古通辽）某中学有高中生1000人，初中生3000人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为（

）A．5 B．10 C．20 D．30【变式】1．（2025河南）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（

）A．20人 B．30人 C．40人 D．50人2．（24-25上海·期中）设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为.5044664421

6606580562

6155643502

4235489632

14524152482266221586

2663754199

5842367224

5837521851

03371839113．（24-25上海）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是．1676622766

5650267107

3290797853

1355385859

88975414101256859926

9682731099

1696729315

5712101421

88264981765559563564

3854824622

3162430990

0618443253

2383013030考点二用样本估计总体【例2-1】（24-25湖南）（多选）春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（

）A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为145 D．第85百分位数为170【例2-2】（24-25天津市）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（

）A． B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分【例2-3】（2025·陕西安康）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（

）A． B．C． D．【变式】1．（2025·甘肃平凉）（多选）某运动员在一次训练中共射击6次，成绩（单位：环）如下：，则下列说法正确的是（

）A．成绩的众数是10B．成绩的中位数与成绩的平均数相同C．成绩的分位数和分位数相同D．若增加一个成绩8环，则成绩的方差不变2．（2025·河北）（多选）某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，，⋯，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（

）A．这180天中日收入不低于8万元的有54天B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表）D．这组数据的第75百分位数为8.5万元3．（2025·河北秦皇岛）（多选）已知一组样本数据，，…，，…，，，则下列说法错误的是（

）A．，，…，的下四分位数为B．，，…，的中位数为C．，，…，的平均数小于，，…，的平均数D．，，…，的方差为，，…，的方差的倍考点三事件的关系与运算【例3】（2025山东）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2025江西）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）2．（2024广西）设某随机试验的样本空间，事件，，，求下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)．考点四概率的性质【例4-1】（24-25江苏盐城·阶段练习）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若互斥，则 D．若对立，则【例4-2】（24-25广东佛山·期中）已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（

）A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7【例4-3】（24-25浙江杭州）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24浙江舟山）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（

）A． B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（

）A．对立事件一定是互斥事件B．若A，B为两个随机事件，则C．若事件A，B，C彼此互斥，则D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件4．（24-25重庆）（多选）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（）A． B． C． D．5．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）（多选）已知事件两两互斥，若，则（

）A． B． C． D．考点五古典概型【例5】（2025陕西）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．(1)求a、b的值；(2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率．【变式】1．（24-25贵州·阶段练习）某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示．(1)求的值；(2)估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到）(3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出人作为代表发言，求这人中至少有人的年龄在的概率．2（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下：一周课外读书时间/h合计频数46101214244832频率0.020.030.050.060.070.120.250.161(1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．(2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人．①求每层应抽取的人数；②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；(3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率.考点六互斥与对立事件【例6-1】（24-25河南信阳·期末）（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（

）A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件【例6-2】（24-25湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（

）A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖【变式】1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（

）A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件2．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（

）A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生3．（2024安徽）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（

）A．为对立事件 B．为互斥不对立事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件考点七事件的相互独立性【例7-1】（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是.(1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率；(2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；(3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率.2．（24-25高一上·辽宁·期末）学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立．(1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率；(2)求学生甲两题均答对的概率．【变式】1．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打4个球甲赢的概率;(2)求该局打5个球结束的概率．2．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．3（24-25四川成都·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.(1)求第3次投篮者为乙的概率；(2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.单选题1．（24-25河南周口）某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（

）A．20 B．30 C．40 D．482．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（

）A．总体是200 B．个体是每一名学生C．样本是40名学生 D．样本容量是403．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（

）A． B． C． D．4．（2025·新疆喀什·模拟预测）若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则样本数据的平均数与方差分别为（

）A．3，4 B．2，4 C．3， D．2，5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（

）A． B． C． D．6．（2025甘肃）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（

）A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品7．（24-25山东淄博）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（

）A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10多选题9．（2025海南）港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则（

）

A．老年旅客抽到100人 B．中年旅客抽到20人C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过20010．（2025·安徽·模拟预测）一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（

）A．该组数据的平均数为50 B．该组数据的中位数为50C．该组数据的方差为3 D．该组数据的第80百分位数为51.511．（2025·江西南昌）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史､关键技术及其在科学研究､社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（

）A．B．估计准确率的分位数为C．估计准确率的平均数为D．估计准确率的中位数为12．（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（

）A． B． C． D．13．（24-25浙江杭州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（

）A．A与C互斥 B．B与C对立 C．A与B相互独立 D．填空题14．（24-25上海·期中）某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93．则这组数据的60百分位数为．15．（2024·广东深圳）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本.已知男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为.经计算可知所有样本的均值为，则所有样本的方差为.16．（24-25上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有.①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”.解答题17．（24-25四川德阳·阶段练习）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求a的值(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.18．（23-24高一下·吉林·期末）随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率；(3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差.参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，.19．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模