河南省焦作市博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

第第页河南省焦作市博爱县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={−2，−1，0，A．{1，3} B．{0，2．复数z满足z1+2A．8+i B．8−i C．−4+i3．已知向量a=(1，2A．-1 B．0 C．1 D．任意实数4．函数f(A． B．C． D．5．圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的43A．8 B．47 C．37 6．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（）A．60 B．66 C．72 D．807．已知a<5且ae5=5eaA．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c8．已知F1，F2为椭圆C：x2A．x26+y22=1 B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（）

A．成绩在[70B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分10．已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)（ ω 为正整数，A．−π6是函数B．函数f(x)C．方程f(x)D．函数f(x)11．已知抛物线x2=2py(A．抛物线的方程是x2=2y C．sin∠QMN的最小值是1212．已知三棱柱ABC−A1B1CA．BB1B．AB=AC．平面A1BD．球O的表面积为24π三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．在(1x+2x)714．已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x+215．已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项和为Sn，且S216．已知双曲线C：x2a2−y四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}（1）若S1=2，Sn+1（2）在（1）的条件下，若bn=log2an18．已知数列{an}（1）记bn=an−1（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求19．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，（1）求A到平面A1（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A20．已知双曲线x2（1）试问过点N(（2）直线l：y=kx+m(k≠±2)与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A21．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线C：x2=2py(（1）求抛物线C的方程；（2）记曲线9x22．已知函数f(x)（1）写出函数f(x)（2）当x≥1时，函数g(x)=a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根据题意，B={x∣x2-4x+3=0}={1，3}，∴A∪B={-1，1，2，3}，∴∁U(A∪B2．【答案】B【解析】【解答】根据题意，z=(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i+6=8+i，∴z的共轭复数为8-i.

故答案为：B．

【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的感念求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】根据题意，a→-2b→=1+2×1，2-2×1=3，0，∵a4．【答案】A【解析】【解答】f(-x)=3--x2ln-x2+1=3-x2lnx2+1=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除D，当x=5．【答案】A【解析】【解答】设圆锥底面半径r，母线l，轴截面顶角θ(0＜θ＜π)，

∴πrl=43πr2，即l=43r，

∴sinθ2=rl=34>22=sinπ4，

∵6．【答案】C【解析】【解答】5人安排3舱，每舱至少1人最多2人，共有C51C31C47．【答案】D【解析】【解答】因为ae5=5ea令f(x)=e当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1故f(x)在(0，1)因为ae5=5ea， 故0<a<1，同理0<b<1，0<c<1，f(4)=f因为f(5)<f(4)所以0<a<b<c<1，故答案为：D．

【分析】因为ae5=5ea， a<5，故8．【答案】A【解析】【解答】设椭圆半焦距c，A(x，y)，则x=c·cos30°=32c，y=c·sin30°=12c，即A(32c，12c)，代入椭圆方程可得3c24a2+c24b2=1，又∵S△F1AF2=2，∴S=12×2c×9．【答案】A,B,C【解析】【解答】A、根据频率分布直方图，成绩出现在[70，80]的频率最大，考生人数最多，A正确；

B、不及格考生数为10×(0.010+0.015)×4000=1000，B正确；

C、根据频率分布直方图估计考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5，C正确；

D、0.1+0.15+0.2=0.45<0.5，0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5，故考生竞赛成绩的中位数为70+0.5-0.45×10≈71.67，D错误；

故答案为：ABC．

【分析】根据频率分布直方图，结合题意依次计算判断即可.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、∵f(x)=sin(2ωx+φ)，T∈(3π4，3π2)，∴3π4<2π2ω<3π2，即23<ω<43，又∵ω为整数，∴ω=1，∴f(x)=sin(2ωx+φ)的图象向右平移π6个单位长度后所得图象的函数为g(x)=sin2x-π6+φ=sin2x+φ-π3，根据题意，g(x)关于原点对称，∴φ-π3=kπ(k∈Z)，即φ=kπ+π3(k∈Z)，又∵φ<π2，∴k=0，φ=π3，∴f(x)=sin(2x+π3)，代入x=-π6，f(-π6)=sin2×-π6+π3=sin0=0，-π6是函数f(x)的一个零点，A正确；

B、f(-5π12)=sin2×11．【答案】B,C【解析】【解答】A、根据题意，抛物线焦点F0，p2准线方程y=-p2，根据E到F的距离为3可得2+p2=3，解得p=2，抛物线方程为x2=4y，A错误；

B、根据A得抛物线准线方程y=-1，B正确；

C、根据A得F0，1，根据题意可知直线l斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y=kx+1，联立y=kx+1x2=4y，解得x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4，∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，∴AB的中点Q的坐标(2k，2k2+1)，AB=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4，∴圆Q的半径r=2k2+2，在等腰△QMN中，sin∠QMN=yQ12．【答案】A,C【解析】【解答】A、根据题意，三棱柱六个顶点都在球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABC，A正确；

B、∵AB1=BC1=CA1=4，∴AB=BC=CA，∵点O到三棱柱所有面的距离都相等，∴三棱柱的内切球与外接球的球心重合，设该三棱柱的内切球的半径为r，则AA1=2r，AB=23r，∴AB=3AA1，B错误；

C、由AB1=4可知BB12+AB2=4r2+12r2=16r2=16，解得r=1（负值舍去），则AB=BC=CA=23，可得△A1B1C1的外接圆半径r2=2，所以平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为2πr2=4π，C正确；

D、三棱柱外接球的半径R=r22+AA122=22+12=5，所以球O的表面积S=4πR13．【答案】448【解析】【解答】由题意，其展开式的通项为Tr+1令2r−7=5，解得r=6，则含x5的系数为2故答案为：448.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得x514．【答案】−1−2【解析】【解答】根据题意，f'(x)=1+2ex，∴f'(1)=1+2e，∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x)在x=-1处的切线斜率与在x=1处的切线斜率互为相反数，∴f'(-1)=-f'(1)=-1-2e.

故答案为：-1-2e．

【分析】利用导数，代入得到f'(1)=1+2e，再根据偶函数对称性求解即可.15．【答案】2021【解析】【解答】解：因a3所以a1q2a1+a1q=4因为1lo所以T2021故答案为：2021

【分析】利用等比数列的通项公式求出数列的公比，然后求解数列{an}的通项公式，化简1lo16．【答案】(【解析】【解答】根据题意可得：2a=4e=ca=2b2=c2-a2，解得a=2b=2c=22，则双曲线C：x24-y24=1，

设直线l：y=kx+m，联立直线l和双曲线C：y=kx+mx24-y24=1，整理得到(1-k2)x2-2kmx-m2-4=0，∆=(-2km)2-4(1-k2)(-m2-4)＞0，所以m2-4k2+4＞0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2=2km1-k2，x1x2=-m2-41-k2，所以x0=km1-k2，y0=m1-k217．【答案】（1）因为S1=2，所以Sn+1+2=2(所以数列{S所以Sn∴S当n≥2时，Sn−1=2当n=1时，a1所以an=2（2）由（1）知anbn所以Tn则1T所以1T1所以1T【解析】【分析】(1)根据Sn+1=2Sn+2得出Sn，再根据an=a1n=1Sn-Sn-1n>1求解出{a18．【答案】（1）由Sn+1−3a即an+1∴a即bn+1又∵b∴数列{b∴b（2）由(1)知anTn=1×3Tn①-②，得−2=1+2×=−2−2(∴T∵aT5∴使不等式Tn【解析】【分析】(1)利用数列前n项和与第n项的关系，再根据等差数列的定义证明求解即可；

(2)利用错位相消法，根据数列的单调性求解即可.19．【答案】（1）设点A到平面A1因为直三棱柱ABC−A所以VA−又△A1BC的面积为2所以h=2即点A到平面A1BC的距离为（2）取A1B的中点E，连接AE，则因为平面A1BC⊥平面ABB1A所以AE⊥平面A1BC，所以又AA所以AA1⊥BC，因为AA1所以BC⊥AB.以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）知，AE=2，所以AA1因为△A1BC的面积为22，所以所以A(0，2，0)，B(0则BD=(1设平面ABD的法向量为n=则n⋅BD令x=1，得n=又平面BDC的一个法向量为AE=所以cos〈设二面角A−BD−C的平面角为 θ ，则sinθ所以二面角A−BD−C的正弦值为32【解析】【分析】(1)利用等体积法求高即可得到A到平面A1BC的距离；

(2)取A1B的中点E，连接AE，利用面面垂直的性质定理证明AE⊥平面A1BC，利用线面垂直的判定定理得到BC⊥平面ABB1A1，20．【答案】（1）点N不能是线段ST的中点，假定过点N(1，1)能作一条直线与双曲线交于S，T显然，直线ST的斜率存在，设直线ST的方程为y−1=n(x−1)而双曲线x24−y2由y=nx−n+1x24−y216此时Δ'所以过点N(1，1)不能作一条直线与双曲线交于S，T（2）依题意，由x24−因为k≠±2，且M是双曲线与直线l唯一的公共点，则有Δ=(−2km)2点M(−4km，−16m)因此x0=−20km，y0所以点P(x0，y【解析】【分析】(1)设直线ST：y−1=n(x−1)，与双曲线x24−y216=1联立，利用判别式和中点坐标计算并判断；

21．【答案】（1）焦点F(0，p2)，显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+p2，与x2=2py联立，消去y得x2−2pkx−p故2pk即2pk整理得2pk2(p−1)（2）由题知F(0，12)，D(0，13)，E(−12k，点D到直线AB的距离d=1|DG|所以四边形DEMG的面积S=当且仅当5|k|此时四边形DEMG面积的最小值为3036【解析】【分析】(1)设直线AB为y=kx+P2，与抛物线方程联立得到韦达定理，利用重心的性质求解G的坐标，代入曲线9x2−6y+2=0求解即可；

(2)首先证明四边形DEMG为梯形，求解D到AB的距离、22．【答案】（1）f(x)证明如下：由f(x)=(f'(x)在∴f'(x(x)在∵f(2∴函数f(x)（2）证明：令g(x