第2章 二元一次方程组（基础类型）-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

思维导图第2章二元一次方程组思维导图【类型覆盖】类型一、二元一次方程的定义与解【解惑】下列是二元一次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”，即可解答．【详解】A．是二元一次方程，此选项符合题意；B．是一元二次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意；C．不是二元一次方程，此选项不符合题意；D．是一元一次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意；故选：A．【融会贯通】1．若是二元一次方程的解，则a的值为（

）A． B．5 C．1 D．【答案】B【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知二元一次方程解的定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义把代入到得到关于的方程即可求解．【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解，，，故选：B．2．若关于字母、的方程是二元一次方程，则．【答案】【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．利用二元一次方程定义可得，且，再解即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：，故答案为：．3．已知二元一次方程，当时，．【答案】1【分析】本题关键是将二元一次方程转化为关于y的一元一次方程来解答．当一个未知数的值确定时，即可求出另一个未知数的值．将代入方程中，解出即可．【详解】解：把代入方程，得，解得．故答案为：1类型二、二元一次方程组的定义与解【解惑】下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．【详解】解：、含有三个未知数，不符合题意；、符合二元一次方程组的定义，符合题意；、未知数项的次数是，不符合题意；、未知数在分母上，不是整式方程，不符合题意；故选：．【融会贯通】1．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意；B选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；C选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；D选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意；故选：．2．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组求解．【详解】解：“”可以是：，故答案为：．（答案不唯一，符合即可）【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键．3．写出一个解为的二元一次方程组，可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可．【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．类型三、三元一次方程组的定义与解【解惑】方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据加减消元法求解即可．【详解】解：，由得：，解得：．由得：，解得：．由得：，解得：．故原方程组的解为．故选D．【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．【融会贯通】1．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（

）A．3 B．-3 C．-4 D．4【答案】D【分析】先利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值.【详解】由题意，得：解得：将代入中，得：，解得：.故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.2．已知，，满足，且，则．【答案】【分析】此题考查三元一次方程组的解法，设，则整理得出，，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．【详解】解：设，则，，，代入得：解得：，，故答案为：．3．若，则_________；【答案】【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，解得，∴，故答案为：．类型四、列二元一次方程组【解惑】《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：．故选：B．【融会贯通】1．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组．【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得．故选：C2．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三百，得酒十斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设醇酒为斗，行酒为斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒”列出方程组．【详解】解：依题意得：，故答案为：．3．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是．【答案】/35厘米【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得．【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得：解得：，．类型五、已知二元一次方程组的解求参【解惑】已知是二元一次方程的一个解，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】此题考查了二元一次方程的解．把代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把代入方程，得，解得．故选：B．【融会贯通】1．已知是方程的一组解，则m的值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．把解代入方程，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，解得，故选：B．2．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入，即可求解．【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，∴，解得：，故答案为：．3．如果将二元一次方程组的第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为a，被遮住的x的系数为b，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出a、b的值即可得到答案．【详解】解：设被遮住的y的系数为a，被遮住的x的系数为b，由题意得，方程组的解为，∴，∴，∴原方程组为．类型六、二元一次方程组的应用——古代问题【解惑】列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为，乙带钱的数量为，则可列方程组是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”，即可列出关于x，y的二元一次方方程组，此题得解．【详解】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50，可得，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50可得：，可列方程组．故选：D．【融会贯通】1．《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设合伙人数为x人，金价y，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱．∵每人出钱400，会多出3400，∴；∵每人出钱300，会多出100，∴．联立两方程组成方程组得：，故选：A．2．《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为人，该书的单价为元．【答案】753【分析】本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得，解方程组即可．【详解】解：设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得：，解得．即有学生7人，书的价格为53元，故答案为：7，53．3．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答）【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶．根据题意，得解得；答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶．类型七、二元一次方程组的应用——数字问题【解惑】如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下．甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2．下列判断正确的是（

）A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对【答案】D【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可．【详解】解：由题意得②①得，解得把代入①得，解得，所以，因为，甲：时，，解得，正确；乙：则，即，正确；丙：，正确；故选：D．【融会贯通】1．有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是（

）A．47 B．56 C．63 D．84【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的应用，先设十位上的数字为x，个位上的数字为y，再结合“十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，”进行列式计算，即可作答．【详解】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，得解得这个两位数是63．2．(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是．【答案】【分析】本题考查数字与数位问题，求解不定方程，能正确用字母表示出数字，并根据题意列式是解题的关键．设这个两位数为，则其逆序数为，列出式子，并求解不定方程即可．【详解】解：设这个两位数为，则其逆序数为，根据题意得：，化简得：，又由、的取值只能从到，则其解为：，这个两位数是，故答案为：．3．一个三位数的最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原数的3倍少10，求原数．【答案】284【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是根据题意得出二元一次方程，根据x、y都为正整数，得出方程的解．设十位数为x，个位数为y，分别表示出原数、移动后的数，根据所得的三位数比原数的3倍少10，可得出方程组，解出即可．【详解】解：设十位数为x，个位数为y，由题意得：，整理得：，∵x、y均为正整数，∴，可得原数为284．类型八、二元一次方程组的应用——年龄问题【解惑】年前母亲的年龄是女儿年龄的倍，年后，母亲的年龄比女儿年龄的倍多岁．那么现在这对母女的年龄和是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意，设现在这对母女的年龄分别为岁，岁；根据题意，列出方程，进行解答，即可．【详解】解：设现在这对母女的年龄分别为岁，岁；∴，解得：，∴现在这对母女的年龄和为（岁）．故选：C．【融会贯通】1．一天，小杨问数学老师有多少岁了，老师想了想，说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了．”根据语境，若设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，则可列方程组（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，根据“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了”列方程组即可．【详解】解：设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，由题意得：，故选：D．2．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，则可列方程组为．【答案】【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，列方程组为：，故答案为：．3．有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？【答案】甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁【详解】解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁，依题意，得，解得答：甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁．类型九、解二元一次方程组【解惑】（教材母题变式）用加减法解下列方程组：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了解二元一次方程组．（1）整理方程组，再用加减消元法解方程组即可；（2）两个方程相加得到得，解得．再求出即可．【详解】（1）解：整理，得①-②，得，解得．把代入②，得，解得，所以原方程组的解是（2）①+②，得，解得．②-①，得，解得，所以原方程组的解是【融会贯通】1．解下列方程组：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算．（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．（3）用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）②－①，得，解得．把代入①，得，解得．所以方程组的解是（2）①＋②，得，解得．把代入②，得，解得．所以方程组的解为．（3）①＋②，得，解得．①－②，得，解得．所以方程组的解为2．解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法两种．（1）把①代入②得出，求出，再把代入①求出即可；（2）得出，求出，再把代入求出即可．【详解】（1）解：把①代入②，得，解得：，把代入①，得，所以方程组的解是；（2）解：，，得，解得：，把代入①，得，解得：，所以方程组的解是．3．解下列方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此题考查了解二元一次方程组．（1）由②，得③，利用代入消元法解方程组即可；（2）利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：由②，得．③把③代入①，得．把代入③，得，原方程组的解为（2），得，解得．把代入①，得，原方程组的解为类型十、解三元一次方程组【解惑】解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键．（1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可；（2）先将和消去，解出，再解出和即可求解．【详解】（1）解：，把代入得，联立方程组得，由得，解得，把分别代入得，，原方程组的解为；（2）解：，由，得：由，得：，把代入，得：，把代入，得：，原方程组的解集是：．【融会贯通】1．解下列方程组．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组；（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）利用加减消元法求出解即可；（3）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】（1）把代入得：，解得，把代入得：，∴方程组的解为；（2）得，，解得，把代入得：，∴方程组的解为；（3）得，，解得把代入得：，把，代入得：，∴方程组的解为．2．解下列方程组：(1)(2)解方程组【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握相应方程组的解法是解题的关键；（1）根据加减消元法求解即可；（2）先代入消元，再加减消元求解即可．【详解】（1）解：由得，，解得，把代入得，，解得，原方程组的解为；（2）解：把代入得，联立方程组得，由得，解得，把分别代入得，，原方程组的解为．3．解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，掌握消元法是解题关键．（1）用加减消元法解方程即可；（2）先利用加减消元消去，再利用加减消元算出、的值，最后带入即可求得的值．【详解】（1）解：，得：，解得．把代入①得：，解得：，原方程组的解为；（2）解：得：④，得：，把代入②得：，解得：，把，代入①得：，解得：，原方程组的解为．【一览众山小】1．下列各方程中，是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．利用二元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．【详解】解：方程是二元一次方程，选项A符合题意；B.方程是二元二次方程，选项B不符合题意；C.方程是一元一次方程，选项C不符合题意；D.方程是二元二次方程，选项D不符合题意．故选：2．方程的正整数解有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解题的关键．把方程化为用一个未知数表示成另一个未知数的形式，再根据x、y均为正整数求解即可．【详解】解：方程可化为，x、y均为正整数，且为2的倍数，当时，，当时，，方程的正整数解为，故答案为：B．3．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，，故选：D．4．已知，用含的式子表示的形式是．【答案】/【分析】本题考查的是解二元一次方程的基本运算技能，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．把含有x或y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，