第2章 二元一次方程组（中等类型）-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

思维导图第2章二元一次方程组思维导图【类型覆盖】类型一、二元一次方程组中的相反数求解【解惑】如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键．【详解】解：，得，，∴，∵互为相反数，∴，∴，故选：．【融会贯通】1．已知关于的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（

）①当这个方程组的解的值互为相反数时，．②方程组的解也是关于的方程的解．③无论取什么实数，的值始终等于．④若用表示，则．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键．①令，即可求出的值，验证即可，②根据得，，计算并比较即可；③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可，④用含有、的代数式表示，进而得出、的关系．【详解】解：①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即，，故①正确；②关于，的二元一次方程组，得，，∴，∴方程组的解也是关于的方程的解，故②正确；③关于，的二元一次方程组，得，，解得：，把代入①得：，解得：；，故③正确；④方程组，由方程①得，，把代入方程②得，，整理得：，故④错误．∴正确的个数是3个故选：B．2．已知关于x、y的方程组的解互为相反数，则的值是．【答案】1【分析】本题考查二元一次方程组的解，相反数，根据二元一次方程组的解法将两个方程相加可得，即，再根据方程组的解是互为相反数，得到，即可求出a，再代入计算即可【详解】解：关于x、y的方程组，得，，即，由于方程组的解互为相反数，即，所以，解得，所以，，故答案为：1．3．已知关于x、y的方程组中，x与y的值互为相反数．求m的值及方程组的解．【答案】，【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组，进而根据x、y互为相反数，可得，解方程即可求解．【详解】解：，将①+②，可得，∴，又∵x与y的值互为相反数，∴，解得，∴原方程组为，将③×2，可得，将④×3，可得，将⑥-⑤，可得，解得，将代入③，可得，解得，∴原方程组的解为．类型二、二元一次方程组的解和差关系【解惑】若关于x、y的方程组的解满足方程，那么k的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二元一次方程组．解方程组得出，的值，再代入求解即可得到答案．【详解】解：解方程组，得：，∵方程组的解满足，∴，解得：，故选：B．【融会贯通】1．已知是二元一次方程组的解，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案．【详解】解：将代入二元一次方程组可得：，解得：，，故选：D．2．已知方程组的解满足，则．【答案】【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先利用加减消元法求出，再由得到，解方程即可．【详解】解：得：，即，把代入得：，解得，故答案为：．3．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．【答案】【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，根据题意得到，得到，代入即可求出答案．【详解】解：由题意得：，解得，将，代入，得：，∴，类型三、二元一次方程组的应用——和差倍分问题【解惑】汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（

）A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可．【详解】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据题意得：，解得：则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个，故选：A．【融会贯通】1．甲、乙两水池现共贮水40t，如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（）A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17tC．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t【答案】A【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲水池原先的贮水量是xt，乙水池原先的贮水量是yt，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可．【详解】设甲水池原先的贮水量是xt，乙水池原先的贮水量是yt．根据题意，得，解得；所以甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t．故选A．2．如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为．【答案】20g，30g【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设设每块巧克力的质量为xg，每个果冻的质量为yg，根据题图，可得3块巧克力的质量2个果冻的质量；1块巧克力的质量＋1个果冻的质量50g，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设每块巧克力的质量为xg，每个果冻的质量为yg，则，解得；∴每块巧克力的质量为20g，每个果冻的质量为30g；故答案为：20g，30g．3．用1块A型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板．现需15块C型钢板、18块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？【答案】恰好用4块型钢板，7块型钢板【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设恰好用块型钢板，块型钢板，根据现需15块型钢板和18块型钢板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；【详解】解：设恰好用块型钢板，块型钢板，根据题意得：，解得：．答：恰好用4块型钢板，7块型钢板．类型四、二元一次方程组的应用——幻方问题【解惑】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，图是一个未完成的幻方，则的值是（

）A．0 B． C． D．32【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设图中间的数为，第三行第一个数字为，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，列出二元一次方程组，求出，即可解决问题.【详解】解：设图中间的数为，第三行第一个数字为，由题意得：，由①得：由②得：，，解得：，故选：B.【融会贯通】1．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫做幻和．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你推算出图的值为（

）816357492图①

图②A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：由题意得，解得，∴，故选：C．2．“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则：(1)____________________；(2)的值为__________．xP21y【答案】(1)(2)【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．（1）根据题意和表格中的数据，可以先求出的值；（2）设第一列从上往下第三个数为，则，再求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，，解得，故答案为：；（2）设第一列从上往下第三个数为，则，解得，，，故答案为：．3．[阅读]将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”

[探究](1)若图2为“和m幻方”，则．(2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值．【答案】(1)8，0(2)39【分析】（1）根据幻方的特点即可求出和的值；（2）由幻方的特点得出和，再结合条件建立方程组求出，，，的值，即可得出答案．【详解】（1）解：，，，解得：，故答案为：8，0；（2）由幻方的特征得，，，，，，由幻方的特征得，，，，，，，图3的幻方值为．【点睛】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键．类型五、二元一次方程组的应用——分配问题【解惑】某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（

）甲解：设A印刷机印制了，印刷机印制了．由题意，得乙解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份．由题意，得A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确【答案】C【分析】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组．【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需，∴可列方程；∵资料计划印制10000份，∴可列方程，∴甲和乙列的方程组都正确，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【融会贯通】1．用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（

）．下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：

日期正方形纸板（张）长方形纸板（张）第一次第二次第三次第四次若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（

）A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次【答案】D【分析】设可以做成个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，根据四次领取正方形及长方形纸板的数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再结合，为正整数，即可得出结论．【详解】设可以做成个竖式无盖的不锈钢盒子，个横式式无盖的不锈钢盒子，第一次：，解得：，数据无误；第二次：，解得：，数据无误；第三次：，解得：，数据无误；第四次：，解得：，不符合题意；故选：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个三角形，正方形．【答案】46【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键．设她们摆了x个三角形，y正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可．【详解】解：设她们摆了x个三角形，y正方形，由题意可得：，解得：，所以设她们摆了4个三角形，6正方形．故答案为：4，6．3．端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克：包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克．(1)求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？(2)家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？【答案】(1)包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米(2)小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出方程组或不等式是解题的关键．（1）根据两种不同的包法共需的总糯米克数列出方程组即可．（2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，依据题意列出不等式，求得最大的整数解即可．【详解】（1）解：设包1个蜜枣粽子需要克糯米，包1个鲜肉粽子需要克糯米．根据题意得解得答：包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米（2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，则包个蜜枣粽子．根据题意得：，解得，故取a的最大整数解10．答：小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子．类型六、二元一次方程组的应用——工程问题【解惑】为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键．【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得，，解得：，答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．【融会贯通】1．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：甲：；乙：根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示______，y表示_______；乙：x表示______，y表示______．(2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程）【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数；(2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用．（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可；（2）选择其中一个方程组解答解决问题．【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为；乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为；故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数；（2）解：选甲同学所列方程组解答如下：，得，解得，把代入①得，所以方程组的解为，A工程队整治河道的米数为：，B工程队整治河道的米数为：；答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．选乙同学所列方程组解答如下：由题意可得，解得，答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．2．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？(2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由．【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元(2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可；（2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可．【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，依题意得：，解得：，所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元．（2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n，由题意得，解得：，所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天．选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）；选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）；选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）．因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营．3．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成．(1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示，y表示；(2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数；(2)甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．（1）根据题意和小红同学列出的方程组可以解答本题；（2）利用小芳的思路列出的方程组为，再进一步解答即可．【详解】（1）解：根据方程组中第二个方程可得是与甲队每天修建的长度相乘，是与乙队每天修建的长度相乘，这样可得出、分别是甲、乙两队各自修路的天数，从而得到；∴x表示：甲队修路的天数；y表示：乙队修路的天数；（2）解：设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路，∴方程组为：，由①得，③，将③式代入②式得，，解得，，∴，∴方程组的解为，所以，甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天．答：甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天．类型七、二元一次方程组的应用——行程问题【解惑】小王沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆公交车，每隔迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？【答案】公交车总站发车间隔的时间是【分析】本题考查了路程问题和二元一次方程组的应用．是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，准确的找到相等关系列出方程组是解题的关键．有下列隐含的等量关系：①迎面驶来的两车距离（车速+人速）；②背后开来的两车距离（车速—人速）；③迎面驶来的两车距离=背后开来的两车距离；④同向的两车距离=车速×发车间隔时间．【详解】解：方法一：设公交车的速度为，小王行走的速度为，发车间隔的时间为，则化简得，即．把代入，得即解得．所以公交车总站发车间隔的时间是．方法二：设同向行驶的相邻两车的间距为，发车间隔的时间为，小王行走相邻两车间距所用的时间为，则化简得，得解得．所以公交车总站发车间隔的时间是．【融会贯通】1．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，就会迟到；如果他以的速度行驶，则可提前到达乙地．求甲、乙两地之间的距离以及甲地到乙地的规定时间．【答案】甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据路程速度时间列方程组是解题的关键．设甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为，再由路程速度时间列方程组求解即可．【详解】设甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为，由题意可得，即，整理得，解得，甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为．2．已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论．【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得：，解得：，答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、．3．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：（1）火车完全在主桥上的时间为35秒．（2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒．知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？【答案】次列车的长度为，速度为．【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案．【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得：，解得：答：次列车的长度为，速度为．类型八、二元一次方程组的应用——利润问题【解惑】在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元．(1)求A产品和B产品的单价；(2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？【答案】(1)A产品的售价300元，B产品的售价200元(2)出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．（1）设A产品的售价x元，B产品的售价y元，根据出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元，列出方程组进行求解即可；（2）设出售A产品a件，则出售B产品b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可．【详解】（1）解：设A产品的售价x元，B产品的售价y元，由题意得，解得，答：A产品的售价300元，B产品的售价200元；（2）解：设出售A产品a件，则出售B产品b件，由题意得，，化简得，，∵a，b为正整数，∴或，答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件．【融会贯通】1．某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进8件型童装和5件型童装需用2200元；若购进4件型童装和6件型童装需用1520元．求每件型童装和每件型重装的进价各多少元？【答案】每件型童装的进价为200元，每件B型童装的进价为120元．【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设每件型童装的进价为x元，每件B型童装的进价为y元，根据购进8件型童装和5件型童装需用2200元；购进4件型童装和6件型童装需用1520元建立方程求解即可．【详解】解：设每件型童装的进价为x元，每件B型童装的进价为y元，由题意得，，解得，答：每件型童装的进价为200元，每件B型童装的进价为120元．2．春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示：类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)A3045B5080求：(1)购进A、B两种饮料各多少箱？(2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？【答案】(1)购进A种饮料100箱，B种饮料300箱(2)10500元【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准题干的等量关系．（1）设商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）由(1)及题意可直接进行求解．【详解】（1）解：设购进A、B两种饮料分别为x和y箱，则，解方程组可得，答∶该商场购进A种饮料100箱，B种饮料300箱；（2）解：（元），答：该商场售完这400箱饮料，可获利10500元．3．2024年家电“以旧换新”促消费活动正火热进行中，凡购买一级能效家电可获得的财政补贴，小张购买了一台甲品牌的一级能效家电，小刘购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元．(1)购买的甲、乙品牌的一级能效家电售价各是多少元？(2)小张和小刘除财政补贴外实际各需付款多少元？【答案】(1)甲，乙品牌一级能效家电的售价分别为2600元和3000元(2)小张实际付款2080元，小刘实际付款2400元．【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解．（1）设甲品牌的一级能效家电售价为元，乙品牌的一级能效家电的售价为元，根据购买了一台乙品牌的一级能效家电，两人一共得到财政补贴1120元，且乙品牌比甲品牌售价多400元列二元一次方程组求解即可；（2）用售价减补贴即可得解．【详解】（1）解：设甲品牌的一级能效家电售价为元，乙品牌的一级能效家电的售价为元，根据题意，得，解得，答：甲，乙品牌一级能效家电的售价分别为2600元和3000元；（2）解：（元），（元）；答：小张实际付款2080元，小刘实际付款2400元．类型九、二元一次方程组的应用——方案问题【解惑】已知：用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值；(3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨；(2)有3种租车方案：方案一：型车9辆，型车1辆；方案二：型车5辆，型车4辆；方案三：型车1辆，型车7辆；(3)租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元．【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键．（）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；（）根据题意，列出二元一次方程，再根据，都是正整数解答即可求解；（）分别求出每一种方案的费用即可求解；【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，依题意得，，解得，答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨；（2）解：由（）得，，∴，∵，都是正整数，∴或或，∴有3种租车方案：方案一：型车9辆，型车1辆；方案二：型车5辆，型车4辆；方案三：型车1辆，型车7辆；（3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，∴方案一需租金：元；方案二需租金：元；方案三需租金：元；∵，∴最省钱的租车方案是方案三，答：租型车1辆，型车7辆，最少租车费为元．【融会贯通】1．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105名；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110名．现有学生400名，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？(2)请帮学校设计出所有的租车方案．(3)若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的方案，并求出最省租金．【答案】(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生(2)租车方案有3种：①小客车20辆，大客车0辆；②小客车11辆，大客车4辆；③小客车2辆，大客车8辆(3)最省钱的方案为租2辆小客车，8辆大客车，最省租金为3440元【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．（1）每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；（2）根据题意可得小客车a辆运的人数+大客车b辆运的人数，然后求出整数解即可；（3）根据（2）所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金即可．【详解】（1）解：设1辆小客车坐满后一次可送名学生，1辆大客车坐满后一次可送名学生．根据题意，得解得所以．答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．（2）解：根据题意，得，即．因为均为非负整数，所以或或答：租车方案有3种：①小客车20辆，大客车0辆；②小客车11辆，大客车4辆；③小客车2辆，大客车8辆．（3）解：由（2）知，租车方案有3种，所以租车费用为：①（元）；②（元）；③（元）．因为，所以选择租小客车2辆，大客车8辆最省钱．答：最省钱的方案为租2辆小客车，8辆大客车，最省租金为3440元．2．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆型汽车．3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．(1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元(2)3种；方案见解析【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解；（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为180万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案．【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，依题意，得：，解得，答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，依题意，得：，，，均为正整数，或或，共3种购买方案，方案一：购进型车2辆，型车13辆；方案二：购进型车4辆，型车8辆；方案三：购进型车6辆，型车3辆．3．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话：(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案．【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元(2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．（1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可；（2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，根据题意得，解得，答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元；（2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型，根据题意得，，，均为正整数，当时，；当时，，有2种购买方案如下：①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型．类型十、二元一次方程组的应用——几何问题【解惑】简单多面体的顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（）面数（）棱数（）三棱锥长方体五棱柱正八面体(1)猜想：顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在的代数关系式是_____________．(2)若一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，求这个多面体的面数．(3)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有个顶点，每个顶点处都有条棱．①求它共有多少条棱；②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数【答案】(1)(2)；(3)①条棱，②．【分析】本题考查立体几何中，点，面，棱的关系，整式，二元一次方程，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式的加减运算，二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，进行解答，即可．（1）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于，即可；（2）根据（1）得到的规律，进行解答，即可；（3）①根据顶点数和棱数的关系，进行求解，即可；②方法一：设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，列出方程，即可；方法二：根据（1）得到的规律，求出面数，再设该多面体外表八边形的个数为个，三角形的个数为个，列出方程，即可．【详解】（1）解：三棱锥中，；长方体中，；五棱柱中，；正八面体中，∴顶点数（V）、面数（）、棱数（）之间存在的代数关系式为：．故答案为：．（2）解：由（1）得，∴一个多面体的面数比顶点数大，∴，∵有条棱，∴，解得：，∴面数为：．答：这个多面体的面数为．（3）解：①∵有个顶点，每个顶点处都有条棱，而两点确定一条直线，∴棱数为：条；②方法一：设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，∴由题意得，列方程组为：，解得：；∴该多面体三角形的个数为．方法二：∵，∴，解得：；设该多面体外表八边形的个数为个，三角形的个数为个，∴，解得：，∴，∴该多面体三角形的个数为．【融会贯通】1．刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积．【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为，长为，再结合图形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的关键．【详解】设小长方形的宽为，长为，根据题图，得，解得，种植番茄的面积为，种植辣椒的面积为，答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为．2．如图，用10块形状、大小相同的长方形地砖无缝隙无重叠地拼成一个大长方形图案，求长方形地砖的长与宽．【答案】长方形地砖的长为20厘米，宽为5厘米【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．先设长方形地砖的长为厘米，宽为厘米，然后根据图形，即可列出相应的方程组，再求解即可．【详解】解：设长方形地砖的长为厘米，宽为厘米，由图可得：，解得，答：长方形地砖的长为20厘米，宽为5厘米．3．某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）．(1)求出图①中与的值．(2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）．①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张；②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格：礼品盒板材竖式无盖（个）横式无盖（个）甲型（张）乙型（张）③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案）【答案】(1)，(2)①，；②甲型：，；乙型：，；③．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组．（1）根据裁法一和裁法二裁出甲、乙的张数及剩余，可得出关于、的二元一次方程组，即可求解；（2）①由裁法一裁出2张甲和一张乙，裁法二裁出一张甲和2张乙，结合标准板材即可求解；②根据制作一个竖式无盖需要甲和张乙，制作一个横式无盖需要甲和张乙，即可求解；③根据甲、乙裁出的张数列二元一次方程组即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，，；（2）①一共可裁剪出甲型板材；（张），乙型版：（张），故答案为：，；②甲型：，；乙型：，；③根据题意得：，解得：，，故答案为．【一览众山小】1．把一根长的绳子截成和两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费，则不同的截法有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【分析】此题主要考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数．设截成长的绳子根，截成长的绳子根，根据绳子全长为列出方程，得出方程的整数解即可．【详解】解：设截成长的绳子根，截成长的绳子根，根据题意，得：，，均为正整数，∴，或，不同的截法有3种．故选：A．2．如图，小明爷爷有一块长为，宽为的长方形土地，现要沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形土地种植郁金香，设小长方形土地的长为，宽为，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决本题的关键是根据图形审题，列出方程组．根据图形可知两个小长方形土地加一个小长方形土地的宽即铺满了长方形块空地的长，即，两个小长方形土地的宽加一个小长方形土地的长即铺满了长方形空地的宽，即，解方程组即可．【详解】解：设小长方形土地的长为，宽为，根据题意得：，故选：D．3．将一副直角三角板按如图方式摆放，图中比的3倍多，若求，的度数，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了由几何问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．根据等量关系：①三角板中最大的角是，从图中可看出，②比的3倍多，则．【详解】解：由图可知：，又∵比的3倍多，∴，∴联立，得到方程组：．故选：B．4．在800米的环形跑道上甲、乙两人相距200米，若两人同向匀速行走（在两人的行走方向上，甲在乙后方），400秒后甲可以追上乙；若两人反向匀速行走，240秒后二人可以相遇．设甲步行的速度是x米/秒，乙步行的速度是y米/秒，根据题意所列的方程组是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应方程是解题的关键．根据题意，得出等量关系：根据两人同向匀速行走（在两人的行走方向上，甲在乙后方），400秒后甲可以追上乙，得方程；根据两人反向匀速行走，240秒后二人可以相遇，得方程，再得出方程组即可．【详解】解：设甲步行的速度是x米/秒，乙步行的速度是y米/秒，根据两人同向匀速行走（在两人的行走方向上，甲在乙后方），400秒后甲可以追上乙，得方程；根据两人反向匀速行走，240秒后二人可以相遇，得方程．可得方程组．故答案为：．5．校合唱团正在为红歌比赛分组训练，若每组6人，则余3人；若每组7人，则缺5人，设合唱团共有x人，组数为y组，则可列方程组为．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是解题关键．根据关键语句“每组6人，则余3人；若每组7人，则缺5人，设合唱团共有x人，组数为y组”可建立两个方程可得方程组．【详解】解：设合唱团共有x人，组数为y组，由题意得：，故答案为：．6．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则的值．【答案】5【