第5章 分式（基础类型）-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

思维导图第5章分式思维导图【类型覆盖】类型一、分式与分式方程的定义【解惑】下列式子是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可，正确理解分式的概念是解题的关键．【详解】解：、是整式，不是分式，不符合题意；、是整式，不是分式，不符合题意；、是整式，不是分式，不符合题意；、是分式，符合题意；故选：．【融会贯通】1．下列是关于x的分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；B、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；C、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；D、分母中含未知数，是分式方程，符合题意；故选：D．2．请任意写出一个分式：．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，据此即可作答．【详解】解：依题意，任意写出一个分式：，故答案为：（答案不唯一）．3．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义．【答案】(答案不唯一)【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可．【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一．故答案为：．【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键．类型二、分式有、无意义【解惑】下列式子一定有意义的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件判断即可．【详解】解：A、当时，无意义，不符合题意；B、当时，无意义，不符合题意；C、当时，无意义，不符合题意；D、∵，∴，∴，∴一定有意义，符合题意；故选：D．【融会贯通】1．要使分式无意义，取值是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查分式无意义，根据分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，故选A．2．要使分式有意义，则的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，故答案为：．3．时，分式无意义，时，此分式的值为0，则．【答案】6【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求出a、b的值即可得到答案．【详解】解：∵时，分式无意义，∴是方程的解，即，∴；∵时，此分式的值为0，且此时满足，∴是方程的解，，∴，∴，故答案为：6．类型三、分式值为零【解惑】若分式的值为0，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据且，计算即可．本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键．【详解】解：分式的值为0，故且，解得，故选：A．【融会贯通】1．若分式的值为0，则x的值是（

）A．2 B． C．2或 D．0【答案】A【分析】本题考查分式为零的条件，分式的值为0，分子为0且分母不能为0，据此作答．【详解】∵分式的值为0∴，，∴，．故选：A．2．当时，分式的值为0．【答案】【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零成为解题的关键．直接根据分式为零的条件列方程求解即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，且，即．故答案为：．3．若分式的值为0，则x的值为．【答案】【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分子为零，分式的分母不为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解．【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且，解得：．故答案为：．类型四、列分式方程【解惑】某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可．【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为：由题意得：，故选：A．【融会贯通】1．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，列出方程即可．【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，由题意，得：；故选A．2．甲，乙两人合作录入一份稿件．甲先单独录入了，余下部分由乙单独用才完成．已知甲需要用录入的稿件由乙录入需要．若设甲单独录入这份稿件需，则根据题意可列方程．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程和理解题意能力，关键设出甲需要多少小时完成这项工作，然后表示出乙，根据工作量工作效率工作时间列方程求解．设甲单独完成需小时，根据已知甲独做6小时的工作量，由乙独做要用7.5小时，可求出乙完成这份稿件需要小时，根据工作量工作效率工作时间，可列方程求解．【详解】解：设甲完成这份稿件需小时，乙所需要的时间为，根据题意列方程得：，故答案为：．3．2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭发射成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F”模型的进价贵，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为元，则可列方程为．【答案】【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元，根据题意列出方程即可．【详解】设每个“长征二号F”模型的进价为元，则每个“天宫”模型的进价为元根据题意得，．故答案为：．类型五、分式的左右变形类型覆盖【解惑】下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，分子和分母没有公因式，不能约分，原选项错误，不符合题意；B、，正确，符合题意；C、，原选项错误，不符合题意；D、，分子和分母没有公因式，不能约分，原选项错误，不符合题意；故选B．【融会贯通】1．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键．【详解】解：、∵，∴不能说明，原选项不正确，符合题意；、∵，∴，原选项正确，不符合题意；、∵，∴∴，∴，∴，原选项正确，不符合题意；、∵，∴，∴，∴，∴，故选：．2．下列式子：①；②；③；④．其中，成立的是（填序号）．【答案】①②④【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：；故①正确；；故②正确；；故③错误；；故④正确；故答案为：①②④3．．第一个括号内填写：，第二个括号内填写：【答案】/【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可．【详解】解：．故答案为：，．类型六、最简分式基础类型【解惑】分式，，，，中，最简分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键．如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解．【详解】解：是最简分式，，原分式不是最简分式，是最简分式，是最简分式，∴最简分式的有3个，故选：C．【融会贯通】1．下列分式中，最简分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键，分式的分子和分母除了公因式1，再没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，掌握以上知识是解题的关键；根据最简分式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意；B、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意；C、是最简分式，故本选项符合题意；D、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意．故选：C．2．下列各式中，最简分式有个．①；②；③；④；【答案】【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可，掌握最简分式的概念是解题的关键．【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意；②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；综上，最简分式有个，故答案为：．3．下列4个分式：①；②；③；④，其中最简分式有个．【答案】2【分析】本题主要考查了最简分式的判断，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可．【详解】解：①是最简分式，符合题意；②不是最简分式，不符合题意；③不是最简分式，不符合题意；④是最简分式，符合题意；∴最简分式有2个，故答案为：2．类型七、最简公分母【解惑】分式和的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得．【详解】解：∵，，∴分式和的最简公分母是，故选：B．【融会贯通】1．分式与的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可．【详解】解：分式与的最简公分母是．故选：A．2．分式、的最简公分母是；【答案】【分析】本题考查最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母，据此解答即可．【详解】解：∵，∴分式、的最简公分母是．故答案为：．3．分式，，的最简公分母为．【答案】【分析】本题考查了求分式的最简公分母；先把各分式的分母进行因式分解，找出所有因式的最高次幂的乘积即是最简公分母．【详解】解：，故最简公分母为：；故答案为：．类型八、约分【解惑】下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)；(2)．【答案】(1)等式左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式(2)等式左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到等式左边分子和分母的公因式是解题的关键．（1）找到等式左边的分子和分母的公因式即可得到答案；（2）找到等式左边的分子和分母的公因式即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴等式的左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式；（2）解：∵，∴等式的左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式．【融会贯通】1．约分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键．（1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；（2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；（3）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案；（4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．约分：（）；（）；（）；（）．【答案】（）；（）；（）；（）【分析】（）先分子分母提公因式，再约分即可；（）先分子分母因式分解，再约分即可；（）先分子因式分解，再约分即可；（）先分子分母因式分解，再约分即可；本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．【详解】解：（）原式；（）原式；（）原式；（）原式．3．约分：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查分式的约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．（1）根据分式的基本性质求解即可；（2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；（3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）．类型九、通分【解惑】通分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质．（1）根据通分的定义把分式变形即可．（2）根据通分的定义把分式变形即可．（3）根据通分的定义把分式变形即可．（4）根据通分的定义把分式变形即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【融会贯通】1．通分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，，【分析】本题考查分式的基本性质-通分，准确求得最简公分母是解答的关键．（1）根据最简公分母是进行通分即可；（2）根据最简公分母是进行通分即可；（3）根据最简公分母是进行通分即可；（4）根据最简公分母是进行通分即可；【详解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，；（4）解：，，．2．通分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式通分的方法是解题关键．（1）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得；（2）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得；（3）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得；（4）先确定最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分即可得．【详解】（1）解：分式的最简公分母是，则，．（2）解：分式的最简公分母是，则，，．（3）解：分式的最简公分母是，则，，．（4）解：，分式的最简公分母是，则，．3．通分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)．(2)，(3)，，(4)，，【分析】此题主要考查了通分，通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．（1）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．（2）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．（3）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．（4）首先找出两式的最简公分母，然后进行通分．【详解】（1）解：最简公分母为，．（2）解：最简公分母为，，．（3）解：最简公分母为，，，．（4）解：最简公分母为，，，．类型十、各项系数化整、最高次项化正【解惑】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键：（1）分子，分母同时乘以，即可；（2）分子，分母同时乘以，即可；【详解】（1）解：；（2）．【融会贯通】1．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了分式的基本性质．（1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果．（2）分式分母提取变形即可得到结果；（3）分式分子提取变形即可得到结果；【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．2．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．（1）分子与分母同乘以10即可得；（2）分子与分母同乘以12即可得．【详解】（1）解：．（2）解：．3．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数；（2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数；（3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？【答案】（1）；（2）；（3）①，②【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变．（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案；（2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案；（3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）①∵，∴由得，解得：；②，得，解得：．【一览众山小】1．下列有理式、、、、中，是分式的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，、的分母中含有字母，因此是分式，共2个．故选：B．2．解分式方程时，去分母正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可．【详解】解：原方程两边同乘得：，故选：D．3．计算的结果等于（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式的减法运算，解题的关键是掌握分式的减法运算法则．根据分母相同，则分母不变，分子相减，计算即可．【详解】解：，故选：A．4．计算：．【答案】【分析】本题考查了分