期末考前满分冲刺之解答题-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图思维导图 覆盖训练01:统计1．2024年5月8日，云岩区中小学科学教育实验区建设正式启动，标志着我区在科学教育领域迈出了重要一步．某校为加强实验教学，确保每位学生都能动手操作、亲身体验，开设了七年级生物实验课，要求七年级学生每人在以下五个生物实验中选择一个进行研究（每人只选一个）．实验名称：A．研究鱼游泳时鱼鳍的作用；B．研究小鼠走迷宫的学习行为；C．观察家蚕的完全变态发育过程；D．观察青蛙的变态发育过程；E．观察蚂蚁的信息交流．为了解学生的选择情况，现从该校七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，根据学生的选择，小红绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题：(1)此次共调查学生人；(2)将条形统计图补充完整；生物实验D所在扇形的圆心角为；(3)若该校七年级共有学生800人，请估计选择生物实验E的学生有多少人？【答案】(1)200(2)补全条形图见解析，(3)请估计选择生物实验E的学生有人【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．（1）用选择实验对应的人数除以对应百分比得到样本总人数，（2）用样本总人数减去选择实验的人数，从而补全统计图；再用选择实验的人数所占样本总人数的比例乘以即可求解；（3）用总人数乘以选择实验E所占比例即可．【详解】（1）解：（人），则此次共调查学生人；（2）解：选择实验的人数为（人），补全条形图如下：生物实验D所在扇形的圆心角为；（3）解：（人）答：请估计选择生物实验E的学生有人．2．启迪未来之星，推进科技教育．为普及人工智能AI技术，某校在九年级组织了一次“人工智能AI技术”知识竞赛活动（竞赛成绩为百分制）．学校想了解知识竞赛的情况，特随机抽查了九年级部分学生的竞赛情况，按成绩分为A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下两个不完整的统计图表，调查结果统计表组别分组（单位：分）人数A4B16CaDbE2调查结果扇形统计图请根据以上图表，解答下列问题：(1)填空：这次被调查的同学共有_________人，_________，_________，_________；(2)扇形统计图中扇形C的圆心角度数为_________；(3)已知成绩在60分及以上为合格，该校九年级共有学生1000人，请估计此次“人工智能”知识竞赛中，成绩合格的学生有多少人？【答案】(1)50，20，8，8(2)(3)人【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（1）根据B组的频数是16，对应的百分比是，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；（2）利用乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．【详解】（1）解：调查的总人数是（人），则，，A组所占的百分比是，则，故答案为：50，20，8，8；（2）解：扇形统计图中扇形C的圆心角度数是，故答案为：；（3）解：估计此次知识竞赛中，成绩合格的学生约有（人）．3．6月5日是世界环境日．为了增强学生的环境意识，学校举办了环境知识竞赛活动，各班随机抽查了部分学生，抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中信息解答下列问题：(1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．(2)请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卡相对应的图上）(3)若该校共有名学生，根据抽查结果，试估计全校分以上的学生人数．【答案】(1)被抽查的学生人数为人，扇形统计图中m的值为(2)见解析(3)人【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．（1）将抽查的分以下人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将抽查的分人数除以被抽查的人数，即可求出m的值；（2）先求出抽查的分人数，再补全条形统计图即可；（3）将乘以样本中分以上的学生人数所占的比例即可估计全校分以上的学生人数．【详解】（1）解：被抽查的学生人数是（人），∵，∴扇形统计图中m的值是，答：被抽查的学生人数为人，扇形统计图中m的值为；（2）解：（人）补全的条形统计图如图所示．（3）解：（人），估计全校分以上的学生人共有人．覆盖训练02:平行的性质与判定4．如图，点，在直线上，，．(1)求证：；(2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行；（2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解．【详解】（1）解：为平角，又，，；（2）解：如图所示，，

，，，，

又为的角平分线，，，，

，．5．如图，直线，交于点，，分别平分和，且.(1)请判定直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的度数.【答案】(1)平行，理由见解析(2)【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．（1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定；（2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可．【详解】（1）解：；理由如下：∵分别平分和，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴．6．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键：（1）由，推出，进而推出，即可得证；（2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．（2）∵，，∴，，∴，∴．覆盖训练03:二元一次方程组的应用7．科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元．(1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因；(2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案．【答案】(1)小智的记录矛盾，理由见解答(2)共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．（1）设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据“第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元”，可列出关于，的二元一次方程组，利用②①，可求出的值，结合实验耗材的单价不能为负，可得出小智的记录矛盾；（2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下：设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据题意得：，解得：，实验耗材的单价不能为负，小智的记录矛盾；（2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，根据题意得：，，又，均为正整数，或，共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材．8．扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元．(1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？(2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案．【答案】(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元(2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键：（1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可；（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可．【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得：，解得：，答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元；（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且；∴，∴或或，故共有3种购买方案：方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只．9．如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）．(1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示）(2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？【答案】(1)需要的运费是元(2)这一批原料有500吨，每吨原料能加工成的产品的重量是吨【分析】本题主要考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找准等量关系．（1）根据题意，列代数式，合并同类项即可；（2）设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，根据所需的费用列出方程组进行求解即可．【详解】（1）解：根据题意得（元），答：需要的运费是元；（2）解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，解得，答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨．覆盖训练04:分式方程的应用10．机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物．【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克．【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，再根据题意列出分式方程求解并检验即可解答．【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据题意得：，解得：，经检验：为分式方程的解，则．答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克．11．为保障某蔬菜基地的种植用水，需要修一条灌溉水渠．现在有两个施工队参与修渠，甲施工队比乙施工队每天多修30米水渠．甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同．甲，乙两个施工队每天分别修多少米水渠？【答案】甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键；设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠，根据：甲施工队修750米水渠所用的时间和乙施工队修500米水渠所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出答案．【详解】解：设乙施工队每天修x米水渠，则甲施工队每天修米水渠，根据题意，得，解得：，经检验：是所列方程的解，，答：甲，乙两个施工队每天分别修90米、60米水渠．12．某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动．(1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？(2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件(2)食品加工厂第二周采购A种食材30件【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．（1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，列出分式方程，解方程即可．【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件解得：答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件．（2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则解得，经检验，是原分式方程的解．答：食品加工厂第二周采购A种食材30件．覆盖训练05:平移(作图)13．某同学在做练习“平移，使得点移动到点，作出平移后的”时，不小心将画图的步骤弄乱了：①分别过做直线的平行线；②连接；③连接；④在直线上截取，在直线上截取上．请完成下面的问题：(1)请按照正确的画图步骤排序：___________；(2)画出平移后的图形．【答案】(1)③①④②(2)见解析【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．（1）根据题意可得答案．（2）根据作图步骤直接画图即可．【详解】（1）解：由题意得，正确的画图步骤排序为：③①④②．故答案为：③①④②．（2）解：如图，即为所求．14．如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：(1)过点作直线平行于；(2)平移，将的顶点平移到点处，其中点和点对应，点与点对应，请画出平移后的；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的判定．（1）利用网格结合平行线的判定画图即可；（2）由题意得，向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到，根据平移的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，直线即为所求；（2）解：由题意得，三角形是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形．如图，三角形即为所求．15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，平移三角形，使点A移动到点，画出平移后的三角形，连接，．（A，B，C的对应点分别为，，）(1)根据题意，补全图形；(2)图中和的数量关系是_____；(3)在平移过程中，边扫过的面积是多少？【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．（1）将三角形向右平移个单位长度即可得到平移后的三角形，再连接，即可；（2）由平移的性质可知，再结合平行线性质求解，即可解题；（3）根据平行四边形面积公式求解，即可解题．【详解】（1）解：所画三角形，线段，如图所示：（2）解：由平移的性质可知，，，故答案为：．（3）解：由图知边扫过的面积为．覆盖训练06:阴影面积问题16．有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图2的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为．(1)（用含，的式子表示）；(2)求的大小（结果用含，的式子表示）；(3)若，请你直接写出的值，不用说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是结合图形找到相应长度的代数式．（1）由题意知，阴影部分是上底为a、下底为b，高为的梯形，据此求解即可；（2）结合图形得出，，据此依据三角形面积公式可得答案；（3）根据已求的的表达式可得答案．【详解】（1）解：由题意知，阴影部分是上底为a、下底为b，高为的梯形，所以，故答案为：；（2）解：∵M是的中点，∴．∴，又∴（3）解：由题意知，，所以，．17．问题发现：若满足，求的值．小明在解决该问题中，采用了以下解法：解：设，则，所以请根据小明的解法解决下列问题．(1)若满足，求的值；(2)若满足，求的值；(3)拓展延伸：如上图，正方形边长为，，，分别以、为边长作正方形和，四边形和是长方形，且长方形的面积是10，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体数值）【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值：（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；（2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；（3）根据题意可得：四边形是正方形，然后设，，则，，从而可得，，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：设，∴，∴；（2）解：设，∴，，∴；（3）解：设，，正方形的边长为，，，，，，长方形的面积为10，，，正方形的面积，四边形（阴影部分）的面积为．覆盖训练07:平行的数量关系18．已知，直线，点为平面上一点，连接与．(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．(2)如图2，点P落在直线外侧，写出与，之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在（2）的条件下，与的平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并利用（3）的结论说明理由．【答案】(1)(2)；理由见解析(3)；理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，即可得出答案；（2）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后得出答案即可；（3）由（2）可知，．根据角平分线定义得出，，再得出答案即可．【详解】（1）解：如图，过点P作，则有．∵，，∴．∴，∴．（2）解：关系：．理由：如图，过点P作，则有．∵，，∴，∴，∴．（3）解：关系：理由：由（2）可知，．∵平分，平分，∴，，∴．19．课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）如图，，探索与，之间的关系．阅读理解：如图1，过点作．∵，∴．∵，∴，∵，∴．∵，∴．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知，则________．（3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________．（4）如图4，已知，，则________．深化拓展：（5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：．【答案】方法运用：（2）360；（3）；（4）20深化拓展：（5）见详解【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．方法运用：（2）过点作，易得，结合“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案；（3）过点作，，根据“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”可得，，即可获得答案；（4）过点作，结合“两直线平行，同旁内角互补”求得，的值，即可获得答案；深化拓展：（5）过点作，结合“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”以及“直角三角形两锐角互余”，可得，即可证明结论．【详解】解：方法运用：（2）过点作，如下图，则，∵，，∴，∴，∴．故答案为：360；（3）过点作，如下图，则，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案为：；（4）过点作，如下图，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：20；深化拓展：（5）证明：过点作，如下图，则，∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．覆盖训练08:乘法公式与几何应用20．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（如图2）以及完全平方公式：（如图3）．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．(1)观察图4请你写出、、之间的等量关系是_____；(2)根据（1）中的结论，若，，求出的值；(3)拓展应用：若，求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查乘法公式与几何图形的关系，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．（1）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而根据大正方形的面积小正方形的面积4个长方形面积，代值求解即可得到答案；（2）由（1）中得到的关系式，代值求解即可得到答案；（3）由完全平方和公式，恒等变形后代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，故答案为：；（2）解：由（1）可得，，，；（3）解：，，．21．如图1，现有三种类型的卡片：1号卡片：边长为a的正方形卡片；2号卡片：边长为b的正方形卡片；3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．(1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______．(2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______．(3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4．情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长．【答案】(1)(2)45(3)4【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积及一元一次方程的应用，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可；（2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案；（3）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解．【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有，故答案为：；（2）解：解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即，故答案为：45；（3）解：设长方形的长为，则宽为．由题意：，，，，，即2号卡片的边长为4．覆盖训练09:三角板旋转平行求t22．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．操作发现：(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______；(2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）；(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由．【答案】(1)3(2)15(3)垂直，理由见解析【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键．（1）由平移的性质可得答案；（2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案；（3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解．【详解】（1）解：由平移的性质得，，∴，∴．∵，∴．故答案为：3；（2）解：过A作直线，交于G，而，∴，，同理，；故答案为：15；（3）解：垂直，理由如下如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴直线a，∵，∴直线b；如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H∵，∴，∴，．23．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设．(1)求的度数；(2)如果的角平分线交直线于点，如图2．①当时，求的度数；②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？【答案】(1)(2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行．【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答．（1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答；（2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t．【详解】（1）解：如图1，过点G，作，，，，，，；（2）解：①，，平分，，又，，，，解得；【点睛】②如图2，当时，延长至点Q，，，，，由题意知，，由①得，，解得：；当时，，由题意知得，∴，解得；如图4，当时，延长交于点T，过点作，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得：；如图4，当（第二次）时，则，∴，解得：；综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行．覆盖训练10:规律问题24．在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律．例如：；；．(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明；(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水时的高度为．求n的值．【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】此题考查了多项式乘法中的规律．（1）观察已知条件中的等式可知两个数的和乘以与这两个数的平方和与它们乘积的差=这两个数的立方和，按照此规律，用含a，b的等式表示该规律并证明即可；（2）按照（1）中规律，利用长方体的容积公式，列出算式，进行计算，从而得到关于n的方程，解方程即可．【详解】（1）解：由题意得：，证明：左边右边，；（2）由题意得：由（1）可令，得对比两式，，解得．25．综合与探究；下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是；第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________；【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）；【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律性问题，理解题意，发现规律是解题的关键．（1）观察式子，发现式子的规律即可写出等式；（2）根据式子的规律即可写出式子；（3）把（2）中式子中的，，代入即可求解．【详解】解：（1）故答案为：；（2）根据规律可得：故答案为：；（3）设（2）式中的，，，则有即∴，∴．覆盖训练11:整式乘除的新定义26．定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”．(1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；(2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______；(3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析；(2)3；(3)或．【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键．（1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断；（2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解；（3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解．【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由如下：，∵的项数比A的项数多1项，∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”；（2），∵B是A的“极好多项式”，∴且，解得．故答案为：3；（3），∵B是A的“极好多项式”，∴或，解得或0．∴的值是或0．27．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即．(1)根据上述规定，填空：_______；________．(2)计算______，并说明理由．【答案】(1)0；3(2)，理由见解析【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，同底数幂乘法计算，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义求解即可；（2）设，根据新定义可得，则可得到，可得，据此可得答案．【详解】（1）解：∵，，∴，；（2）解：，理由如下；设，∴，∴，∴，∴，∵，∴．覆盖训练12:根据信息探索任务解决问题28．根据以下素材，完成任务．解决挖掘机的租用和保养问题素材“迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：型号挖掘土石方量单位：台时租金单位：元台时甲型乙型素材为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元．问题解决任务制定租用计划若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？任务探究租用方案若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？任务确定保养费用基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______元用含的代数式表示．【答案】任务1：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；任务2：共有种租用方案，:方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；任务3：【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租用方案；任务求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据“购买根弹簧和颗钢球，保养费用还缺元；购买根弹簧和颗钢球，保养费用还剩元”，可得出关于，的二元一次方程组此处将看成常数，解之可得出，将其代入中，即可求出结论．【详解】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意得：，解得：．答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意得：，又，均为正整数，或或，共有种租用方案，方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；任务当，时，所需租金为元；当，时，所需租金为元；当，时，所需租金为元．，租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少．所需弹簧数量为根，所需钢球数量为颗．设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意得：，，，元．实际保养费用为元．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．29．学习任务卡，请仔细阅读，并完成相应的任务．多项式除以多项式我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知___________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得②___________，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照2835用竖式计算（如图）。因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算。(1)任务一：补全材料中的两个空①__________，②__________．(2)任务二：仿照例子的做法计算①_________；②_________③任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）.【答案】(1)，(2)①②③，【分析】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据多项式乘多项式法则得，则，即可作答．（2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可；③模仿题干的竖式计算过程作答即可；【详解】（1）解：依题意，，则，故答案为：，；（2）解：①如图所示：∴；故答案为：；②如图所示：∴，故答案为：；③如图所示：∵的商为整式，且结合上图的竖式过程，∴，此时．覆盖训练13:配方法求最值30．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，的值最小，最小值是1．所以的最小值是1．依据上述方法，解决下列问题：(1)当________时，有最小值是________；(2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________；(3)已知，求的最小值；【答案】(1)，(2)大，(3)的最小值是．【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；（3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：∵∴当时，的值最小，最小值是0．∴．∴当时，的值最小，最小值是．∴的最小值是．故答案为：，；（2）解：∵，∴当时，的值最大，最大值是0．∴．∴当时，的值最大，最大值是．故答案为：大，；（3）解：∵，，∴，∵，∴当时，的值最小，最小值是0．∴．∴当时，的值最小，最小值是．∴的最小值是．31．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值：可知当时，有最小值，最小值是．再例如，求代数式的最大值：．可知当时，有最大值．最大值是．【直接应用】（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；（2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？【知识迁移】（3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求围成的生物园的最大面积．

【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为；（3）．【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键．（1）依据题意，由配方法的意义得，是完全平方式，进而判断可以得解；（2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解；（3）依据题意，设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，然后再表示出四边形的面积，结合x的取值范围进而可得围成的植物园的最大面积．【详解】解：（1）由题意得，是完全平方式．故答案为：9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为．（3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，根据题意得：当时，有最大值，最大值是50．围成的植物园的最大面积是．覆盖训练14:分式的新定义32．定义：如果一个分式能化成的形式（m，n都是常数，A是整式），那么称这个分式为系数为m的分式．如，所以是系数为1的分式；，所以是系数为2的分式．(1)请你再写出一个系数为2的分式（写最简分式，不能与相同）(2)将化成的形式（m，n都是常数，A是整式）．(3)当分式的值为整数，且x也是整数时，求所有x的值．【答案】(1)见解析(2)(3)1或0或4或【分析】（1）答案不唯一，根据题意解答即可．（2）根据解答即可．（3）根据题意，得，根据分式的值为整数，且x也是整数，得或或或，解答即可．本题考查了分式的新定义，熟练掌握新定义是解题的关键．【详解】（1）解：答案不唯一，根据题意，故分式为．（2）解：原式．（3）解：根据题意，得，由分式的值为整数，且x也是整数，得或或或，解得或或或．33．阅读理解:定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．例如：我们称是的“差分式”，解答下列问题：(1)分式是分式的“差分式”．(2)分式是分式的“差分式”．①（含的代数式表示）；②若的值为正整数，为正整数，求的值．(3)已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．【答案】(1)(2)①；②，则；，则；(3)【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，（1）根据材料提示进行计算即可求解；（2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解；（3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：①，∴，解得，；②，为正整数，∴当时，，则；当时，，则；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；∴的值为或；（3）解：，，且，∴，∵为正数，∴，∴的值为．覆盖训练15:平行线中的定值问题34．如图①，过直线外一点C作，连接，．(1)求的度数；(2)如图②，若的平分线交于点D，点E是线段上一动点（不与A，D重合），连接．若，试探究和之间的数量关系，并说明理由；(3)过点B引一条射线交于点H，满足，现将绕点B每秒的速度顺时针转动，绕点H每秒的速度顺时针转动，它们同时开始运动，设运动时间为．若转动后的两条射线交于点P，过P作交射线于点Q．若在转动过程中，与的比值是定值，求此时的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质得到，则，再由平角的定义可得答案；（2）由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理和角的和差关系结合已知条件证明，即可得到；（3）根据平行线的性质和已知条件求出；则可表示出，，过点P作，则，可得，设（k为常数），则，进而得到，再由的度数与时间t无关，推出，则．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴；由题意得，，∴，，如图所示，过点P作，则，∴，∴，设（k为常数），则，∴，∵的度数与时间t无关，∴，∴，∴．35．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．(1)；(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．【答案】(1)(2)秒或秒(3)不变，【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算，通过分析旋转过程中角度的变化，利用平行线的性质来求解角度和时间的关系．（1）连接，利用平行线的性质即可求得；（2）设当时刻时，点分别转到了，将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点，或其补角为射线与射线所在直线的夹角，得到，其补角为，计算即可得到答案；（3）分别将与利用含有时间的代数式表示出来，根据其比值结果是否含有即可得到答案．【详解】（1）解：连接，如图①所示，，，故答案为：；（2）解：设当时刻时，点分别转到了，如图②所示，将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点，或其补角为射线与射线所在直线的夹角，由题意可知：，转到时同时停止转动，的最大值为秒，，，，，其补角为，当时，（秒）；当时，（秒）．答：存在这样的时刻，当秒或秒时，射线与射线所在直线的夹角为；（3）解：不会发生改变；理由：如图③，由题意可知：，，，，，，，．覆盖训练16:因式分解与几何应用36．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____；拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．（1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解．（2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解．（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，因此可得．故答案为：．（2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，因此可得．故答案为：．（3），，，，，又，，，，，．37．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)，90(3)【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．（1）由题意利用面积相等推导公式：；（2）由题意利用体积相等推导；可得，再代入求值即可，（3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积由此即可解题．【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成，知识生成：，故答案为：；（2）正方体棱长为，∴体积为，∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，∴；∴，∵，，∴（3）有图可知：，．∴，∴，，∵，∴，图中阴影部分的面积覆盖训练17:阅读材料题38．【材料阅读】材料一；如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样：材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点，交于点．请判断与有怎样的数量关系．如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题；如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙．【问题解决】（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；【类比运用】（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，，求的度数；【变式探究】（3）如图⑤，平分，且，求的度数．【答案】（1）选择明明同学，过程见解析；（2）的度数为；（3）的度数为【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．（1）选择明明同学，在点F处作，再由得，再由平行线的性质得，，，进而可得结论；选择欣欣同学，过点Q作，交于点M，由平行线的性质分别得，，，再由可得结论；（2）过点P作，进而得，由平行线的性质得，，再由角平分线的性质得，再得，最后由可得答案；（3）过点P作，过点N作延长交于点A，进而得，由平行线的性质得，，即可得，根据已知推出，，再根据角平分线的性质推出，最后根据平行线的性质可得答案．【详解】（1）解：选择明明同学，过程如下：在点F处作，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，即；选择欣欣同学，过程如下：过点Q作，交于点M，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即；（2）解：过点P作，∵，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴，即的度数为；（3）解：过点P作，过点N作延长交于点A，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，即的度数为．39．阅读材料，解答后面的问题．分解因式：观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：设进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到因式分解简化后的代数式：对进行因式分解①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式，得到还原变量：将还原，得到进一步分解，得到上述这种因式分解的方法称为“换元法”．(1)分解因式时，设，则原代数式化为；(2)模仿上述方法分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键．（1）利用换元法即可得出结果；（2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可．【详解】（1）解：设，则原代数式化为，故答案为：；（2）解：对进行因式分解①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式，得到还原变量：将还原，得到进一步分解得到所以，．覆盖训练18:综合与实践40．综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）