考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷32

考研数学三(概率论与数据统计)模拟

试卷32

一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

1、设二维随机变量(X,Y)满足E(XY尸EXEY,则X与Y

A、相关.

B、不相关.

C、独立.

D、不独立.

标准答案：B

知识点解析：因E(XY);EXEY,故Cov(X,Y)=E(XY)—EXEY=O,

Cov(X,Y)

Pn---------------=vn,

尔、/耐x与Y不相关，应选(B).

2、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X

和Y的相关系数等于

A、一1.

B、0.

1

C、2

D、1.

标准答案：A

知识点解析：依题意，Y=n—X,故pxY=1l.应选(A).一般来说，两个随机变

量X与Y的相关系数Pxv满足IPXYI0.若Y=aX+b,则当a>0时，pXY=b当

a<0时,pxY=一1.

3、对于任意二随机变量X和Y,与命题“X和Y不相关”不等价的是

A、EXY=EXEY.

B、Cov(X,Y)=0.

C、DXY=DXDY.

D、D(X+Y尸DX+DY.

标准答案：C

知识点解析：由于Cov(X,Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条

件，可见(A)与(B)等价.由D(X+Y尸DX+DY的充分必要条件是Cov(X,Y)=0,可

见(B)与(D)等价.于是,“X和Y不相关”与(A),(B)和(D)等价.故应选(C).选项

(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例.设X和Y同服从参

数为P(OVPVl)的0—1分布且相互独立，从而X与Y不相关.易见DX=DY=P(1

一P)；乘积XY服从参数为p2的0—1分布：P{XY=1}=P(X=1,Y=1)=P2,

P(XY=O)=I一P2,因此DXY=P2(I-p2/p2(l—P)2=DXDY.

4、假设随机变量X在区间［一1，1］上服从均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX

的相关系数等于

A、一1.

B、0.

C、0.5.

D、1.

标准答案：A

知识点解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：

aresin^=---arccosX,1U="1+T

2•即,由于U是V的线性函数，且其增减变化

趋势恰恰相反，所以其相关系数p=-l.应选(A).

5、设随机变量Xi，X2,X£n>l)独立同分布，且方差招>0,记

『则4-亍与亍

n的相关系数为

A、—'1.

B、0.

1

C、2

D、1.

标准答案：B

知识点解析：由于Xi独立同分布，故

一rr2

*二八DX=Cov(M,X)Ol),

Cov(X,-X.X)=Covd1,X)-(：ov(Xt,¥)=J-O.f

CovCX,,1.)=~Cov(A,,X.)-/KV=­=0,

n"n

故应选(B).

6、设随机变量X的方差存在，并且满足不等式9则一定有

A、DX=2.

^1\X-EX\<3|<y

B、

C、DX#2.

标准答案：D

知识点解析：因事件{IX-EXIV3)是事件{IX-EXI23}的对立事件，且题设

17

9川<31N才

P{IX—EXI>3}>因此一定有9即选项①)正确.进一步分

3|W?

析，满足不等式9的随机变量，其方差既可能不等于2,亦可

以等于2,因此结论(A)与(C)都不能选.比如：X服从参数为p的0—1分布，

7

P\\x-EX\^31=P|0|=0<-=-

DX=Pq<l,显然DX#2,但是9因此(A)不成

立.若X服从参数n=8,p=0.5的二项分布，则有EX=4,DX=2.但是P{IX—

EXI>31=P{IX-4I>3}

=P-X=Of+PLV=I|+P\X=7|+P\x=8i=—―

2569因此(B)也不成

立.

7、设随机变量X|,X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且

DXj=l,i=l,n,贝］对任意£>0,根据切比雪夫不等式直接可得

B、I।」〃£.

D、?{篇讣

标准答案：c

-I——

\X=一则EX=0,D.¥=—

知识点解析：由题意知EXi=O,i=l,n.记"，・i〃

根据切比雪夫不等式，有

「{袅Xk中P\\X-EX\<e|21-"=]-工

£陪故选(C).

二、填空题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

8、两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射

击.如果第i名射手每次命中概率为pi(OVpi〈l,i=l,2),则两射手均停止射击时

脱靶(未命中)总数的数学期望为

标准答案：.2

知识点解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射

击都是一个伯努利试验.每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射

击次数应服从几何分布；此时的射击次数一口未击中的次数.以Xi表示第i名射

手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为由的几何分布，因

E(4+1)=|,2

k

lltP{Xi=k)=(l-Pi)pi，i=l,2,且Pt于是EXi=

E(尤+1)-1=--I

P'两射手脱靶总数X=X]+X2的期望为

EX=EX]+EX,=L+-L-2

PiPi

9、将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为

标准答案：

知识点解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X〜U(0,L),且

X,XW9，

Y=g(X)=

L-X,I>yL.

£(Y)=E[g(X)]=[g(x)/(x)dx

10、设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=2X—1,则Y与Z的相关系数为

标准答案：0.9

知识点解析：Cov(Y,Z)=Cov(Y,2X〜l)=2Cov(X,Y),DZ=D(2X—l)=4DX.Y

与Z的相关系数PYZ为

Cov(y,z)2c”(x,y)Cov(x,y)Ao

nv7=---------——-----=---------—i=------------=Piy=U.y.

/DYJD7..I泞/DX^DY

11、设随机变量X和Y的相关系数为O5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则

E(X+Y)2=.

标准答案：6

知识点解析：暂无解析

12、设随机变量X与Y相互独立，且X〜B(5,0.8),Y〜N(l,1),则P{0V

X+Y<10}>.

标准答案：0.928

知识点解析：由于EX=4,DX=0.8,EY=1,DY=1,所以E(X+Y尸EX+EY=5,

D(X+Y)=DX+DY=I.8.根据切比雪夫不等式

Cov(X,r)=pXYyDX.DY=0.5&\历=I,

E(X+Y)=EX+EV=0,

E(X+y)2=D(X+y)+[E(X+Y)]2=D[X+Y)

=DX4-2Cov(X,y)+DY=2+2+2=6.

三、解答题(本题共75题，每题1.0分，共万分。)

设某网络服务器首次失效时间服从FQ),现随机购得4台，求下列事件的概率：

13、事件A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；

标准答案：设服务器首次失效时间为X,则X〜EQ).由题设X—E(Q可知，X为

连续型随机变量.由于连续型随机变量取任何固定值的概率是0,因此P(A)=0

知识点解析：暂无解析

14、事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命.

E(X)=——

标准答案：由于X〜E0),则A,即服务器的期望寿命为人.从而一台服

t

-Ax1

p0=fAedx=1-e'.

务器的寿命小于此类服务器期望寿命E(X)的概率为J。

而每台服务器的寿命可能小于E(X),也可能超过E(X),从而4台服务器中寿命小

于E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为P(B)=C/po(l—P0)3=4e3(i—e

知识点解析：暂无解析

15、设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，求下列Yi(i=l,2,3,4)的数学期望

y°，^2^1•

x12

和方差：(I)Yi=e；(n)Y2=-21nx；(IH)'(I7)Y4=X.

标准答案：直接用随机变量函数的期望公式，即(4.4)式，故⑴

x2,

EY}=[edx=e-1.EY}=(edx=!(」-I),

JoJo2

/)0=EY]-(孙严=A.(e2-I)-(e-I)2=/(e-1)(3-Q・(』)

EY2=f-21njr(ix=-2xlnx+2fdx=2.

J00>0

EYl=['4In2xdx=4[xln2x'-2,lnxdx]

J00Jo

=-8fInxdx=8,

J0(HI)

-J-dx=oo，故EY3不存在,0丫3也不存在.

0x

知识点解析：暂无解析

16、设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

(•(、fAeA1,x>0,.y>

fx(x)=IfY(y)=

lo.其他，lo,其他,其中入>0,p>0是常

1,2Xwy,

数，引入随机变量0,其他.求E(Z)和D(Z).

标准答案：由于Z为0—1分布，故E(Z)=P{Z=1},D(Z)=P{Z=l}.P{Z=0}.而

尸iZ=l|=P\2XY\=J/t(x)A(y)dxdv

2g

=HAcA"〃eW(kdy=J人底心(/

0<2**y2x

=IAe-Axe^x(lx=A/(A+24，

Jo

P|Z=0|=I-=1|=2M/(A+2〃).

E(Z)=A/(A♦2〃)，D(Z)=2AM/(A+2〃尸.

知识点解析：暂无解析

17、设随机变量X,Y相互独立，已知X在［0,1］上服从均匀分布，Y服从参数为

1的指数分布.求⑴随机变量Z=2X+Y的密度函数；（U）Cov（Y,Z）,并判断X与

Z的独立性.

e**,0WKWI.y>0.

/（«,，）=fx⑺A（y）

标准答案：（X,Y）的联合密度0.其他.

/z(z)=Jfx(x)-2x)dx.

当z<0时，/z(z)=0;当0Wz<2时,z-2z>0,%<；,

/z(z)=「e—・〃)dx=；(1-「).

J02

当zN2时,z-24N0W1,

/z")=*=^(e2-1).

于是Z的概率密度为

0,z<0,

y(1-e”0Wz<2.

/z(z)

~2~(e2-1)♦z三2.

应用独立和卷积公式

(^)由于X,Y相互独立，所以Cov(X,Y)=0.Cov(Y,Z)=Cov(Y,

2X+Y)=2Cov(X,Y)+DY=0+l=l由于

c”（x.z〉=c”（x,21+y）=2&x+Cov（x,y）=!六。，「厂川丫「〃丁日一

6所以X与Z不独M.

知识点解析•：暂无解析

(uV)~v/2241~\

设二维随机变量2记X=U—bV.Y=V.

18、问当常数b为何值时，X与Y独立？

标准答案：由于X二U—bV,Y=V,且01,故(X,Y)服从二维正态

分布，所以X与y独立等价于X与Y不相关，即Cov(X,Y)=0,从而有

Cov(U-hvy)=0,Cov(U.y)-bDV=0,即！xXxv1T-6-1=0,

2解得

b=l,即当b=l时，X与Y独立.

知识点解析：暂无解析

19、求(X,Y)的密度函数f(X,Y).

一标・一准答案：由正态分布的-性・••••质・知x=。u—v服从正态分布，且

EX=£{/-EV=2-2=04

OX=0(U-V)=OU+OU-2Cov(U,V)=4+1-2xJ-xAx.,/T=3,

2所以

X〜N(0,3),同埋Y=V—N(2,1).又因为X与Y独立，故

II_喀

/(")=/*(*)/y(y)=一•十e•

而G

知识点解析：暂无解析

20、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

“、[8盯,0<y<X.0<x<1.

/(f)=<…

1°*其他•试求：⑴数学期望EX,EY,：(II)

方差DX,DY；(m)协方差(：0丫(乂,Y),D(5X—3Y).

标准答案：根据随机变量函数的期望公式(4.4),可以逐一计算出EX,EY,

EX2,EY2与EXY：

EX=・8zydy=J^4x4dx4

=—

5

EY=JdxJy•8xydr=信Y

EX2=J：dxJ，2.8町dy=/7%=*DX=A信)，急

EY2=Jldx1\2・8xydy=oy=卜信):募

4

E"=矿•

EXY=Jdxjxy-8xyd>=J9*，dx=

4484

Cov(X,y)=EXY-EXEY=---rx—=—,

43

75

图4.2

知识点解析：暂无解析

21、设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)IOSxSl,OSyKI上服从均匀分布,

令Z=min(X,Y),求EZ与D乙

标准答案：先求出Z的分布函数Fz(Z)与概率密度fz(Z),再计算EZ与DZ.当z

V0时，Fz(z)=O,当它1时,Fz(z)=l,当OWzVl时,

Fz(z)=P\ZWz|=P{min(X.Y)Wz|=1-P|min(X.y)>z|

=1-P\X>z.y>z(=1-P\X>z\P\y>z\

=1-(1-Z)(I-=}(3z-z?),

EZ=]zfz(z)dz=

EZ?="仔-z)dz=902=；-磊=痣.

Jo\2/44144144

知识点解析：暂无解析

22、设X],X2，…，X]2是取自总体X的一个简单随机样本，EX=g,DX=o.记

Yi=Xi+…+X8，Y2=X5+…+X]2，求Y1与丫2的相关系数.

标准答案：根据简单随机样本的性质，Xi，X2,…，Xi2相互独立且与总体X同

分布，于是有

EX,=人。％=02,cov(x,,x)=I"*']=，'=[八'=八i,j=I.…，12.

lo,I#jlo,i#j,

DY尸D(Xi+…+X8)=DX]+…+DX8=80/，DY2=D(X5+...+Xi2)

2

=DX5+...+DXi2=80o,COV(YI，Y2)=COV(XI+...+X8,X5+...+X12)=Cov(X5,

2

X5)+Cov(X6,X6)+Cov(X7,X7)+Cov(X8,X8)=40o,于是Y|与Y2的相关系数为

Cov(r,.y2)毋

P=—==—==.=-==—==.=0.5.

、

gV/DY2同g

知识点解析：暂无解析

23、写了n封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设Y表示地址恰好写对

的信的数目，求EY及DY.

标准答案：

EX^=P\X人=1=—,DX卜=---(I——j=-■-=1，…，n,

1

E(X*X”=P\Xk=!,XZ=l|=P\Xk=\\PIX,=1=11=..■

n\n-I;

1

Cov(九，/)=E(XkXt)-EX.EX,==2/—>

n[n-l)n'nx(n-1)

EY=衣乙=j；=I,

「I4=1H

nn

0丫=0(2乙)=ZDY*+22Cov(X4,3)

'*=1'ielI<4</<n

nn

知识点解析•：暂无解析

24、设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N(wo2),求随机变量

z=min(X,Y)的数学期望.

标准答案：设U==(X—4/o,V=(Y-R)/。，有Z=min{oU+p,

oV+M}=omin{U,V}+p.U和V服从标准正态分布N(0,1),其联合密度为

=N'P卜?}

由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图

4.4)

min{uexp1---

ae，

=_L[*e-Tdrf；「，彳du广ve^dv

27TJJ2TTJ_BJ■.

=WOj"-/：e"d"

在上面的积分中作换元：设r，3人

Emin\V,V|=——[edv=------1Je~dz=[e‘d，=

工J・■»ITJl'-«JITy5TT^-*JIT

EZ=Emin；X,Y|=crEminIU,匕+川="-^zi-

图4.4

知识点解析；暂无解析

25、将一颗骰子重复投掷n次，随机变量X表示出现点数小于3的次数，Y表示出

现点数不小于3的次数.求3X+Y与X—3Y的相关系数.

标准答案：依题意.X服从二项分布，参数p为掷一颗骰子出现点数小于3的概

=J_

率，即P-不，因此有

X叫得卜EX=y.ox

rv2n

Y=n-X-“Fov=7；

Cov（x.r）：=Cov(X,n-X)=-OX=

又D(3X4K)=9DX+6Cov(X,r)+。丫=4DX=

D(X-3Y)=DX-6Cov(X,y)+9DY=16D.Y=零，

Cov(3X+YtX-3Y)=3DX-8Cov(XJ)-3DY=SDX=

于是,3X+y与X-3Y的相关系数p为

I6n

Cov(3X+Y,X-3K)丁.

/D(3X+Y),/D(X-3Y)一叵匹

\VV-9~

知识点解析：暂无解析

42，）

26、设随机变量U服从二项分布,2,随机变量

v_（-1,若uW0,y=[-1，若U<2,

L,若〃>0；,1,若"32.求随机变量x-Y,与X+Y

的方差和X与Y的协方差.

标准答案：先求出X与Y的概率分布及XY的概率分布.即

P\X=-11=PlUwOl==0|=4-,/*1Af=1|=",

PIV=-1|=P|f/<21=1-P|U=2|=N，Piy=11=—,

44

P\XY=-i|=PU=-i,y=ii+p;%==-11=o+l=工

22

P\XY=1(=1-P\XY=-1|=y.

其次计算

EX,EY,DX,DY与E(XY).即

EX=-P|.¥=-1|+P|X=1|=--L+A=±tEy=--L,