广东省阳江市2023~2024学年 高二下册期末测试数学试题有解析

/广东省阳江市2023−2024学年高二下学期期末测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．3．已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列说法错误的是（

）A．若随机变量，则.B．若随机变量的方差，则.C．若，则事件与事件独立.D．若随机变量服从正态分布，若，则.5．展开式中的系数为（

）A．17 B．20 C．75 D．1006．已知正数x，y满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．78．记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（

）A．23 B．22 C．24 D．25二、多选题（本大题共3小题）9．若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（

）A．3 B．4 C．5 D．610．下列定义在上的函数中，满足的有（

）A． B．C． D．11．已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则（

）A．平面B．点的轨迹长度为C．存在点，使得面D．点到平面距离的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．函数的极小值点为．13．已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．14．现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则，.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足求的前项和.16．在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接．(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面所成角的余弦值．17．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若恒成立，求实数的取值集合.18．时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：主播的学历层次直播带货评级合计优秀良好本科及以上6040100专科及以下3070100合计90110200(1)依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？(2)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；(3)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

(1)求抛物线的方程；(2)求的最小值．

答案1．【正确答案】B【详解】，又，.故选B.【关键点拨】（1）当集合是用列举法表示时,可借助Venn图求解；（2）当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解。2．【正确答案】C【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线方程为.故选C．3．【正确答案】B【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系，即可判断得出结论.【详解】根据题意可知，如下图所示：若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立；若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立；所以可得“”是“”的必要不充分条件.故选B.4．【正确答案】B【分析】对于A，利用二项分布的期望公式分析判断，对于B，利用方差的性质分析判断，对于C，利用条件概率公式结合独立事件的定义分析判断，对于D，利用正态分布的性质分析判断.【详解】对于A，因为随机变量，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，由，得，因为，所以事件A与事件B独立，故C正确；对于D，因为，所以.因为随机变量服从正态分布，所以所以，故D正确.故选B.5．【正确答案】A【分析】由，先求出的通项，令和即可得出答案.【详解】因为，因为的通项为：，令可得，令可得，所以展开式中的系数为.故选A.6．【正确答案】C【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解.【详解】因为，即，当且仅当时等号成立，所以．故选C．7．【正确答案】C【分析】先根据零点存在性定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.【详解】根据指数函数性质在上单调递增，故当时，则在上单调递增，，根据零点存在定理，在存在唯一零点，则当时，无零点，时，，令，则，时，则；在上单调递减，在上单调递增，于是时，有最小值依题意，，解得，所以最小整数为故选C.8．【正确答案】D【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可.【详解】由于，而，故.故选D.9．【正确答案】BCD【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解.【详解】设圆心到直线的距离为，由于直线恒过原点，且，故，又，即，故选BCD．10．【正确答案】ACD【分析】对A、B、D：借助函数性质与基本不等式逐项计算即可得；对C：借助余弦函数的性质计算即可得.【详解】对A：，则，当且仅当时，等号成立，故A正确；对B：，则，当且仅当时，等号成立，不满足条件，故B错误；对C：，故C正确；对D：，，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选ACD．11．【正确答案】AD【分析】对于A，由正方体的性质及线面平行的判定定理判断即可，对于B，求出的长，即可判断点的轨迹，对于CD，建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标即可判断.【详解】对于A，由正方体的性质可知，，因为点M，N分别为棱的中点，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，所以A正确，对于B，因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以其轨迹的长为，所以B错误，对于C，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，因为面，面，所以，，所以，解得，所以，所以，所以，所以不存在点，使得面，所以C错误，对于D，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以点到平面的距离，因为，所以，则令，所以，其中，所以点到平面距离的最大值为，所以D正确，故选AD.12．【正确答案】【分析】求得导函数，分析导函数的正负，得到函数的单调性，进而确定极值点的情况.【详解】，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为.故答案为.13．【正确答案】【分析】根据题意，设，结合，求得，代入椭圆的方程得到，再由离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，由椭圆对称性不妨设，且，因为，可得，可得，可得，解得，即，代入椭圆的方程，可得，解得，所以．故答案为.14．【正确答案】/；【分析】利用条件概率与独立事件的概率公式即可得解.【详解】第一空：，第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.则故/；.15．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）根据的关系由：求解即可；（2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.【详解】（1）当时，.当时，，当时，也符合.综上，.（2）由则，故的前项和.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为分别为底面的中心和的中点，所以，因为平面，平面，所以.又因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由已知得，所以，又，设平面与平面的法向量分别为，所以解得，令，则，故.又因为解得，令，则，故，因为，所以，设平面与平面所成角的大小为，所以．17．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）利用导数的几何意义分析判断；（2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（3）由题意可得不合题意，当时，由（2）可得，所以将问题转化为，构造函数，利用导数求解即可.【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为，切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为；（2）由题意得：的定义域为，当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间，当时，令，解得：，所以当时，，当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间，时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（3）当时，，不合题意，当时，由（2）知，则，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，实数的取值集合为18．【正确答案】(1)有；(2)分布列见解析，；(3)，在事件条件下发生有优势【分析】（1）根据列联表计算卡方，与临界值比较即可求解，（2）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可，（3）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解.【详解】（1）由题意得，由于，依据小概率值的独立性检验，可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；（2）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量的可能取值为1，2，3，，，，所以的分布列为：123所以数学期望；（3），因为，所以认为在事件条件下发生有优势．19．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，再由弦长公式得到方程，解得即可；（2）根据数量积的运算律得到，又，同理可得，再由基