2026年湖北随州市高三二模数学试卷答案详解（精校打印版）

第1页/共1页2026随州高三二模数学试题答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由及，得：.2.在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可.【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，所以，所以向量对应的复数为．3.一批零件共有10个，其中有4个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】从10个零件中随机抽取3个零件的试验有个基本事件，恰好有1件不合格的事件有个基本事件，所以.4.已知等差数列前n项和为，若，则＝（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【详解】在等差数列中，，则.5.在的展开式中的系数为（）A.280 B.300 C.320 D.360【答案】A【解析】【详解】含的项为，所以的系数为.6.已知函数，其中，3为的极大值点．若在内有最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导，根据可得函数的单调区间，再根据3为的极大值点可确定的值，然后由极小值点在区间内，可求的取值范围.【详解】，由于，则，所以由或；由.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.故是的极大值点，故，是的极小值点.若在内有最小值，只需即可，解得，因此选D．7.已知抛物线E：，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（）A.43 B. C. D.42【答案】C【解析】【分析】可知焦点为，直线，直线，分别与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线定义求出，即可得四边形面积.【详解】由题意可知：抛物线E：的焦点为，由题意可知：直线，直线，联立方程，消去y可得，则，可得；联立方程，消去y可得，则，可得；所以四边形的面积为．8.某个圆锥容器的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（）A.20 B.16 C.12 D.8【答案】B【解析】【分析】小球与圆锥容器侧面和底面的接触面分别为圆台的侧面和圆，求出圆台半径和母线以及圆的半径，结合圆台的侧面积公式求出.【详解】设小球的半径为r，所以小球的表面积为，所以，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示，其中分别为切点，因为小球的半径，，所以，又△AFE，△AGD都是等边三角形，所以，则圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长，所以圆台的侧面积为，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，综上，圆锥内壁上小球能接触到的总面积为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，则（）A.点关于点O的对称点为B.A，B两点间的距离为C.若向量平行于向量，则的值为0D.若C为线段AB上靠近点A的三等分点，则点C的广义坐标为【答案】AC【解析】【分析】根据向量的线性运算求解判断A；根据向量的数量积求解判断B；按照或是，和与都不为两种情况讨论，利用向量的线性运算求解判断C；结合题干新定义，利用向量的线性运算求解判断D.【详解】对于A，，设关于点O的对称点为，则，因为不共线，所以，A正确；对于B，因为，所以，当向量是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；对于C，当或是时，；当与都不为时，设，有，即，所以，C正确；对于D，，所以线段AB上靠近点A的三等分点C的广义坐标为，D错误．10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，若，则（）A. B.C.的最大值为1 D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】从面积条件出发，结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，推导出边角关系，进而逐一验证各选项即可.【详解】对于A，由题意得，即，由正弦定理可得，即，故A正确．对于B，因为，且，即，则，两边同时乘以2得，即，由正弦定理可得，故B正确；对于C，，，因为，则当时，取得最大值为1，但是由，即，则，此时，不满足题意，故C错误；对于D，由余弦定理得，且，则有，所以，其中，则可得的最大值为，故D正确．11.P为椭圆（a＞b＞0）上一点，为的左、右焦点，在△中，若，则（）A.的离心率为B.若△为直角三角形，则这样的P点有8个C.延长交于点Q，若，则与的内切圆半径之比为D.△的内心为I，直线PI与x轴相交于点M，则【答案】ACD【解析】【分析】A：根据正弦定理进行边角转化，结合椭圆离心率公式进行求解判断即可；B：根据椭圆中张角最大值性质进行判断即可；C：根据三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、三角形面积公式进行运算判断即可；D：根据三角形内角平分线性质，结合分式的性质进行运算判断即可.【详解】A：在△中，由，由正弦定理得，A正确；B：当P为上下顶点时，由上可知，所以此时为等边三角形，所以有最大值，故这样点P有4个，使得为直角三角形，B错误；C：设和的内切圆半径分别为，，，因为，所以所以与的内切圆的半径之比为，C正确；D：由角平分线性质定理，，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则＝______．【答案】【解析】【分析】将展开，将切化弦，然后联立方程组求解.【详解】已知，则．因为，则，所以，代入上式可得，解得，，则．13.已知圆O：，直线，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算得出点的轨迹方程，再求圆上动点到定直线的距离的最值即可.【详解】设，由有，所以得，又点P在圆O上，所以，即，所以点Q在以为圆心，5为半径的圆上，因为圆心到直线的距离为，所以点Q到直线的距离的最大值为：．14.定义集合，例如：若，则，，．把集合中满足条件元素组成的集合记为，即．已知集合，则中的元素个数为______．【答案】56【解析】【分析】将问题转化为方程的正整数解的个数问题，再利用“隔板法”求解.【详解】由题中的元素满足，且，利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是，因，则任意的最大值为，该解集中的均满足,因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题，应用隔板法，即有种分法,即中有个元素.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2024年中央一号文件提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道”．某山区县依托生态资源，大力发展高山云雾茶种植．该县农业农村局统计了2023年1月至12月某品牌高山茶的月销售量（单位：吨），数据如下：月份（月）123456789101112月销售（吨）4.05.26.57.89.010.311.512.813.012.511.09.5（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数判断与是否具有较强的线性相关关系（结果精确到）（若，则认为与的线性相关性很强）；（2）求关于的线性回归方程（结果精确到0.1）．参考数据：，参考公式：【答案】（1）与具有较强的线性相关性（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件代入公式计算相关系数，判断相关性；（2）代入计算，，求回归方程.【小问1详解】根据已知得，因为，所以y与x具有较强的线性相关性．【小问2详解】，，故线性回归方程为：16.已知，．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若在上有极值点．①求的取值范围；②证明：．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，确定函数的单调区间.（2）①问题转化为在上有变号零点，再结合零点的存在性判断定理求的取值范围.②方法一：先判断是在上的极小值点，由证明结论；方法二：先得，设，结合在上的单调性证明结论.【小问1详解】由题意知的定义域为，当时，，当时，，则在上单调递减，当时，由，解得；由，解得．即在上单调递增，上单调递减．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】①由题意得，所以的定义域为，在上有极值点等价于在上有变号零点．令，即在上有变号零点．当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意；当时，上恒成立，所以在上单调递增，令，解得，②此时在上有唯一零点．在上单调递增，故当时，，即；当时，，即，故在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.方法一：由上分析，，又，故．方法二：因，由，可得，则，令，显然在上单调递减，则，即，故．17.在三棱锥中，，，D为CA中点，点E在DB上，．（1）若二面角的余弦值为，，求证：平面；（2）若，平面．设点B到的距离为a，到平面的距离为b，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理整理可得，进而可证平面，可得，进而可证平面；（2）设，，建系并交点，利用空间向量求，进而可得，结合不等式性质运算求解即可.【小问1详解】因为，D为AC的中点，则，又因为，则，可知二面角的平面角为，即，且，由余弦定理得：，由勾股定理可得，则，且，平面，则平面，又因平面，则，且，平面，所以平面．【小问2详解】设，，以S为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，可得，，所以，整理可得；又因为，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则可得，因为，则，可得，，所以的取值范围为.18.中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1．过轴正半轴上一点且斜率存在的直线交双曲线的右支于两点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若为双曲线的右焦点，且，且，求直线的斜率的取值范围；（3）直线分别和双曲线的两条渐近线交于两点，且在直线上从上到下顺次排列．设为坐标原点，若，求直线的斜率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程求解，进而得到双曲线标准方程；（2）设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，因为直线交双曲线右支于两点，所以利用韦达定理得到两根之和与两根之积，同时结合判别式大于0、两根都大于0的条件列出不等式组，由，结合线段长度的坐标表示，得到与的关系，再根据求解直线l的斜率的取值范围；（3）由

及三角形内角关系推出，由及垂直得，设直线

，联立双曲线与渐近线，得与中点相同，从而

，在直角中，由及渐近线垂直，得，结合长度关系得，直线的倾斜角为，故得答案.【小问1详解】设等轴双曲线C的标准方程为，顶点为，渐近线方程为，顶点到一条渐近线的距离，解得，故所求双曲线的标准方程为．【小问2详解】设直线，又，所以，，且，由题意知，解得，，，由，则，故，即，又，解得，又直线l的斜率，则，故．【小问3详解】依题意作图如下：由，知．又，所以．设直线，，，联立得，即，再将直线与直线及直线分别联立，得，．所以，因此线段有相同的中点，故．因为，故由射影定理，有，所以．于是直线的斜率．19.已知数列和，为数列的前n项和，，且，．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．【答案】（1），（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1