广西梧州市2024~2025学年高二下册5月段考数学试题有解析

/广西梧州市2024−2025学年高二下学期5月段考数学试题一、单选题1．已知命题，则命题的否定为（

）A． B．C． D．2．已知向量，，若，则的值为（

）A． B． C． D．103．若椭圆的离心率为，则（

）A． B．4 C． D．24．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（）A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍5．设集合，若，则实数必满足（

）A． B．C． D．6．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为（

）A． B． C． D．7．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（

）A．24种 B．60种 C．96种 D．240种8．设函数，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多选题9．已知数列的前项和为，，，则（

）A．数列是等比数列B．C．D．数列的前项和为10．已知，则下列结论正确的是（

）A．的单调递增区间为B．在区间上的值域为C．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是11．在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（

）A．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值B．沿正方体的表面从点到点的最短距离为C．若平面与正方体各个面所在的平面所成的角分别为，则D．三棱锥外接球的半径为三、填空题12．已知等差数列的前项和为，，，则．13．若函数与直线相切，则实数的值为.14．祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线：，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形（如图1），则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为；由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体（如图2），则的体积为.

四、解答题15．记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．(1)证明：；(2)若，边上的高为，求．16．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，为的中点.

（1）证明:平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17．已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.18．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.参考数据.19．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；（2）求证：，均为等比数列；（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？

答案1．【正确答案】D【详解】由命题：，则命题的否定为：，故选D.2．【正确答案】B【详解】由题意可得，解得.故选B.3．【正确答案】D【详解】依题意，，所以.故选D4．【正确答案】C【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：，原来球体的体积为：，当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径，此时球体体积为：，由，所以球的体积增大为原来的27倍.故选C.5．【正确答案】D【详解】由题意可得：集合，集合或，若，则或，可得或，即.故选D.6．【正确答案】D【分析】由题意，质点向右移动和向上移动的概率均为，移动6次后位于，则质点向右移动2次，向上移动4次，即可求出概率.【详解】质点从原点出发，移动6次后位于，则质点向右移动2次，向上移动4次，由此质点移动6次后位于的概率为.故选D.7．【正确答案】B【详解】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学，当有两位同学选择了浙江大学时，则这4位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法；当只有A同学选择了浙江大学时，则这4位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法；所以同学选择浙江大学的不同方法共有种.故选B8．【正确答案】D【详解】当时，，不满足恒成立；当时，令，可得或，函数的零点为和，因为恒成立，所以，所以，令，则，令，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，则，所以的最小值为1.故选D9．【正确答案】ACD【详解】A选项，，其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；C选项，由A知，，所以，C正确；B选项，当时，，当时，，显然满足，故，B错误；D选项，，故，即为公比为的等比数列，且，所以的前项和为，D正确.故选ACD10．【正确答案】ACD【详解】对于A，由，解得，选项A正确；对于B，令，由得在上单调递增，在上单调递减，的值域为，选项B错误；对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又，即，，即，选项C正确；对于D，令在区间上恰有两个零点，在区间上恰有两个零点，，解得，选项D正确．故选ACD11．【正确答案】ABD【详解】对于A，连接交于点，连接，如图所示：

因为四边形为正方形，所以为的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值，因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，直接展开如下图：

此时，其余展开方式均大于，故B正确．对于C，取的中点，连接，如下图：

则，，所以，所以平面就是平面，因为平面，平面，平面，所以平面平面，平面平面，因为平面，平面，所以，所以为二角面的平面角，为二面角的平面角，，，所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为，与前后两个平面所成二面角的正弦值为，与左右两个平面所成二面角的正弦值为，所以，故C错误；对于D，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，由选项A可知，所以，，因为，平面，所以平面，设为等边三角形的外心，如下图所示：

则，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为，连接，过作于，则，，设三棱锥外接球的半径为，则，设，则，因为，所以，解得，，故D正确；故选ABD．12．【正确答案】110【详解】.13．【正确答案】【详解】设切点为，由得，，故切线斜率，由直线可知切线过，故，∴，解得，∴.14．【正确答案】【详解】由，可得渐近线方程：，在第一象限内与渐近线的交点N的坐标为，与双曲线在第一象限交点B的坐标为，易得，

如图所示，设直线与轴的交点为，在第一象限与双曲线及其渐近线的交点为，则，所以，则，根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积等于，又绕轴旋转一周所得圆锥体积为：，所以的体积为.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，所以，在中，，所以．由正弦定理，得．因为，所以，所以，即，所以．（2）因为，所以，由（1）知．法1：因为，所以为锐角三角形．过作，过作，、分别为垂足，由，设，因为，所以，，所以在中，，，，所以，解得，所以在中，，即．

法2：因为，又因为，解得，．因为，所以，所以，．由，得，解得．由正弦定理，得，解得．16．【正确答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）取中点，连接、，

因为，所以，

由于为的中点，为的中点，所以，且，因为且，为的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，又因为平面，平面，所以，，因为，，、平面，所以，平面，因为，故平面.（2）解法1：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则，

在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，在Rt中，，，则，

过点在平面作垂直于的延长线于，易得，

因为平面，平面，则，因为，，、平面，所以，平面，由于，则，在中，，同理可得，又因为，为的中点，所以，，且，所以，，又，即，所以，，因此，，因此，直线与平面所成角的正弦值为；解法2：在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，如图，连接，

由（1），平面，平面，则，又因为，，，，则四边形为正方形，因为为的中点，，由于，、平面，则平面，如图，记，过点在平面内作，垂足为点，连接，由于平面，平面，则，又因为，、平面，则平面，所以即为直线与平面所成角，由于，则，

因为平面，平面，所以，，所以，，则为的三等分点，因为，则，因为为的中点，则，则，，于是，即直线与平面所成角的正弦值为；解法3：因为平面，，如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，于是、、、、，

则，设平面的一个法向量为，，，于是，令，则，

设直线与平面所成角为，那么，即直线与平面所成角的正弦值为.17．【正确答案】（1）（2）证明见解析【详解】（1）的焦点在轴上，为，直线与轴的交点坐标为，则，即所以抛物线为（2）令，，，不妨设，设的方程为，，联立与，得到，，由，则直线，直线，两直线方程相减得到：，因为，于是，即，即，即，于是，解得，即直线AP与BQ的交点在一条定直线上18．【正确答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为，其中，.①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；②当时，令，得，由可得；由可得.此时，函数的减区间为，增区间为.综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）当时，恒成立，即恒成立.令，则，其中，由可得；由可得.所以，函数的减区间为，增区间为.所以，即，故的取值范围是.（3）当时，，，令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增，又因为，且，所以存在唯一的，使得，即.①当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以是在上唯一的极小值点.则，由①可知.19．【正确答案】（1）0.5；（2）证明见解析；（3）第2分钟.【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，则，，设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.（2）依题意，，，当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，由全概率公式，得，则，而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，满足上式也满足题意，则，老鼠第分钟在0号房间包