河北省张家口市2023~2024学年 高一下册期末考试数学试题有解析

/河北省张家口市2023−2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则（

）A．10 B．20 C．40 D．不确定2．已知复数（其中i为虚数单位），则的虚部是（

）A． B． C． D．3．一组数据28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位数为（

）A．17 B．20 C．39 D．414．如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（

）

A． B． C． D．5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（

）A． B． C． D．6．如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（

）

A． B．3 C． D．7．随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（

）A．43.6万人 B．44.5万人 C．45万人 D．49.1万人8．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．图象的对称中心为C．的单调递增区间为D．为了得到的图象，可将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍11．如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，是的中点，则（

）A．若是侧面内一动点，则满足平面的点的轨迹长为B．平面内不存在点，使得平面C．三棱锥的体积为16D．若是上一点，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，若，则.13．在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为．14．在中，，是上一点，是的平分线，且，则的面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，且.(1)求x的值及的夹角；(2)若，求k的值.16．已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人参加安全知识竞赛．(1)求这3个班分别抽取的人数；(2)已知从1班抽取的人中有2名女生，若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长，求至少有1名女生作为组长的概率；(3)知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？17．如图，在矩形中，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点．(1)证明：平面；(2)若，证明：平面平面；(3)在（2）的条件下，求二面角的余弦值．18．请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足_________．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）19．如图是函数图象的一部分．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间；(3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．

答案1．【正确答案】C【分析】抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，即可得到方程，解得即可.【详解】根据抽签法可知每个个体被抽到的可能性均为，依题意可得，解得.故选C.2．【正确答案】C【分析】利用复数的除法运算化简复数，从而得到其虚部，由此得解.【详解】，所以的虚部是.故选C.3．【正确答案】D【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】j将数据从小到大排列为，，，，，，，，又，所以上四分位数为.故选D.4．【正确答案】B【分析】利用平面向量的线性运算即可得解.【详解】在中，，则，所以.故选B.5．【正确答案】A【分析】根据题意得到三角形有两解的条件，进而得解.【详解】三角形中，，如图，当有两解时，，即，即.故选A.6．【正确答案】A【分析】先利用梯形的面积公式求得直观图的面积，再利用直观图与原图面积的比值即可得解.【详解】根据题意，直观图直角梯形中，，则直观图的面积，故原图的面积.故选A.7．【正确答案】A【分析】利用频率分布直方图中各频率之和为求得，再利用其估计平均数的方法列式计算即可得解.【详解】由频率分布直方图得：，解得，则从左到右各小矩形面积依次为，所以该组样本数据的平均数为.故选A.8．【正确答案】C【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得.【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则，，，所以，所以，即该电子元件能正常工作的概率是.故选C.【思路导引】本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出.9．【正确答案】ABD【分析】A选项，设，利用复数乘法法则和模长公式计算出A正确；B选项，设，，则，，B正确；C选项，计算出，C错误；D选项，设，，利用复数加减运算和模长公式计算出D正确,【详解】A选项，设，则，故，而，故，A正确；B选项，设，，故，，，故，B正确；C选项，设，，C错误；D选项，设，，则，，则，，故，，D正确.故选ABD.10．【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：因为，所以的最小正周期，故A正确；对于B：令，解得，所以图象的对称中心为，故B错误；对于C：令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，故C正确，对于D：将的图象向左平移个单位长度，得到，再将横坐标变为原来的倍得到，故D错误．故选AC．11．【正确答案】ACD【分析】分别取，的中点，，即可证明平面平面，从而得到在线段上，即可判断A；连接，即可证明平面，从而判断B；结合B及锥体的体积公式判断C；将与展开在同一个平面内，化折线为直线，利用余弦定理计算出最小值，即可判断D.【详解】对于A：如图分别取，的中点，，连接、、、、，则，又，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，又是侧面内一动点，且满足平面，所以在线段上，所以点的轨迹长为，故A正确；对于B：连接，则为的中点，又为的中点，，因为，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，，平面，所以平面，平面，平面内存在点，使得平面，故B错误；对于C：结合B可知，又为边长为的等边三角形，三棱锥的体积为，故C正确；对于D：将与展开在同一个平面内，如图，连接交于点，则，当且仅当，，三点共线时，等号成立，又，，，又，根据余弦定理可得，的最小值为，故D正确．故选ACD．【思路导引】D选项关键是将与展开在同一个平面内，将折线问题转化为求两点间距离，再借助余弦定理计算.12．【正确答案】【分析】利用三角函数的平方关系求得，再利用三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为，所以，又，则，所以，所以.故13．【正确答案】【分析】设，连接，则平面，即可得到为与平面所成角，从而求出，设四棱锥的外接球的球心为，则在上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积.【详解】在正四棱锥中，，设，连接，则平面，所以为与平面所成角，设四棱锥的外接球的球心为，则在上，连接，依题意，因为与平面所成角的余弦值为，即，则，所以，设四棱锥外接球的半径为，则，解得，所以四棱锥外接球的体积．故．14．【正确答案】【分析】根据条件，得到，再利用，得到，，即可求解.【详解】过分别作于，设到的距离为，因为是的平分线，所以，易知①，②，又，由①②得到，又，，又，所以，设，所以，解得，即，所以，得到的面积为，故答案为.15．【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示与夹角的坐标表示即可得解；（2）利用向量线性运算与平行的坐标表示，列式计算即可得解.【详解】（1）因为，所以，又，则，所以，解得，则，故，，所以，又，所以.（2）因为，所以，，又，所以，解得.经检验，满足题意，故.16．【正确答案】(1)1班应抽取6人，2班应抽取8人，3班应抽取10人(2)(3)乙的成绩更稳定【分析】（1）按分层抽样方法计算可得；（2）由（1）的结论，1班应抽取6人，其中有2名女生，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得；（3）根据题意，计算甲、乙两人平均数和方差，比较可得答案．【详解】（1）根据题意，某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，故共有人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，所以1班应抽取人，2班应抽取人，3班应抽取人；（2）根据题意，由（1）的结论，1班应抽取6人，其中有2名女生，设2名女生为、，4名男生为、、、，从中选出2名同学作为组长，有、、、、、、、、、、、、、、，共15种取法，至少有1名女生作为组长的有、、、、、、、、共9种取法，故至少有名女生作为组长的概率；（3）甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，其平均数，其方差；乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，其平均数，其方差，由于，所以乙的成绩更稳定．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；（2）利用勾股定理逆定理得到，再由，即可证明平面，从而得证；（3）在平面内过作于点，由面面垂直的性质得到平面，再过作于点，连接，则根据三垂线定理可得即为所求，最后由锐角三角函数计算可得．【详解】（1）取的中点，连接，，又是的中点，且，又且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）矩形中，，，是的中点，即，，又，，，又，且，平面，平面，又平面，平面平面；（3）由（2）可知平面平面，在平面内过作于点，由平面平面，平面，所以平面，又为等腰直角三角形，为的中点，再过作于点，连接，则根据三垂线定理可得即为二面角的平面角，取中点，连接，则四边形为正方形，易知为的中点，则，又，又平面，平面，所以，，，故二面角的余弦值为．18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）若选①由向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，再利用三角形面积公式及和差角的正弦化简，借助三角函数性质求出范围.【详解】（1）若选①向量，，且，则，由正弦定理可得，即，即，即，因为，所以，所以，又，所以；若选②，由正弦定理可得，由余弦定理，又，所以；（2）由（1）得，又，由正弦定理，所以，，所以的面积，由为锐角三角形，而，所以，所以，则，所以，则，所以面积的取值范围是.19．【正确答案】(1)(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，(3)，【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式；（2）根据正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令，，即，结合正弦函数的图象及对