第一章空间向量与立体几何综合检测卷（提高篇）（人教A版2019选择性）

第一章空间向量与立体几何综合检测卷（提高篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2425高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（

）（1）若空间向量a，b，c，满足a//b，b//（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量c，由a⋅c=（4）在向量的数量积运算中aA．0个 B．1个 C．2个 D．4个【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果.【解答过程】对于（1），当b=0时，a与对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误；对于（3），取a=0,0,0,且c≠0，但是对于（4），因为a⋅b与b⋅c都是常数，所以若a与c方向不同，则a⋅b⋅故选：A.2．（5分）（2425高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+yAD+zA．32 B．1 C．52【解题思路】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解.【解答过程】在四棱锥PABCD中，有AE=再由点E为棱PC的中点，PE=12PC=由底面ABCD是平行四边形，得BC=所以AE=又因为AE=xAB+yAD+z故选：A.3．（5分）（2425高一下·陕西西安·期末）在正四面体P−ABC中，O是△ABC的中心，AB=2，则PO⋅PA+A．109 B．263 C．8【解题思路】根据题意得到PO=−AP+【解答过程】因为P−ABC为正四面体，O是△ABC的中心，所以PO=PA+所以PO⋅=2=2=2×4−=16故选：D.4．（5分）（2425高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：5PA=PBA．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可；【解答过程】因为5PA=PB即5AP=AB因为16+1另解：由已知得PB=5所以PB⃗,PC⃗,故选：C．5．（5分）（2425高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量a=2,−1,m，b=A．若a//bB．若a⊥bC．若a,bD．若a在b上的投影向量为16b【解题思路】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出a⋅b=0，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得a【解答过程】因为向量a=2,−1,m，对于A选项，若a//b，则2−4对于B选项，若a⊥b，则a⋅对于C选项，若a,b为钝角，则a⋅解得m<52且对于D选项，若a在b上的投影向量为16即acosa,b⋅故选：D.6．（5分）（2425高二上·北京·期中）已知不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量n=−3,−1,2，AB=1,0,−2，A．平面α/平面ABC B．平面α⊥平面C．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能【解题思路】求出平面ABC的一个法向量，利用空间位置关系的向量证明可得结论.【解答过程】设平面ABC的一个法向量为m=所以n⋅AB=x−2z=0n⋅即可知m易知两法向量既不垂直也不平行，所以平面α、平面ABC相交但不垂直.故选：C.7．（5分）（2425高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形，△ACD是等腰直角三角形，∠ADC=90∘,E是AC的中点，CF=13CB,DGA．12 B．13 C．14【解题思路】建立空间直角坐标系，求出AG及平面DEF的法向量，利用它们数量积为0求解即可.【解答过程】连接BE，由△ABC为等边三角形，则BE⊥AC，又平面ACD⊥平面ABC，AC是交线，BE⊂平面ABC，所以BE⊥平面ACD，又DE⊂平面ACD，所以BE⊥DE,因为△ACD为等腰三角形，E是AC的中点，所以DE⊥AC，以E为坐标原点，EA,EB,建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,33ED=0,0,3,AD=−3,0,3,设平面DEF的一个法向量为n=x,y,z取x=3，则n因为AG//平面DEF，所以n⋅AG故选：A.8．（5分）（2425高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥A−BCD中，AB=BC=AC=DB=DC，且平面ABC与底面BCD垂直，E为BC中点，EF∥AD，则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为（A．55 B．255 C．6【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得AE⊥平面BCD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可.【解答过程】如图，连接AE,DE，因为AB=BC=AC=DB=DC,E为BC中点，所以AE⊥BC,DE⊥BC，又平面ABC⊥底面BCD，平面ABC∩底面BCD=BC,AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，故ED,EB,EA两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，由EF∥AD，可得A0,0,则AB=设平面ABD的一个法向量为m=则有m⋅AB=y−3z=0m⋅设平面ABF的一个法向量为n=则有n⋅AB=b−3c=0n⋅则cos〈则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为25故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2425高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小B．若对空间中任意一点O，有OP=13OA+16OB+C．若空间向量a,b满足a⋅b<0D．若已知空间向量a和b，则a在b上的投影向量为a【解题思路】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为1，整理变形为AP=【解答过程】A项，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确；B项，由OP=13则2OP即AP=12C项，若a与b为两非零向量，共线且反向时，a⋅此时两向量a,b的夹角为D项，与b方向相同的单位向量为bb由投影向量的定义，则a在b上的投影向量为a⋅故选：ABD.10．（6分）（2425高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量a=2,−1,3，b=A．若a⊥b，则x=103 B．若a在bC．若3a+b=2,−1,10，则x=1 D．若【解题思路】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：利用投影的几何意义即可求解；对于C：结合向量的四则运算即可求解；对于D：根据向量的夹角公式即可求解.【解答过程】对于A：∵a⊥b，∴又a=2,−1,3，即：a⋅解得：x=10对于B：a在b上的投影向量为：a⋅bb代入坐标化简可得：3−10+3x故x2−9x+50=0，对于C：∵3a3a9+x=10，解得：x=1，故C选项正确；对于D：∵a与b夹角为锐角，a⋅b=−10+3x>0，解得：且a与b不共线，即−42≠x所以a与b夹角为锐角，解得：x>10故选：ACD.11．（6分）（2425高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1DA．平面BB1B．B1PC．若P为线段CD的中点，则平面BB1P与平面D．若P是线段CD的中点，则AA1到平面B【解题思路】根据正方体中蕴含的垂直关系可判断AB的正误，建立空间直角坐标系，利用向量法计算C中的面面角的余弦和D中点到平面距离后可判断它们的正误.【解答过程】A：由题意BB1⊥面A1B1C1DB：由题意CD⊥面BCC1B1，CB又P是线段CD上动点，P与C重合时B1P最小，为对于CD，由正方体可建立如图所示的空间坐标系，则B1,1,0因为P为PC的中点，则P0,12设平面BB1P的法向量为n所以−x−12y=0而平面DCC1D1的法向量为平面BB1P与平面DC而AA1//BB1，AA1⊄平面B故AA1到平面BB1P而AB=0,1,0，故A到平面BB故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2324高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC【解题思路】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示MN，再借助空间向量基本定理求解即得.【解答过程】在四面体OABC中，由M,N分别为线段OA,BC的中点，得MN=而MN=xOA+y所以x+y+z=1故答案为：1213．（5分）（2425高二上·云南·期中）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1【解题思路】由空间向量的线性运算及数量积的运算即可求解.【解答过程】根据空间向量的线性运算，可得BD1=因为AB=AD=AA1=22且所以B=2=82故答案为：8214．（5分）（2425高二上·河北张家口·阶段练习）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=6，点F为长方体的底面ABCD的中心，点E

【解题思路】建立空间直角坐标系，分别求出平面A1FE与平面【解答过程】

如图所示，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系由题意，A12,0,6，F1,1,0，E2,2,3，则设平面A1FE的法向量由FA1⋅n=0FE⋅n=0则平面A1FE的一个法向量因为DD1⊥平面ABCD，所以m设平面A1FE与平面ABCD夹角为则cosθ=因此，平面A1FE与平面ABCD夹角的余弦值为故答案为：9447四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2425高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点(1)用a,b,c为基底表示向量(2)求cosB【解题思路】（1）先求出BD1=−AB+（2）AC=a+b，平方，进而求出AC=【解答过程】（1）记AB=a，AD=则a=b=∴a⋅b=BD∴BD1=2，即（2）AC=a+故AC=由（1）知BD1=故B=b∴cosB16．（15分）（2425高二上·贵州贵阳·阶段练习）若a=1,2,−1，(1)若ka+b(2)若ka+b【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值；（2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值．【解答过程】（1）∵a→=1,2,−1∴ka→∵ka∴k−25=2k+3（2）∵ka∴(ka即5k−2解得k=2917．（15分）（2425高二上·安徽·阶段练习）已知向量a,b,(1)若AB=mAC,m∈R(2)若O,A,B,C四点共面，求3p+5q的值.【解题思路】（1）根据向量的运算得到AB以及AC，再根据AB与AC的关系列得方程组，即可求得结果；（2）根据四点共面得到OB=λOA+μOC，可用λ和μ表示出【解答过程】（1）由题可得：AB=AC=因为AB=mAC，所以即p−1=m,3=3m,q−1=−3m,所以p,q的值分别为2,−2；（2）因为O,A,B,C四点共面，所以存在λ,μ∈R，使得OB=λ即pa+b+qc=λa−2b+c于是有p=λ+2μ,所以3p+5q=3λ+2μ即3p+5q的值为−4.18．（17分）（2425高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为2，

(1)求证：EF⊥A(2)求证：EF//平面A1【解题思路】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证；（2）先求出平面A1DG的法向量n，由EF⋅n=0和EF⊄平面A【解答过程】（1）

如图建立空间直角坐标系D−xyz，则A1则EF⃗=由EF⋅A可得EF⊥A（2）设平面A1DG的法向量为n=(x,y,z)，因则n→⋅DA1→因EF⋅n=(−1)×1+(−1)×(−2)+1×(−1)=0，故得又EF⊄平面A1DG，所以，EF//平面19．（17分）（2425高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点.(1)证明：PA//平面EDB；(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF与平面EDB所成角的正弦值为63，若存在，求出线段BF【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB存在一点F使得BF=λBP，且EF=EB+【解答过程】（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，点E是PC的中点，点O是AC的中点，所以PA∥OE,OE⊂平面EDB,PA⊄平面ED