浅析范德蒙德行列式的应用4100字

1浅析范德蒙德行列式的应用目录 11.1范德蒙德行列式在行列式计算方面的应用 11.2范德蒙德行列式在多项式中的一些应用 1.3范德蒙德行列式在线性变换中的应用 1.4范德蒙德行列式在向量线性相关性中的应用 1.5范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 1.6范德蒙德行列式在微积分中的应用 1.1范德蒙德行列式在行列式计算方面的应用行列式是高等代数中一个基本概念，作为数学系的学生，必需掌握行列式的性质、证明和计算。其中行列式的计算使许多学生学习感到十分困难，特别是对于一些比较复杂的行列式。范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它的结论非常特殊，恰当灵活地应用范德蒙德行列式会大大简化某些复杂行列式的计算步骤。利用范德蒙德行列式独特的形式和简介的计算首先将第一行的负一倍加到第二行，第二行就变成x₁,x₂,x₃,x₄;按照同样的方法，将新得到的第二行的负一倍加到第三行上，第三行变成;再依照相同的方法，该行列式的第四行变成x³,x³,x³,x³。从而我们可得到的新的行列式即为4阶范德蒙德行列2例2计算n+1阶行列式分析：该行列式具有每一行元素方幂递减的特点.如果把第n+1行依次与前面各行交换到第一行，再将新的行列式第n+1与第n交换，再与此行列式的n-1行交换，按照这样的方法进行交换，经过n(n+1)/2次行交换后，得到n+1阶范德蒙德行列式.解：有上述分析可得例3计算n阶行列式分析：不是范德蒙德行列式，但具有该行列式的特点，可考虑构造n+1阶范德蒙德行列式，再利用范德蒙德行列式的结果，简接地求出D。的值。解：构造n+1阶范德蒙德行列式3A,+=(-1)"+(n+1)Dₙ=-D再根据范德蒙德行列式的结果可知g(x)=由上式可求得的系数为例4计算行列式分析：此类行列式直接求解比较困难，不是一眼就能看出结果的行列式，此行列式各行 (各列)都是某个元素的不同次方幂，此行列式与范德蒙德行列式形式相似，但又有所区别，因此需要将此行列式化先进行转化，化成范德蒙德行列式。解：此行列式中各行元素都是一个元素从左到右按递升顺序排列，且都是从1递升至nF,若利用行列式的性质提起公因式，则各行的元素的方幂便从0变到n-1②②式右侧的行列式为范德蒙德行列式，该结果为Dₙ=n!(n-1)!(n-2)!…1例5计算行列式4分析：该行列式中含有一个三角函数中的余弦函数，我们首先应当想到化简余弦函数，然后再进行利用行列式的性质(比如将某一行(列)的倍数加到另一行(列),提取公因式，调换各行(各列)的次序)进一步优化化简，最终化成范德蒙德行列式的形式。解：步骤一、根据倍角公式cos2θ=2cos²θ-1cos3θ=4cos³θ-3cosθ步骤二、带入行列式步骤三、将第一列的一倍加到第三列，将第二列的三倍加到第四列，得到行列式=例6计算4阶行列：分析：这种类型的行列式很难直接计算。我们应该注意到行列式的每一项都是一个二项式，且都能展开成4项之和，(c+d)³=c³+3c²d+3d²c+d³,可利用行列式的乘法，可将原行列式拆分成为两个不同的范德蒙德行列式相乘，然后我们可利用范德蒙德行列式值得形例7设2,2₂,…λ互不相同，计算n+1阶行列式5解：考虑以范德蒙德转置行列式D'的矩阵为系数矩阵，Z"+2,22+2₂,…,”+λ为常数项的非齐次线性方程组容易看出2,2₂,…,2,是以y₁,y₂,…,yn,-1为系数，x为未知数的n次多项式y₁+y₂x+y₃x²+…+ynx”⁻¹-x”的n个互不相同的根，容易根据根与系数之间的关系得另一个方面，由于故由克莱姆法则知1.2范德蒙德行列式在多项式中的一些应用利用Vandermonde行列式使解题的过程更加清晰、易懂。对于一个多项式，我们可以把此多项式中的系数看成未知量，这样我们便得到一个新的系数行列式，再将这个新的系数行列式弄成范德蒙德行列式，之后便可直接得到结果。例1h(x)=co+c₁x¹+c₂x²+...+Cnx",证明：h(x)至少有n+1个不同的根→f(x)=0证：设x,x₂,…,x,+1为h(x)的n+1个根，且各不相同³。h(x;)=0,i=1,2,…,n+1从而得到如下齐次线性方程组：②其中c₁,i=0,1,2,…,n为未知量，并且它的系数行列式是一个形如范德蒙德行列式的行列式，即由克拉默(Cramer)法则可知，方程组②有零解即co=C₁=C₂=.….=c,从而h(x)=0——个次数不超过n-1的多项式，即存在f(x)通过这n个点e,(1≤i≤n),即f(e)=f(1≤i≤n)证明：设f(x)=c₁x”⁻¹+c₂x”⁻²+.…+Cn-1x+cn,使f(e)=f,则需要满足关于③③方程组的系数行列式为范德蒙德行列式，所以可得出当e(1≤i≤n)各不相同时，由克拉默 (Cramer)法则知该方程组有唯一解，即对平面上n个点(e,f;),则必存在唯一的一个字数不超过n-1的多项式f(x)通过该n个点。为f(x)的判别式.证明f(x)有重根的充分必要条件式分析：利用行列式乘法计算公式对△进行下一步分解，经分解可得△等于两个范德蒙德7f有重根可得判别式Df)=a2△=0,所以△=0。解：设多项式f(x)的n+1个互不相同的不动点2,2,…,λ+1,令g(x)=f(x)-x=a₀+(a₁-1)x+a₂x²+…+anx",那么有g(2)=f(λ,)-λ,=0(i=1,2,…,n+1),从而我们可得到上述方程组(3)只有零解，所以ao=a₂=…=an=0,a₁=1,于是便可推导出f(x)=x,这是一个含有无穷多(无数)个不动点的一次行列式。线性变换可以说是高等代数中的一个重点和难点，题目的变化具有多样性和灵活性。应用范德蒙德行列式可以提高问题解决的效率，使问题解决的过程变得通俗易懂、简介明了。例1在数域F中，σ是V中的线性变换，设(x₁,x₂,…,x,)是线性空间V中的一组基，且存在证明：由已知条件可知8线性变换σ在基(x₁,x₂,…,x)下的矩阵为A,其中且行列式A是范德行列式，由于行列式A不为零，从而我们可知行列式A是一个可逆的行列式，相应的可得出上述变换是一个可逆线性变换。例2如果λ,2,…,.2是线性变换ψ的所有两两不同的特征值，a₁∈Vz,i=1,2,…,s,则当a₁+a₂+…+a₅=0时，必有a₁=a₂=…=a₅=0。证明：由题意可知ψa₁=λ,a,(1≤i≤s),依次代入等式a₁=a₂=…=a₅=0两端，可得到①用矩阵的方法可表示为②矩阵是一个范德蒙德行列式，由于λ,2₂,…,2.两两截然不相同，从而可得知这个矩阵A是可逆矩阵。在②式两端分别右乘A⁻¹,则可得到q=a₂=…=a₅=0,即证。1.4范德蒙德行列式在向量线性相关性中的应用例1证明在空间中一个向量集中含有无限多个向量，而且这样一个向量集中的任意三个向量都是线性无关的。证：设该向量集为{(1,y,y²)IY∈z}成如下行列式,从中选出3个线性无关的向量，这样的3个向量可构9式值不为0,从而可推得它们线性相关。可得到上述研究线性方程组的系数行列式是范德蒙德行列式，又因为它们的特征值各不相同，所以这个行列式D不为0;从而可实现D可逆，将④式两边同时乘以D的逆，可得(n₁,n₂…,n.)=0,例3证明：对应于矩阵A的不同特征根λ,2₂,…,λ对应的特征向量ξ,₂,…,ζ,是线性无关的。解：假设ξ,₂,…,ζ,线性相关，则存在不全为零的n个数a,a₂,…,an,使Aξ;=λξ;(i=1,2,…,n)②用矩阵A左乘式①得再利式②得到③④继续进行上述过程得到齐次线性方程组⑤把其线性方程组⑤理解为以a₁5,a₂5₂,…,an5,为未知数的线性方程组，且该系数行列式是一个类如范德蒙行列式的行列式Dₙ≠0,并且由克拉姆法则知aξ;=0(i=1,2,…,n),因为ξ≠0(i=1,2,…,n),因此只能有a=0(i=1,2,…,n),这与a₁,a₂,…,an不全为零相矛盾。1.5范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用应用范德蒙德行列式处理向量空间理论问题的研究，能使问题变得更加通俗易懂，并且在m个向量，在V随意取得n个向量都是线性无关的。C₂=(1,2²,(2²)²,…(2”-¹)²),…,Cm=(1,2”,(2²)”,…(2”-¹)"),令例2在数域F上含有一个n维线性空间W,证明W不能被W中的有限个真子空间覆盖。当e₁,e₂,…,e,为单位向量时，可容易证明σ是双射(省略)。假设V是V的真子空间，则I中的元素在V中的个数小于n否则，若β∈V,j=1,2…,.n,β₁=c₁+k;c₂+…+k"⁻¹cₙ,系数行列式中蕴含无穷多个不同的元素，I中的元素只有有限多个元素在中，但,所以有1.6范德蒙德行列式在微积分中的应用例1若g(x)至少含有k阶导数，并且对于某一个具体的实数b有和),证,(g°(x)表示g(x))证明：首先将g'(x)写成g(x)与g*(x)线性组合。其次再依据泰勒公式：8(x+m)=g(x)+mg¹(x)+…+m-¹/(k-1)!g(k-1)(x)+m/k!g(cm)①,m的线性组合表达式，它的系数行列式等于Dₙ=1/1!2!..(k-1)D。中含有一个范德蒙德行列式，且该行列式的值为,在该式中令t=x+m,i=0和令t=εm,i=k,则可h(x)=a(1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+o(x⁶))+b(1-(2x)²/2!+(2x)⁴/4!-(2x)⁶/6!c(1-(3x)²/2!+(3x)⁴/4!-(3x)⁶/6!+0(x⁶))+d(1-(4x)²/2!+(4x)⁴/4!-(4a+b+c+d-1/2(a+2²b+3²c+4²d)x²+1/4!(当x→0时，若g(x)最高无穷小在6阶以上，则有以下方程组。上述方程组的系数行列式为范德蒙德行列式。该行列式的值不是0,所以a,b,c