2024-2025学年高中数学第二章平面向量第5节平面向量应用举例教案含解析新人教A版必修4

PAGEPAGE12.5平面对量应用举例[核心必知]1．预习教材，问题导入依据以下提纲，预习教材P109～P112的内容，回答下列问题．(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？提示：距离、夹角等问题．(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题．2．归纳总结，核心必记(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，探讨几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．(2)向量在物理中的应用①物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．②向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中．③动量mv是向量的数乘运算．④功是力F与位移s的数量积．[问题思索]用向量解决几何问题时，有时须要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？提示：所选择基向量的长度和夹角应当是已知的．[课前反思](1)平面对量在平面几何中的应用：；(2)平面对量在物理中的应用：.学问点1平面几何中的平行、垂直问题讲一讲1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.[尝试解答]法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴⊥，即DP⊥EF.法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以⊥，即DP⊥EF.类题·通法(1)向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.(2)用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③找寻实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD.方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD.以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中随意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD.练一练1．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝eq\f(1,4)AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明：设＝a，＝b，则＝－＝eq\f(1,4)－a＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，＝－＝b－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形.学问点2平面几何中的长度问题讲一讲2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．[尝试解答](1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D为AB的中点，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴||＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，||＝eq\r(m2＋n2)，∴||＝eq\f(1,2)||，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E为CD的中点，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，设F(x,0)，则＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴＝λ.即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)).则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴||＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).类题·通法利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).练一练2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).学问点3向量在物理中的应用讲一讲3．在风速为75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．[尝试解答]设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°.设||＝150，则||＝75(eq\r(6)－eq\r(2))．∴||＝||＝||＝75eq\r(2)，||＝75eq\r(6).从而||＝150eq\r(2)，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150eq\r(2)，即没有风时飞机的航速为150eq\r(2)km/h，方向为北偏西60°.类题·通法利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据说明或分析物理问题．练一练3．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10m/s2)解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分别为500eq\r(3)J和－22J.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是平面对量在平面几何中的应用，难点是平面对量在物理中的应用．2．要驾驭平面对量的应用(1)利用平面对量解决平面几何中的平行、垂直问题，见讲1；(2)利用平面对量解决平面几何中的长度问题，见讲2；(3)平面对量在物理中的应用，见讲3.课下实力提升(二十一)[学业水平达标练]题组1平面对量在平面几何中的应用1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：选B由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：选B由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||知▱ABCD的邻边相等，∴四边形ABCD为菱形．3．已知非零向量与满意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB→,|AB→|)＋\f(AC→,|AC→|)))·＝0，且eq\f(AB→,|AB→|)·eq\f(AC→,|AC→|)＝eq\f(1,2)，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选Deq\f(AB→,|AB→|)＋eq\f(AC→,|AC→|)是向量，方向上的两个单位向量的和，它在∠A的平分线上，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB→,|AB→|)＋\f(AC→,|AC→|)))·＝0，知此三角形为等腰三角形，再由eq\f(AB→,|AB→|)·eq\f(AC→,|AC→|)＝eq\f(1,2)知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，eq\r(3))，C(3，eq\r(3))，D(3,0)，＝(3，eq\r(3))，设＝λ，则E的坐标为(3λ，eq\r(3)λ)，故＝(3λ，eq\r(3)λ－eq\r(3))．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq\f(1,4)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，||＝eq\f(\r(21),2)，即ED＝eq\f(\r(21),2).答案：eq\f(\r(21),2)5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．证明：设＝a，＝b，则＝a＋eq\f(1,2)b，＝b－eq\f(1,2)a，∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,4)a·b.又⊥，且||＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，∴·＝0，∴⊥，即AF⊥DE.题组2向量在物理中的应用6．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.留意速度是有方向和大小的，是一个向量．7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝1500eq\r(3)J.答案：1500eq\r(3)8．在水流速度为4eq\r(3)km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．解：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作▱ABCD，则就是船的航行速度．∵||＝4eq\r(3)，||＝12，∴||＝||＝8eq\r(3)，tan∠ACB＝eq\f(4\r(3),12)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即船的航行速度的大小为8eq\r(3)km/h，方向与水流方向的夹角为120°.[实力提升综合练]1．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的随意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值肯定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：选A假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．2．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,2)C．2D．3解析：选B·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为eq\f(1,2)||，所以·＝eq\f(1,2)||·||＝2，同理·＝eq\f(1,2)||·||＝eq\f(9,2)，故·＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).3．已知△ABC满意2＝·＋·＋·，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：选DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.5．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上的两点，且|AB|＝eq\r(5)，则·＝________.解析：由弦长|AB|＝eq\r(5)，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)6．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝